1、第十章概率10.1.4概率的基本性质目录CONTENTS01知识回顾03典型例题02概率的性质04课堂总结知识回顾1.古典概型？具有以上两个特征：1.有限性：样本空间的样本点只有有限个；2.等可能性：每个样本点发生的可能性相等。我们将该试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。2.古典概型的概率公式？n()n(A)nkp(A)3.事件的关系和运算？事件的关系或运算 含义 符合表示 包含 A发生导致B发生 AB或BA 并事件(和事件)A与B至少一个发生 AB或AB 交事件(积事件)A与B同时发生 AB或AB 互斥(互不相容)A与B不能同时发生 AB=互为对立 A与B有且只有
2、一个发生 AB=，AB=对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件思考 一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.例如：在给出指数函数的定义后，我们通过定义域、值域、单调性、特殊点等角度来研究函数性质.类似地，在给出了概率的定义后，你认为可以从哪些角度研究概率的性质?概率的取值范围;特殊事件的概率;事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系.概率的性质概率的性质一般地，概率有如下性质：性质1：对任意的事件A，都有P(A)0.性质2：必然事件的概率为1，即P()=1；不可能事件的概率为0，即P()=0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)=P(A
3、)+P(B).(或P(A+B)=P(A)+P(B)推论：如果事件A1,A2,Am两两互斥，那么事件A1A2Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即 P(A1A2Am)=P(A1)+P(A2)+P(Am).思考：若事件A和事件B互为对立事件，则它们的概率有什么关系?和事件AB是必然事件，则P(AB)=1.由性质3，得1=P(AB)=P(A)+P(B).AB性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A)+P(B)=1；即P(B)=1-P(A)；即P(A)=1-P(B).性质5：(概率的单调性)如果AB，那么P(A)P(B).所以对于任意事件A，有0P(A)1.因为A，所以P()P(
4、A)P()，思考：若事件A和事件B只是一个试验中的事件，则它们的概率有什么关系?AA性质6：设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).AB思考：如果是两个以上事件呢，则它们的概率有什么关系?推论：设A、B、C是一个随机试验中的三个事件，则有P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).或P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).典型例题例1：判断正误(1)任一事件的概率总在(0，1)内()(2)不可能
5、事件的概率不一定为0.()(3)某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5.()(4)如果事件A与事件B互斥，那么P(A)P(B)1.()例2：已知P(A)=0.5，P(B)=0.3.(1)如果BA，那么P(AB)=_，P(AB)=_;(2)如果A,B互斥，那么P(AB)=_，P(AB)=_.0.5 0.3 0.8 0 例3：从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在4.8，4.85)内的概率是()A0.62 B0.38 C0.70 D0.68 B例4：投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4
6、点，5点，6点的概率相等，记事件A为“出现奇数点”，事件B“向上的点数不超过3”，则P(AB)_ 23例5：一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.该射击运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率 解析：设“10环，9环，8环，7环，7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E.它们彼此之间互斥，P(A)0.24，P(B)0.28，P(C)0.19，P(D)0.16，P(E)0.13（1）设“射中10环或9环”为事件M，则有M=AB，P(M)P(AB)P(A)P(B)0.240.28
7、0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52（2）设“至少射中7环”为事件N，事件N与事件E“是对立事件，P(N)1P(E)10.130.87 所以至少射中7环的概率为0.87 互斥事件、对立事件概率的求解方法：（1）互斥事件的概率的加法公式P(AB)P(A)P(B)（2）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和 （3）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题 【注意】有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即 P(ni1Ai)ni1P(Ai)例
8、6：某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率 解析：分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件 A，B，C.由图知 3 支球队共有球员 20 名则 P(A)520，P(B)320，P(C)420.(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件 D.则 DABC，因为事件 A，B，C 两两互斥，所以 P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)52032042035.例6：某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某
9、些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率 解析：(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件 E，则 E为“抽取一名队员，该队员属于 3 支球队”，所以 P(E)1P(E)1220910.课堂总结课堂总结 概率公式的基本性质：性质1 对任意的事件A，都有P(A)0.性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P()=1，P()=0.性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B).性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)=1-P(A)，P(A)=
10、1-P(B).即P(A)+P(B)=1.性质5 如果AB，那么P(A)P(B).性质6 设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).(或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).)对任意事件A，有P(A)0,1.例7：某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此
11、人被评为良好及以上的概率 解析：将 5 杯饮料 1，2，3 表示 A 饮料，4，5 表示 B 饮料，则从 5 杯饮料中选出 3 杯：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有 10 种令 D 表示“此人被评为优秀”的事件，E 表示“此人被评为良好”的事件，F 表示“此人被评为良好及以上”的事件(1)D 事件发生的情况有 1 种，(123)，故 P(D)110.(2)E 事件发生的情况有(124)，(125)，(134)，(135)，(234)，(235)，共有 6种，故 P(E)61035，P(F)P(D)P(E
12、)710.例8：在学校运动会开幕式上，100 名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别(M(男)、F(女)及年级(G1(高一)、G2(高二)、G3(高三)分类统计的人数如下表:若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率:P(M)=_，P(F)=_，P(MF)=_，P(MF)=_，P(G1)=_，P(MG2)=_，P(FG3)=_.G1 G2 G3 M 18 20 14 F 17 24 7 0.52 0.48 1 0 0.35 0.76 0.07 解：(1)因为C=AB，A与B是互斥事件.根据互斥事件的概率加法公式，得 12练习1：从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽
13、到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=，那么 (1)C=“抽到红花色”，求P(C)；(2)D=“抽到黑花色”，求P(D).41 4141P(C)=P(A)+P(B)=(2)因为C与D互斥，又因为CD是必然事件，所以C与D互为对立事件.因此 P(D)=1-P(C)=21-112练习2：为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?因为A1A2、两两互斥，所以 21AA21AAP(A)=P(A1A2)+P()+P()21AA21AA21=2 24=8 可能结果数 不中奖 中奖 4
14、2=8 43=12 不中奖 中奖 中奖 不中奖 2 4 1 4 2 3 第一罐 第二罐 借助树状图(如右图)来求相应事件的样本点数.解1：设事件A=“中奖”，事件A1=“第一罐中奖”，事件A2=“第二罐中奖”，那么事件AlA2=“两罐都中奖”，=“第一罐中奖,第二罐不中奖,=“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且A=A1A2 .21AA21AA21AA21AA因为n(A1A2)=2，n()=8，n()=8，所以 21AA21AA可以得到，n()=65=30，且每个样本点都是等可能的.P(A)=301830830830235思考：你还有另外方法求解此题吗？事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖
15、”.由于 =“两罐都不中奖”，而n()=43=12，21AA21AA所以P(A)=1-P()=21AA30183012135正难则反 此解法说明什么？解2：解3：设不中奖的4罐记为1，2，3，4，中奖的2罐记为a，b，随机抽2罐中有一罐中奖，就表示能中奖，其样本空间为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，a)，(1，b)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，a)，(2，b)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，a)，(3，b)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，a)，(4，b)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，b)，(b，1)，(b，2)，(b，
16、3)，(b，4)，(b，a)，而能中奖的样本数为：18个故所求概率 P(A)=18/30=0.6 练习2：为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料.若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少?例 3 袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共 12 个，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是 512，得到黄球或绿球的概率也是 512.(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.解 从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则 P(A)13，P(BC)P(B)P(C)512，P(CD)P(C)P(D)512，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)11323.联立 PBPC 512，PCPD 512，PBPCPD23，解得 P(B)14，P(C)16，P(D)14，故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为14，16，14.(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.解 事件“得到红球或绿球”可表示为事件AD，由(1)及互斥事件的概率加法公式得 P(AD)P(A)P(D)1314 712，故得到的不是红球也不是绿球的概率 P1P(AD)1 712 512.
