1、课时作业(十五)第15讲用导数研究函数的最值及其应用时间:45分钟分值:100分1函数f(x)lnxx在区间(0,e上的最大值为_2函数f(x)12xx3在区间3,3上的最小值是_3已知alnx对于x恒成立,则a的最大值为_4用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为21,则该长方体的最大体积是_m3.5函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_6函数f(x)x2lnx的最小值为_72012泰安模拟 已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为yx381x234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件82011盐城模拟 若函数
2、f(x)(a0)在1,)上的最大值为,则a的值为_92012盐城模拟 已知函数f(x)x3ax2bxc,x2,2表示过原点的曲线,且在x1处的切线的倾斜角均为,则以下命题:f(x)的解析式为f(x)x34x,x2,2;f(x)的极值点有且只有一个;f(x)的最大值与最小值之和等于零其中正确命题的序号为_10已知函数f(x)x42x33m,xR,若f(x)90恒成立,则实数m的取值范围是_112012泰州调研 若函数f(x)loga(x3ax)(a0,a1)在区间内单调递增,则a的取值范围是_12设函数f(x)ax33x1(xR),若对于任意的x1,1都有f(x)0成立,则实数a的值为_13(8
3、分)求函数f(x)x3x22x在区间3,3上的最大值与最小值14(8分)已知函数f(x)的导数f(x)3x23ax,f(0)b,a,b为实数,1a0)现已知相距18 km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数;(2)若a1,且x6时,y取得最小值,试求b的值16(12分)2011北京海淀区一模 已知函数f(x)xalnx,其中a为常数,且a1.若f(x)e1对任意xe,e2恒成立,求实数a的取值范围课时作业(十五)【基础热身】11解析 f(x)1,故f(x)在(0,1)上递
4、增,在(1,e上递减,所以最大值为f(1)1.216解析 令f(x)123x20,得x2.f(2)16,f(3)9,f(2)16,f(3)9,f(x)minf(2)16.30解析 设f(x)lnx,则f(x),当x时,f(x)0,故函数f(x)在(1,2上单调递增,f(x)minf(1)0,a0,即a的最大值为0.43解析 设长方体的宽为x,则长为2x,高为h4.53x,故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)9x26x3.从而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0,解得x0(舍去)或x1,当0x1时,V(x)0;当1x时,V(x)1;由得0x0,解得9x9;令yx2810,解得
5、x9,所以函数yx381x234在区间(0,9)上是增函数,在区间(9,)上是减函数,所以在x9处取极大值,也是最大值8.1解析 f(x),当x时,f(x)0,f(x)单调递减;当x0,f(x)单调递增当1,即a1时,f(x)的最大值为f(),1,矛盾,当1,即0a1时,f(x)的最大值为f(1),a1,经检验符合题意9解析 函数f(x)过原点,c0.由题意得f(x)3x22axb,且f(1)1,f(1)1.a0,b4.f(x)x34x,故正确f(x)3x24,f(x)有两个极值点,故错误又f(x)是奇函数,f(x)maxf(x)min0.故正确10m解析 因为函数f(x)x42x33m,所以
6、f(x)2x36x2,令f(x)0,得x0或x3,经检验知x3是函数的一个最小值点,所以函数的最小值为f(3)3m,不等式f(x)90恒成立,即f(x)9恒成立,所以3m9,解得m.11.解析 当0a1时,由函数g(x)x3ax在区间内单调递增,得g(x)3x2a0对x恒成立,有a0,显然不符综上,a.124解析 由函数f(x)ax33x1,得f(x)3ax23.(1)若a0,则f(x)3x1,显然x1,1时f(x)0不恒成立,所以a0;(2)若a0,f(x)3ax230,所以此时f(x)在1,1上单调递减,所以x1,1时,f(x)minf(1)a2,从而只需a20,所以a2,与前提a0矛盾;
7、(3)若01,令f(x)3ax230,得x1,1,所以此时f(x)在1,1上的单调性如下表:x1f(x)0f(x)f(1)极大值x1f(x)0f(x)极小值f(1)所以只需即可,即a4.13解答 f(x)x3x22x,f(x)x2x2.令f(x)0得x2或x1.则x,f(x),f(x)的变化情况如下:x3(3,2)2(2,1)1(1,3)3f(x)00f(x)6由上表知,在区间3,3上,当x3时,f(x)max,当x1时,f(x)min.14解答 (1)由已知得,f(x)x3ax2b,由f(x)0,得x10,x2a.x1,1,1a0,f(x)递增;当x(0,1时,f(x)0,f(x)递减f(x
8、)在区间1,1上的最大值为f(0)b,b1.又f(1)1a12a,f(1)1a1a,f(1)0.从而点C处的污染指数y.(2)因为a1,所以y,yk,令y0,得x,经检验x时,y取得最小值,故6,解得b8,经验证符合题意所以,污染源B的污染强度b的值为8.16解答 f(x)1,令f(x)0,得10,即xa.当x(0,a)时,f(x)0,函数f(x)在(a,)上单调递增(1)若1ae,即ea1,易得函数f(x)在e,e2上为增函数,此时,f(x)maxf(e2),要使f(x)e1对xe,e2恒成立,只需f(e2)e1即可,所以有e22ae1,即a,而(e)0,即e,所以此时无解(2)若eaae2,易知函数f(x)在e,a上为减函数,在a,e2上为增函数,要使f(x)e1对xe,e2恒成立,只需即由(1)0,得e2a.(3)若ae2,即ae2,易得函数f(x)在e,e2上为减函数,此时,f(x)maxf(e),要使f(x)e1对xe,e2恒成立,只需f(e)e1即可,所以有eae1,即a1,又因为ae2,所以ae2.综上所述,实数a的取值范围是.