1、2.2.2反 证 法问题引航1.反证法的定义是什么?有什么特点?2.利用反证法证题的关键是什么?步骤是什么?反证法的定义及证题的关键不成立假设错误原命题成立已知条件假设定义定理公理事实1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法.()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾.()【解析】(1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立,所以它属于间接证明问题的方法.(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.(3)正确.否定结论导出矛盾就是反证法的实质,从而肯定原结论.答案:(1)(2)(3)2.做一做
2、(请把正确的答案写在横线上)(1)已知a0,证明关于x的方程ax=b有且只有一解,适宜用证明.(2)用反证法证明命题“a,bN,如果ab可被5整除,那么a,b至少有一个能被5整除”,则假设的内容是.(3)用反证法证明命题“如果ab,则”时,假设的内容是.【解析】(1)当直接证明比较困难时,可以采用反证法,本题即属于此类型,需用反证法证明比较合适.答案:反证法(2)“至少有一个”的否定是“一个也没有”,即a,b至少有一个能被5整除的否定是a,b都不能被5整除.答案:a,b都不能被5整除(3)与的关系有三种情况:,=(4)和 ”的反设应为“=(5)或1,且y(2-z)1,且z(2-x)1均成立,则
3、三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)1,由于0 x2,所以0 x(2-x)=1,同理0y(2-y)1,0z(2-z)1,三式相乘得00,即a+b+c0与a+b+c0矛盾,所以假设不成立,即a,b,c中至少有一个大于0.【延伸探究】本例题(1)改为“任何三角形的内角至少有一个大于或等于60”的否定为.【解析】“至少有一个大于或等于60”的否定是“三个内角都小于60”.答案:存在一个三角形,其三个内角都小于60【方法技巧】1.用反证法证明“若p,则q”的过程2.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时,直接证明不易入手且讨论较复杂.这时,可用反证法证明,
4、证明时常见的“结论词”与“反设词”如下:结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n-1个p或qp且q至多有n个至少有n+1个p且qp或q【变式训练】已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.【证明】假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点,由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,得1=(2b)2-4ac0,且2=(2
5、c)2-4ab0,且3=(2a)2-4bc0.同向不等式求和得:4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc0,所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac0.所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.所以a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而命题得证.【补偿训练】用反证法证明:关于x的方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,当a-或a-1时,至少有一个方程有实数根.【证明】假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零,得解得-a-1.与a-或a-1矛盾，故原命题成立.【拓展类型】拓展类型反证法证明唯一性命题
6、【备选典例】(1)若P是两条异面直线l,m外的任意一点,则()A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面(2)求证:两条相交直线有且只有一个交点.【解析】(1)选B.对于A,若存在直线n,使nl且nm,则有lm,与l,m异面矛盾;对于C,过点P与l,m都相交的直线不一定存在,反例如图(l);对于D,过点P与l,m都异面的直线不唯一.(2)假设结论不成立,则有两种可能:无交点或不止一个交点.若直线a,b无交点,则ab或a,b是异面直线,与已知矛盾.若直线a,b不只有一个交点,则至
7、少有两个交点A和B,这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.【方法技巧】巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时,由于反设结论易于推出矛盾,故常用反证法证明.(2)用反证法证题时,一定要用到“反设”进行推理,否则就不是反证法.用反证法证题时,如果欲证明命题的反面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以;若结论的反面情况有多种,则必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断结论成立.(3)证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.【规范解答】反证法在证明问题中的应用【典例】(12分)(2014太原高二检测)已知:0 ,0 ,且sin(+)=2sin,求证:BCD,A+C180,与A+C=180矛盾,所以假设不成立;若点C在O外,则CBCD,A+C180,与A+C=180矛盾,所以假设不成立.综上所述,如果四边形ABCD的对角互补,那么四边形ABCD是圆内接四边形.
