1、54.2正弦函数、余弦函数的性质(1)内容标准学科素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义直观想象逻辑推理2.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期3.掌握函数ysin x，ycos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.授课提示：对应学生用书第95页教材提炼知识点一周期性ysin x，x0,2，与x2，4的图象有什么区别，ycos x，x0,2，与x2，4的图象有什么区别？ 知识梳理(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所
2、有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期(3)正弦函数ysin x(xR)和余弦函数ycos x(xR)都是周期函数，最小正周期为2,2k(kZ且k0)是它们的周期知识点二正、余弦函数的奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称这个事实，可以直观地看ysin x，ycos x的什么性质？ 知识梳理正弦函数ysin x(xR)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数ycos x(xR)是偶函数，图象关于y轴对称自主检测1函数f(x)sin(x)的奇偶性是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数答案：A2函数f(x)s
3、in(x)的是()A周期为2的奇函数B周期为的偶函数C周期为2的偶函数D周期为的偶函数答案：C3若f(x)cos ，则f(x)的最小正周期为()A2 BC. D4答案：D4对于任意的xR，都有f(x2)f(x)，且f(1)2.则f(5)_.答案：2授课提示：对应学生用书第95页探究一求三角函数的周期例1求下列函数的周期：(1)ysin(2x)(xR)；(2)y|sin x|(xR)解析(1)法一：令z2x，xR，zR，函数ysin z的最小正周期是2，就是说变量z只要且至少要增加到z2，函数ysin z(zR)的值才能重复取得，而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能
4、重复取得，从而函数f(x)sin(2x)(xR)的周期是.法二：f(x)sin(2x)中2，T.(2)作出y|sin x|的图象如图：由图象知，y|sin x|的周期为.求函数周期的三种方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(xT)f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数(2)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法(3)公式法：T.(1)函数f(x)1|cos x|的最小正周期为_；(2)函数f(x)|1sin x|的最小正周期为_解析：(1)f(x)1|cos x|的图象是由y|cos x|的图象向上平移1个单
5、位得到，其周期不变而y|cos x|的周期为.f(x)1|cos x|的最小正周期为.(2)1sin x0，f(x)|1sin x|1sin x最小正周期为2.答案：(1)(2)2探究二判断三角函数奇偶性例2判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin；(2)f(x).解析(1)因为函数的定义域为R，且f(x)sinsincos 2x，所以f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，所以函数f(x)sin为偶函数(2)由2sin x10，即sin x，得函数的定义域为(kZ)，故定义域不关于原点对称，所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数.利用定义判断函数奇偶性的三个步骤判断下列函数的奇偶性：(1
6、)f(x)|sin x|cos x；(2)f(x).解析：(1)函数的定义域为R，又f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以此函数是偶函数(2)由1cos x0且cos x10，得cos x1，从而x2k，kZ，此时f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数探究三周期性与奇偶性的综合问题例3教材P203练习第4题拓展探究(1)已知f(x)cos x，则f(1)f(2)f(2 019)_.(2)若函数f(x)2sin(0)是偶函数，则_，最小正周期T_.(3)若f(x)是以2为周期的奇函数，且当x(1,0)时，f(x)2x1，求f的值(4)若函数f(x)是奇函数，
7、当x0时，f(x)xsin x，求当x0时f(x)的解析式解析(1)因为f(1)cos ，f(2)cos ，f(3)cos 1，f(4)cos，f(5)cos ，f(6)cos 21，所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)0，又f(x)的周期为T6，所以f(1)f(2)f(2 019)3360f(1)f(2)f(3)()(1)1.(2)因为f(x)为偶函数，所以函数yf(x)的图象关于x0对称，故当x0时函数取得最值，即f(0)2，所以2sin2，所以k，k，kZ.又因为0，所以.最小正周期为.(3)因为f(x)是以2为周期的函数，所以fff.又f(x)是奇函数，所以ff.又当x
8、(1,0)时，f(x)2x1.所以fff0.(4)设x0，所以f(x)xsin(x)xsin x.又f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)xsin x(x0)答案(1)1(2)(3)(4)见解析三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式，再利用公式求解还可以用T求周期(2)判断函数yAsin(x)或yAcos(x)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为yAsin x或yAcos x其中的一个即yAsin(x)，当k时为奇函数，当k时，为偶函数yAcos(x)，当k时为奇函数，当k时为偶
9、函数授课提示：对应学生用书第97页1探究函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期公式事实上，令zx，那么由xR得zR，且函数yAsin z，zR及函数yAcos z，zR的周期都是2.因为z2(x)2，所以，自变量x增加，函数值就重复出现；并且增加量小于时，函数值不会重复出现即T是使等式Asin(xT)Asin(x)，Acos(xT)Acos(x)成立的最小正数，从而，函数yAsin(x)，xR及函数yAcos(x)，xR的周期T.2函数的奇偶性与对称性的拓展ysin x，(xR)是奇函数，图象关于原点对称，结合周期性其对称中心为(k，0)(kZ)，也是轴对称图形，其对称轴为xk(kZ)y
10、cos x也是如此，总结如下函数对称中心对称轴ysin x(k，0)，kZxk，kZycos x(k，0)，kZxk，kZ典例如果函数f(x)sin(0)的相邻两个零点之间的距离为，则的值为()A3B6C12 D24解析相邻两个零点之间的距离为，则周期T2，于是6.答案B3三角函数变形不等价导致奇偶性判断错误典例函数y的奇偶性为_解析由题意，当sin x1时，ycos x.所以函数的定义域为x|x2k，kZ由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数答案非奇非偶函数纠错心得此类问题一般是按函数奇偶性定义加以判断，一般不把函数式化简，若要化简，应注意化简前后的等价性，如本例，若直接将函数式化为ycos x，则易出现判断该函数为偶函数的错误
