1、高中数学必修1苏教版22.2 函数的奇偶性学习目标1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系3会利用函数的奇偶性解决简单问题知识链接1关于y轴对称的点的坐标，横坐标，纵坐标；关于原点对称的点的坐标，横坐标，纵坐标2如图所示，它们分别是哪种对称的图形？答案第一个既是轴对称图形、又是中心对称图形，第二个和第三个图形为轴对称图形互为相反数相等互为相反数互为相反数答案 图象关于原点对称预习导引1如果对于函数f(x)的定义域内的一个x，都有f(x)f(x)(f(x)f(x)，那么称f(x)是函数2偶函数图象关于对称，奇函数图象关于对称3奇偶性的应
2、用中常用到的结论(1)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则必有f(0).(2)若奇函数f(x)在a，b上是增函数，且有最大值M，则f(x)在b，a上是函数，且有最小值.(3)若偶函数f(x)在(，0)上是减函数，则有f(x)在(0，)上是每偶(奇)y轴原点0增M增函数解(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数(2)函数f(x)的定义域为1,1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数(4)f(x)的定义域是
3、(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x)综上可知，对于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)为偶函数规律方法 判断函数奇偶性的方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数(3)分段函数的奇偶性应分段说明f(x)与f(x)的关系，只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数
4、的奇偶性答案(1)(2)奇解析(1)两项，函数均为偶函数，项中函数为非奇非偶函数，而项中函数为奇函数(2)f(x)ax2bxc是偶函数，f(x)f(x)，得b0.g(x)ax3cx.g(x)a(x)3c(x)g(x)，g(x)为奇函数要点二 利用函数奇偶性研究函数的图象例2已知奇函数f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图 象 如 下 图 所 示，则 使 函 数 值 y0的 x的 取 值 集 合 为_答案(2,0)(2,5)解析 因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5,5上的图象关于原点对称由yf(x)在0,5上的图象，可知它在5,0上的图象，如下图所示由图象知，使函数值y0的x的
5、取值集合为(2,0)(2,5)规律方法 给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象作对称图象时，可以先从点的对称出发，点(x0，y0)关于原点的对称点为(x0，y0)，关于y轴的对称点为(x0，y0)跟踪演练 2设偶函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_答案 x|5x2，或2x5解析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)0的解当x0,5时，f(x)0的解为2x5，所以当x5,0时，f(x)0的解为5x2.f(x)0的解是5x2或2x5.要点三 利用函数的奇偶性求解析式例3已知函数f(x)(xR)是奇函数，且当x0时，f(x)2x1，求函数f(x)的解析式规律方法1.本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x0的情形若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0.2利用奇偶性求解析式的思路：(1)在待求解析式的区间内设x，则x在已知解析式的区间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式答案(1)(2)2再见
