1、空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.【重点难点】 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.【课时安排】 1课时【教学过程】导入新课 观察长方体（图1），你能发现长方体ABCDABCD中，线段AB所在的直线与线段CC所在直线的位置关系如何？图1推进新课新知探究提出问题什么叫做异面直线？总结空间中直线与直线的位置关系.两异面直线的画法.在同一平面内，如果两直线都与第
2、三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？什么是空间等角定理？什么叫做两异面直线所成的角？什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2组织学生思考：长方体ABCDABCD中，如图1,BB
3、AA，DDAA,BB与DD平行吗？通过观察得出结论：BB与DD平行.再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：ab,bcac.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引aa，bb，则a，b所成的锐角（或直角）叫做两条异
4、面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O（图4），过点O作aa，bb，根据等角定理，a与b所成的锐角（或直角）和a与b所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a、
5、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5应用示例例1 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.图6求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接EH，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EH=.同理，FGBD，且FG=.所以EHFG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行
6、四边形.变式训练1.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD.求证：四边形EFGH是菱形.证明：连接EH，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EH=.同理，FGBD，EFAC，且FG=,EF=.所以EHFG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH.所以四边形EFGH为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点且AC=BD，ACBD.求证：四边形EFGH是正方形.证明：连接EH，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EH=.同理，FGBD，EFAC，且F
7、G=，EF=.所以EHFG，且EH=FG.所以四边形EFGH为平行四边形.因为AC=BD，所以EF=EH.因为FGBD，EFAC，所以FEH为两异面直线AC与BD所成的角.又因为ACBD，所以EFEH.所以四边形EFGH为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.例2 如图7，已知正方体ABCDABCD.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？(2)直线BA和CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与BA是异面直线.(2)由BBCC可知，BBA是异面直线BA和CC的夹
8、角，BBA=45，所以直线BA和CC的夹角为45.（3）直线AB、BC、CD、DA、AB、BC、CD、DA分别与直线AA垂直.变式训练 如图8，已知正方体ABCDABCD.图8（1）求异面直线BC与AB所成的角的度数；(2)求异面直线CD和BC所成的角的度数.解：（1）由ABCD可知，BCD是异面直线BC与AB所成的角，BCCD，异面直线BC与AB所成的角的度数为90.（2）连接AD,AC,由ADBC可知，ADC是异面直线CD和BC所成的角，ADC是等边三角形.ADC=60，即异面直线CD和BC所成的角的度数为60.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.拓展提升 图9是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图9AB与CD所在直线垂直；CD与EF所在直线平行；AB与MN所在直线成60角；MN与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D.答案：D课堂小结 本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点. 为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.作业 课本习题2.1 A组3、4.
