1、课时作业18导数与函数的零点问题1设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，解得x1或x1；令y0，解得1xg(x)解：(1)f(x)(x0)，当a10，即a1时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增，无极小值；当a10，即a1时，则当0xa1时，f(x)a1时，f(x)0，函数f(x)在(a1，)上单调递增，故f(x)极小值f(a1)1ln(a1)综上所述
2、，当a1时，f(x)无极小值；当a1时，f(x)极小值1ln(a1)(2)证明：令F(x)f(x)g(x)lnx(x0)，当1a1时，要证f(x)g(x)，即证F(x)0，即证xlnxasinx10.证法1：要证xlnxasinx10，即证xlnxasinx1.当0h(0)0，即xsinx.所以ax1asinx1，(*)令q(x)xlnxx1，q(x)lnx，令x(0,1)时，q(x)0，q(x)在(1，)上单调递增，故q(x)q(1)0，即xlnxx1，当且仅当x1时，取等号又因为0asinx1，所以当0asinx1.当a0时，即证xlnx1，令m(x)xlnx，m(x)lnx1，m(x)在
3、上单调递减，在上单调递增，故m(x)minm1，故xlnx1.当1a0时，当x(0,1时，asinx11，故xlnxasinx1；当x(1，)时，asinx10，由知m(x)xlnxm(1)0，故xlnxasinx1.所以当x(0，)时，xlnxasinx1.综上可知，当1a1时，f(x)g(x)证法2：当1a1时，证明xlnxasinx10，当x1时，易知xlnx0，asinx10，故xlnxasinx10；当x1时，0asin110显然成立，故xlnxasinx10；当0x0，故sinxasinxsinx，令h(x)xsinx，h(x)1cosx0；所以h(x)在(0，)上单调递增，故h(
4、x)h(0)0，即xsinx，故asinx0，由q(x)lnx，当x(0,1)时，q(x)q(1)0，故xlnxasinx10，综上可知，当1a1时，f(x)g(x)证法3：易知f(x)g(x)lnxa，要证f(x)g(x)，即证lnxa，令(x)lnx，则(x)，故(x)min(1)1，故(x)1.令h(x)sinxx，h(x)cosx10，故h(x)在(0，)上单调递减，由h(0)0，从而知当x0时，sinxx，故1，由1a1，故aa.综上，当1a1时，f(x)g(x)3已知函数f(x)(x1)exax2b.(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)为增函数，且f(x)的
5、图象与直线ybx有3个交点，求b的取值范围解：(1)当a1时，f(x)(x1)exx2b(xR)，则f(x)ex(x1)ex2xx(ex2)令f(x)0，解得xln2，令f(x)0，解得0xln2，函数f(x)的单调递增区间为(，0)和(ln2，)，单调递减区间为(0，ln2)(2)f(x)ex(x1)ex2axx(ex2a)，f(x)为增函数，f(x)0恒成立当x0时，ex2a0恒成立，得a.当x0时，ex2a0恒成立，得a.a.f(x)(x1)exx2b.由(x1)exx2bbx，得(x1)ex(x21)b(x1)当x1时，方程成立当x1时，只需要方程ex(x1)b有2个实根令g(x)ex
6、(x1)，则g(x)ex.当xln时，g(x)ln且x1时，g(x)0，g(x)在(，ln)上单调递减，在(ln，1)和(1，)上单调递增，g(ln)(ln1)ln2，g(1)e10，b(ln2，e1)(e1，)4已知函数f(x)exbx1(bR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若方程f(x)lnx有两个实数根，求实数b的取值范围解：(1)由题意可得f(x)exb，当b0时，f(x)0，f(x)在(，)上单调递增当b0时，若xln(b)，则f(x)0，f(x)在ln(b)，)上单调递增；若xln(b)，则f(x)0，f(x)在(，ln(b)上单调递减(2)令g(x)exbx1lnx，则g(x
7、)exb，易知g(x)单调递增且一定有大于0的零点，设g(x)大于0的零点为x0，则g(x0)0，即e x0b0，be x0.方程f(x)lnx有两个实数根，即g(x)有两个零点，则需满足g(x0)0，即ex0bx01lnx0ex0(ex0)x01lnx0e x0e x0x0lnx00)，则h(x)exx0，所以h(x)在(0，)上单调递减，h(1)0，所以e x0e x0x0lnx00的解集为(1，)，所以be x01e.当bxbxlnx，有g(eb)ebbeblneb(b1)ebb；令G(x)(x1)exx(x1)(ex1)1，x1e，所以x12e0,0ex0，所以g(eb)0，故g(eb
8、)g(x0)0.综上，b的取值范围是(，1e)5设函数f(x)(ax1)e1x.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间(2)当a1时，若函数f(x)与函数yx24xm(mR)的图象总有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1，x2.求m的取值范围；求证：x1x24.解：(1)由已知得，f(x)ae1x(x)，由于e1x0，a0，令f(x)0得x，令f(x)，当a0时，f(x)的单调递增区间是(，单调递减区间是(，)(2)解法1：令g(x)f(x)x24xm(x1)e1xx24xm，g(x)(e1x2)(x2)，由g(x)2，由g(x)0得，x0，m4，m的取值范围为(，4)解法2：f(x)e1x(x2)，由f(x)2，由f(x)0得，x228m，解得m4，m的取值范围为(，4)证明：由题意知，x1，x2为函数g(x)f(x)x24xm(x1)e1xx24xm的两个零点，由知，不妨设x12x2，则4x24，只需证明g(x1)g(4x2)，而g(x1)g(x2)，只需证明g(x2)g(4x2)令H(x2)g(x2)g(4x2)(x22)，则H(x2)(x21)e(x23)e，H(x2)(x22)(ee)x22，e1，即ee0，H(x2)0，即H(x2)在(2，)上为增函数，H(x2)H(2)0，g(x2)g(4x2)成立，x1x24.
