1、椭圆及其标准方程太阳系“家族”开普勒（德国）开普勒，天文学史上的“天空立法者”。他对大量的行星数据做了数百次无结果的尝试，历经21年才发现行星运动的两条定律，10年后又发现了第三定律开普勒行星运动定律1-轨道定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上天体运行 COSMOS宇宙.GSP2003年10月15日，中华千年梦圆，神舟五号升空，神州继续腾飞!神舟六号嫦娥工程2004年春季北京高考题 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆。选取坐标系如图所示，椭圆中心在
2、原点。近地点A距地面200km，远地点B距地面350km。飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6105km，已知地球半径R6371km。(I)你能求出飞船飞行的轨道方程吗？(II)你能求出飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s吗？（结果精确到1km/s）（注：km/s即千米/秒）广东茂名一中全茂问题1:圆的定义是什么?圆的定义中有哪些条件?1.一个定点2.距离为定长MrC圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)圆C就是集合P=M|MC|=r这里定点为原点C，定长为半径rMrC标准方程：以原点 C(0,0)为圆心，r为半径探究
3、若适当改变上述两个条件（一个定点、定长），那么动点的轨迹又是什么呢？（2）把“一个定点”改为“两个定点F1和 F2”，把“距离为定长”改为“距离相等”；（1）去掉“距离为定长”；MrC（3）把一个定点改为两个定点F1和 F2，把距离为定长改为距离之比为21；答案是：探究若适当改变上述两个条件（一个定点、定长），那么动点的轨迹又是什么呢？MrC（4）把一个定点改为两个定点F1和 F2，把距离为定长改为距离之和为定值；（5）把一个定点改为两个定点F1和F2，把距离为定长改为距离之差为定值；.探究若适当改变上述两个条件（一个定点、定长），那么动点的轨迹又是什么呢？MrC数 学 实 验(1)取一条细
4、绳,(2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形F1F2MGSP 实验1点击思考问题 1：在作同一曲线图的过程中，圆规两脚末端相对位置变没变？2：在作图过程中绳子长度变没变？3：要使粉笔套上绳子时能移动，绳子长度与两定点距离大小关系怎样？4：绳子的长度和两定点之间的距离还有哪些情况？议一议：通过探究，如何给椭圆下定义呢？探究：改变绳长，动点的轨迹是什么？（1）若绳长|F1F2|，（2）若绳长|F1F2|，GSP实验24：绳子的长度和两定点之间的距离还有 哪些情况？归纳椭圆定义：这两个定点F1、F2称为焦点，两焦点距离称为焦距。记为2cF
5、1F2M平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a 的点的轨迹叫做椭圆。（2a|F1F2|）|MF1|+|MF2|=2a为什么不设为a?为什么不设为c?小结：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？平面上-这是大前提动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a 常数 2a 要大于焦距 2C(2a2c)回顾：求曲线方程的方 法步骤是什么？（1）建系、设点（2）列出限制式（3）代换，得出方程（4）化简（5）证明F1F2M圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)圆C就是集合P=M|MC|=r这里定点为原点C，定长为半径rMrC标准方程：以原点 C(0,0)为圆心，r为半径如何
6、建立坐标系？F1F2M多种方案：1：建立坐标系。2：取定点F1为原点，F1,F2的连线为x轴，过F1与F1F2垂直的直线为y轴。3：取两定点的连线为x轴，F1F2的垂直平分线 为y轴。4：取两定点的连线为y轴，F1F2的垂直平分线 为x轴。.F1F2xy0MF1(-c,0)、F2(c,0)|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c类比圆，建立坐标系为什么不设为c?为什么不设为a?写出等量关系设M（x,y）是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（c,0），(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.由椭圆定义，椭圆就是集合P=MMF1+MF2=2a
7、推导标准方程MF1=MF2=(xc)2 y2 (xc)2 y2 4cx猜猜椭圆的标准方程的形式？猜想xyF1F2推导标准方程(1)、(2)是对偶形式，两者相加得两边平方，并整理得，（a2c2）x2a2y2a2(a2c2).（4）(5)未臻完美？猜想推导标准方程由椭圆定义：2a2c0，即ac0，a2c20，设b0，令 a2c2=b2，（6）代入上式整理得：（7）简单是真理的标志,美丽为数学所蕴含。猜想焦点F1(c,0)、F2(c,0).c2=a2b2.xyF1F2所谓椭圆的标准方程，一定是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。思考-猜测焦点在y轴上的椭圆的标准方程与焦点在x轴上的椭圆的标准方
8、程一样吗？有何不同？OxyF1F2简单是真理的标志,美丽为数学所蕴含。两种形式v说明：1表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是 F1（c，0）、F2（c，0），其中c2=a2-b2v说明：2表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是 F1（0，c），F2（0，c），其中c2=a2-b2形式1：形式2：几点说明：注意两者的异同，两者的对称转换（因为x与y地位对称，两者互换）两种形式中，总有ab0；椭圆焦点始终在分母大的轴上；a、b、c始终满足c2=a2-b2；遇到形如Ax2+By2=C，只要A、B、C同号，就是椭圆方程快速反应536432例1 已知a=4,b=3，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程y口答：根据已知条件，
9、求焦点在x轴上的椭圆的标准方程（1）a=5,b=4（2）a=,b=2变例、已知a=5,c=3，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程练习2根据已知条件，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程（1）a=5,c=4（2）a=,c=2应 用 举 例例2平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹方程.例2 平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。解：1 判断：(1)和是常数；(2)常数大于两个定点之间的距离。故点的轨迹是椭圆。2 取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。3 根据已知求出a、c，再推出a
10、、b写出椭圆的标准方程。解 这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示.取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.回归定义!例2*已知椭圆的焦点坐标是F1（4，0），F2（4，0），椭圆上的任意一点到F1、F2的距离之和是10，求椭圆的标准方程c=42a=10解：由已知得，c=4,2a=10例2*已知椭圆的焦点坐标是F1（4，0），F2（4，0），椭圆上的任意一点到F1、F2的距离之和是10，求椭圆的标准方程 例3 椭圆的两个焦点分别是（0，2）、（0，2），并且椭圆经过点(1.5，2.5).求它的标准方程。.例3 椭圆的两个焦点是（0，2）、（0
11、，2），且椭圆经过点(1.5，2.5).求它的标准方程。解:因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为由椭圆定义：a=，c=，b2=a2c2=所求椭圆的标准方程为26其它方法？待定系数法 方程思想勇攀高峰_ -“定义法”1根据椭圆定义判断点的轨迹是椭圆2象推导椭圆的标准方程时一样，以焦点所在直线为一个坐标轴，以焦点所在线段的垂直平分线为另一坐标轴，建立直角坐标系。从而保证椭圆的方程是标准方程。3设椭圆标准方程，即用待定系数法4写出椭圆的标准方程1一个定义：小 结2两个方程：.三个思想：整体思想 数形结合 方程思想比较作作业业称为椭圆的标准方程焦点在x轴上，焦点是F1（-c,0）F2（c,0）
12、焦点在y轴上，焦点是F1（0,-c）F2（0,c）如何判断焦点?F2F1MxyoyoF1F2xM所谓椭圆的标准方程，一定是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。称为椭圆的标准方程如何求焦点？椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。不同点相同点标准方程图形焦点坐标定义a b c的关系焦点位置的判断F1(-C,0)F2(C,0)F1(0,-C)F2(0,C)分母哪个大，焦点就在哪个轴上xyF1F2xyF1F2作业1.课本P53.1（写书上）2.课本P53.2（1）（2）（3）在平面内进一步的探究：与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点轨迹叫做椭圆yxMF1F2探究一:如果保持绳子长度不变,改变两个定点之间的距离,椭圆的形状会发生怎样变化？探究二:如果距离之和改成距离之差且小于此时点的轨迹如何？(大于 )椭圆及其标准方程.形状不变,大小改变,随常数的增大而大,随常数的减小而小.、焦点不变常数变化时椭圆的变化情况：.、常数不变焦点变化时椭圆的变化情况：形状改变,随焦距的减小越来越圆,随焦距的增大越来越椭.、常数等于焦距时,轨迹是.小于焦距时线段F1F2无轨迹.F1 F2.P1.P2.P3.P4
