1、安徽省泗县第一中学2021届高三最后一卷文科数学试题一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，那么（ ）A.B.C.D.2.复数的共轭复数是（ ）A.B.C.D.3.平面向量与的夹角为60， ，则（ ）A.B.C.4D.124.一组样本容量为10的样本数据构成一个公差不为0的等差数列，若，且，成等比数列，则此样本数据的平均数和中位数分别是（ ）A.13，12B.13，13C.12，13D.13，145.若，则（ ）A.B.C.D.6.已知双曲线有一个焦点在抛物线准线上，则的值为（ ）A.2B.1C.D.7.已知直线恒过定点，点也
2、在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）A.2B.4C.8D.68.下列关于函数的叙述中，其中正确的有（ ）若，则（其中）；函数在区间上的最大值为1；函数的图象关于点成中心对称；将的图象向右平移个单位后得到的图象。A.B.C.D.9.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ）A.96里B.72里C.48里D.24里10.已知函数的图象关于直线对称，当
3、时，恒成立，设，（其中），则，的大小关系为（ ）A.B.C.D.11.将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）A.B.C.D.12.已知，函数，则方程的实根个数最多有（ ）A.6个B.7个C.8个D.9个二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13.若变量，满足，则的最小值为_.14.函数在上单调递增，则实数的取值范围为_.15.河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶时，水面宽为，一小船宽，高，载货后露出水面上的部分高，则水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距_时，小船开始不能通航。16.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，且。则下列结论中正确的为_平面；三
4、棱锥的体积为定值；的面积与的面积相等。三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（本题12分）已知函数.（1）求的最大值；（2）在中，内角、所对的边分别为，若，、成等差数列，且，求边的长。18.（本题12分）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”。北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占女生人数的，而男生有10人
5、表示对冰球运动没有兴趣。（1）完成列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没有兴趣合计男55女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率。附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519.（本题12分）如图所示的多面体中，四边形是正方形，平面平面，。（1）求证：；（2）求点到平面的距离。20.（本题12分）设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为。（1）求椭圆的方程（2）过点的直线
6、与椭圆交于不同的两点、，当面积最大值时，求线段的长。21.（本题12分）已知函数，（1）若，求函数的极值；（2）设函数，求函数的单调区间；（3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修44：坐标系与参数方程（10分）已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，（为参数）。（1）求曲线上的点到曲线距离的最小值；（2）若把上各点的横坐标都扩大到原来的2倍，纵坐标都扩大到原来的倍，得到曲线，设，曲线与交于、两点，求。选修45：不等式选讲（10分）23.已知函数.（1）求
7、不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.数学文科最后一卷答案和解析1.【答案】A 解：集合，所以.2.【答案】A 解：，所以复数的共轭复数是.3.【答案】 B解：平面向量与的夹角为，则，所以；4.【答案】B 解：根据题意，设等差数列的公差为，则，解得，所以，所以样本数据的平均数为，样本数据的中位数为.5.【答案】C 【解析】解：.，6.【答案】B 解：双曲线即为，抛物线准线为，即，7.【答案】B 【解析】解：已知直线整理得：，直线恒过定点，即。点也在直线上，所以：.整理得：.由于，均为正数，则。8.【答案】C 解：函数，若，则，即或，故错误；当，所以所以当时，的最大值为1，故正确；令，可
8、得函数的对称中心为，故错误；将的图象向右平移个单位后得到：，故正确；9.【答案】B 解：由题意得，将该人每天所走的路程依次排列，形成一个公比为的等比数列，记为，其前6项和等于378，由题意得：，解得，.10.【答案】C 解：当时，恒成立，在上单调递减，又函数的图象关于直线对称，又，且，在上单调递减，11.【答案】A 解：设圆锥的底面半径为，高为，则，设内切球的半径为，则，12.【答案】C 解：因为函数，即.作函数的图象如下：当时，解得或3或或-4，即当时，或3或或-4.又因为或，所以，当时，只有一个与之对应，其它情况都有2个值与之对应，故此时所求的方程有7个根。当时，与有4个交点，故有8个根；
9、当时，与有3个交点，故有6个根；综上所述，方程的实根个数最多有8个。13.【答案】-3 【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）。由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小。由解得，的坐标代入目标函数得.即目标函数的最小值为-3.14.【答案】 解：因为的定义域为，所以，由，解得，即函数的递增区间为，若函数在上单调递增，则，即.故答案为。15.【答案】2 【解析】解：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立如图的平面直角坐标系，使得抛物线开口向下；设拱桥型抛物线方程为；，将代入抛物线方程得；所以抛物线方程为；当船两侧与抛物线接触时不能通过，由得，（因
10、为船露出水面的部分高0.75米）；所以米。故水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行.16.，解：连结，因为，、平面，则平面，又平面，正确；，平面，平面，平面，即平面，正确；，三棱锥的体积为定值，正确；把当底，的高为到的距离为，的高为到的距离为，错误；从而，正确，错误。17.【答案】解：（1），根据正弦函数的性质可知，函数的最大值为1；（2），、成等差数列，由余弦定理可得，.18.【答案】解：（1）根据已知数据得到如下列联表：有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计75251100根据列联表中的数据，得到:的观测值，所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.（2）
11、记5人中对冰球有兴趣的3人为、，对冰球没有兴趣的2人为、，则从这5人中随机抽取3人，共有，共10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有1种，2人对冰球有兴趣的情况有，共6种，所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求事件的概率.19.【答案】解:（）四边形是正方形，又平面平面，平面平面，面，平面，又平面，在中，由余弦定理得，.又，平面.（）过点做交于点，连结.平面平面，平面平面，平面，平面，在中，又，面，面面到面的距离等于到面的距离，.在直角梯形中，可得，设点到平面的距离为，即，点到平面的距离.20.【答案】解:（1）离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，通径长由及，解的，
12、椭圆方程为:（2）由题可知，直线的斜率存在，故设为，记，由，得，得，在椭圆外，令得，当且仅当，即（符合）时，面积取得最大值，此时.21.【答案】解:（1）的定义域为，当时，3-+极小所以的极小值是，没有极大值；（2），当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增；当，即时，在上，所以，函数在上单调递增；综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递增.（3）“对内任意一个，都有成立”等价于“函数在上的最小值大于零”，由（2）可知当时，在上单调递增，所以，解得；当，即时，在上单调递减，所以的最小值为，可得，因为，所以；当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得，所以；当，即时，可得最小值为，因为，所以，故恒成立综上讨论可得所求的范围是:.22.【答案】解:（），圆心为，半径为1，圆心到直线距离，所以上的点到的最小距离为；（）伸缩变换为，所以，把（为参数）化成标准方程为:将和联立，得，设、对应的参数为，则，因为，23.【答案】解:（1）因为，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）（方法一）由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值5，所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.（方法二）设，则，当时，取得最小值5，所以当时，取得最小值5，故，即的取值范围为.
