1、路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 选修2-2成才之路 数学推理与证明第一章3 反证法第一章知能目标解读1知能自主梳理2学习方法指导3思路方法技巧4探索延拓创新5易错辨误警示6课堂巩固训练7课后强化作业8知能目标解读了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤本节难点：应用反证法解决问题知能自主梳理在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误二者必居其一，我们可以先假定_成立，在这个前提下，若推出的结果与_矛盾，或与_相矛盾，或与_相矛盾，从而断定_不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法反证法的证题步骤是
2、：(1)作出_的假设；(2)进行推理，导出_；(3)否定_肯定_命题的反面定义、公理、定理命题中的已知条件假定命题结论的反面否定结论矛盾假设结论学习方法指导1反证法证明数学命题的四个步骤第一步：分清命题的条件和结论；第二步：做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾2适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题；(2)
3、关于唯一性、存在性的命题；(3)结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；(5)一些基本命题、定理3用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“”的反面为“”；“”的反面为“”；“及”4一些常见的“结论词”与“反设词”原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n1个p或q非p且非q至多有n个至少有n1个p且q非p或非q5.反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“
4、逻辑推理结果否定了假设”反证法属于“间接证明方法”，书写格式易错之处是“假设”错写成“设”用 反 证 法 证 明 问 题，一 般 由 证 明 pq，转 向 证 明qrt，t与假设矛盾或与某个真命题矛盾，从而到判断q为假，得出q为真反证法，不是从已知条件去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性思路方法技巧反证法证明“否定性”命题分析bc0的否定形式为bc0，包括b0，c0；b0，c0；b0，c0三种情况，要注意分类讨论证明假设bc0.(1)若b0，c0，方程变为x20，则x1x20是方程x2bxc20的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾(
5、2)若b0，c0，方程变为x2c20，但c0，此时方程无解，与x2bxc20有两个不相等的非零实根相矛盾(3)若b0，c0，方程变为x2bx0，方程根为x10，x2b，这与方程有两个非零实数根相矛盾综上所述，可知bc0.点评结论中出现“不”、“不是”、“不存在”、“不等于”等词语的命题，其反面比较具体，通过反设，转化为肯定性命题，作为条件应用，进行推理此时用反证法更方便点评本题第(2)问如果不用反证法证明也可以利用第(1)问函数单调性证明，即x0，1x0时，f(x)f(0)1，故当x0不成立，则a0.分两种情况证明：(1)当a0，bc0，bca0，a(bc)0.abbccaa(bc)bc0矛盾
6、，由以上分析可知，假设不成立因此，a0.同理可得，b0，c0.点评分类讨论的关键是要全面，考虑周到，不能遗漏比如，本题“a0”的反面是“a0”，即有两种情况“a180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_答案解析考查反证法的证题步骤5用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设为_答案xa或xb解析对“且”的否定应为“或”，所以“xa且xb”的否定应为“xa或xb”三、解答题6求证：若两条平行直线a、b中的一条与平面相交，则另一条也与平面相交证明不妨设直线a与平面相交，b与a平行，从而要证b也与平面相交假设b不与平面相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面内由ab，a平面，得a平面，与题设矛盾(2)b平面.则平面内有直线b，使bb.而ab，故ab，因为a平面，所以a平面，这也与题设矛盾综上所述，b与平面只能相交点评直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确课后强化作业（点此链接）
