1、题型三填空压轴题高 分 帮 类型1多空类1.如图,在直角三角形纸片ABC中,ACB=90,点D,E分别是BC,AC上的点(不含端点),折叠DCE使得直角顶点C落在斜边AB上的点F处,且BDF是直角三角形.(1)四边形DCEF的形状是正方形;(2)若AB=10,AC=6,则CD的长为247.2.如图(1),在ABC中,AB=AC,BAC=90,AF在BAC内部,且AF=AB.分别对折BAF,CAF,使得AB,AC与AF重合,如图(2)(BDCE).(1)DEF的形状是直角三角形;(2)若AB=62,DE=5,则AD的长为35.3.在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,E为边CD上一点.如图(
2、1),将BCE沿BE所在直线折叠,点C恰好落在AD边上的点F处;将纸片展开,如图(2),沿着CF所在直线折叠CDF得到CDF,折痕CF与BE交于点M.(1)点D是BF上的一点;(填“是”或“不是”)(2)若点N是AF的中点,连接MN,则MN=5.4.如图(1),四边形ABCD是正方形,点E是边AD上的点,将CDE沿着直线CE折叠,使得点D落在AC上,对应点为点F.(1)CDEF=2+1;(2)如图(2),点G是BC上的点,将ABG沿着直线AG折叠,使得点B落在AC上,对应点为H,连接FG,EH,则S正方形ABCDS四边形EFGH=4+322.5.在折纸这种传统手工艺术中,蕴含许多数学思想,我们
3、可以通过折纸得到一些特殊图形,把一张正方形纸片按照图(1)(4)的过程折叠、展开.(1)(2)(3)(4)(1)在图(4)中,四边形ABCD是菱形;(2)若四边形ABCD的面积为S,则正方形纸片的面积为(2+1)S. 类型2几何多解类1.点、线位置不确定类多解题6.2020亳州二模如图,在ABC中,C=90,AC=8,BC=16,点D,E分别在边BC,AB上,沿DE将ABC折叠,使点B与点A重合,连接AD,点P在线段AD上,当点P到ABC的直角边距离等于5时,AP的长为253或154.7.2019宣城二模在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边或对角线上一点,若PD=2AP,
4、则AP的长为2,23或14-2.8.2020安庆模拟已知在ABC中,ABC=90,AB=9,BC=12.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交射线AB于点P.连接BQ,当PQB为等腰三角形时,AP的长为5或18.2.图形形状不确定类多解题9.如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=4,点D从点A出发,以每秒5个单位长度的速度向点B运动,同时点E从点B出发,以每秒4个单位长度的速度向点C运动,在DE的右侧作DEF=B,交直线AC于点F,连接DF.设运动时间为t秒,则当ADF是一个以AD为腰的等腰三角形时,t的值为521,511或12.10.2019合肥包河区一模如图,在矩
5、形ABCD中,AD=4,AC=8,点E是AB的中点,点F是对角线AC上一点,GEF与AEF关于直线EF对称,EG交AC于点H.当CGH中有一个内角为90时,CG的长为27或4.11.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E在AD边上,且AE=2.点P是射线BC上一动点,连接BE,PE,过点P作PFBE于点F.当PEF与ABE相似时,BP的长为2或134.3.操作过程不确定类多解题12.如图是一张有一个角为30,最小边长为4的直角三角形纸片,沿图中所示的中位线剪开后,将两部分拼成一个四边形,则所得四边形的周长为8+43或16.13.在某张三角形纸片上,取其一边的中点,沿着过这点的两条中位线剪去两
6、个三角形,剩下的部分是如图所示的四边形,经测量这个四边形的相邻两边长分别为10cm,6cm,一条对角线的长为8cm,则原三角形纸片的周长是48或(32+813)cm. 类型3函数多解类14.在抛物线y=ax2+bx+c中,当-3x3时,-3y3,且该抛物线经过点(3,-3),(-3,3),则a的取值范围为-16a0或0a16.15.2020合肥48中一模在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=-x2-2x+c与y轴交于点P,以OP为一边向左作正方形OPBC,点A为抛物线的顶点,当ABP是锐角三角形时,c的取值范围是1c2或-2c-1.16.2020合肥瑶海区二模如果二次函数y=x2+b(
7、b为常数)与正比例函数y=2x的图象在-1x2时有且只有一个交点,那么常数b的值应为b=1或-3b0.17.如图,直线y=x与抛物线 y=x2-x-3交于A,B两点(点A在点B的左侧),点P是抛物线上的一个动点,过点P作PQx轴交直线y=x于点Q,设点P的横坐标为m,则线段PQ的长度随着m的增大而减小时,m的取值范围是m-1或1m3(等号写不写均可).18. 如图,若双曲线L:y=kx(x0)与抛物线G:y=-34x(x+4)所围成的区域(不含边界)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数是3,则k的取值范围是-3k-2.参考答案题型三填空压轴题1.(1)正方形(2)247(1)易知B90.由折
8、叠可知DFE=90,BFD=90-AFE90,BDF=90,CDF=180-BDF=90,四边形DCEF是矩形.又DC=DF,四边形DCEF是正方形.(2)如图,四边形DCEF是正方形,EFBC,ECFD,AEF=C=FDB,AFE=B,AEFFDB,AEFD=EFDB,AEDB=EFFD.易得BC=8.设CD=x,则CE=EF=DF=CD=x,BD=8-x,AE=6-x,(6-x)(8-x)=x2,解得x=247,即CD=247.2.(1)直角三角形(2)35(1)由折叠可知AFD=B,AFE=C.BAC=90,B+C=90,AFD+AFE=90,故DEF是直角三角形.(2)如图,过点A作A
9、GBC,垂足为点G.AB=AC=62,BAC=90,BC=AB2+AC2=12.AB=AC,AGBC,AG=BG=CG=6.设BD=x,则DF=x,EF=EC=12-DE-BD=12-5-x=7-x.在RtDEF中,DE2=DF2+EF2,即25=x2+(7-x)2,解得x=3或4.BDCE,BD=3,DG=3,AD=32+62=35.3.(1)是(2)5(1)由折叠的性质可知BC=BF,DFC=DFC,BFC=BCF.ADBC,DFC=BCF,DFC=BFC,点D是BF上的点.(2)连接AC.由折叠的性质可知,BE垂直平分线段CF,点M是FC的中点.又点N是AF的中点,MN是ACF的中位线,
10、MN=12AC.四边形ABCD是矩形,ABC=90,AC=AB2+BC2=62+82=10,MN=12AC=5.4.(1)2+1(2)4+322(1)由题意可知AEF是等腰直角三角形,且AF=EF.设EF=m,则DE=m,AE=2EF=2m,CD=AD=m+2m=(1+2)m,CDEF=(1+2)mm=2+1.(2)易知CHG是等腰直角三角形,且CH=GH.由折叠和正方形的性质可知DCE=BAG=22.5.又CD=AB,D=B=90,DCEBAG,DE=BG,EF=DE=BG=GH.易知GHF=EFH=90,EFGH,四边形EFGH是平行四边形,S四边形EFGH=EFFH.CH=HG=EF=A
11、F=m,AC=2CD=2(m+2m).S正方形ABCD=CD2=(1+2)2m2,S四边形EFGH=EF(AC-AF-CH)=m2(m+2m)-2m=2m2,S正方形ABCDS四边形EFGH=(1+2)22=3+222=4+322.5.(1)菱(2)(2+1)S(1)如图,由折叠可知,MAD=DAC=12MAC,CAB=NAB=12CAN,DCA=MCD=12ACM,ACB=NCB=12ACN.四边形AMCN是正方形,MAC=MCA=NAC=NCA,DAC=BAC=BCA=DCA,ADBC,ABDC,四边形ABCD为平行四边形.DAC=DCA,AD=CD,四边形ABCD为菱形.(2)连接MN交
12、AC于点O,过点B作BPAN于点P,易知MN经过点B,D,BPN是等腰直角三角形,则OB=BP,BN=2BP.设OB=BP=a,则BD=2a,BN=2a,SACNSACB=ONOB=2a+aa=2+1.根据正方形和菱形的对称性,可知S正方形AMCNS四边形ABCD=2SACN2SACB=2+1,S正方形AMCN=(2+1)S.6.253或154设BD=x,则AD=BD=x,CD=16-x.在RtACD中,由勾股定理,得AD2=AC2+CD2,即x2=82+(16-x)2,解得x=10,BD=10,CD=6.分以下两种情况讨论.(1)当点P到AC边的距离等于5时,过点P作PFAC于点F,如图(1
13、),则PF=5,PFCD,APFADC,APAD=PFDC,即AP10=56,AP=253.(2)当点P到BC边的距离等于5时,过点P作PGBC于点G,如图(2),则PG=5,PGAC,DPGDAC,DPDA=PGAC,即DP10=58,DP=254,AP=10-254=154.综上所述,AP的长为253或154.7.2,23或14-2当点P是AD上的点时,如图(1),PD=2AP,AP=13AD=13AB=2.当点P是AB上的点时,如图(2),PD=2AP,DAP=90,ADP=30,AP=33AD=336=23.如图(3),当点P是AC上的点时,过点P作AD的垂线,垂足为点E.设AP=x,
14、则PD=2x,AE=PE=22x,DE=6-22x.在RtDEP中,由勾股定理,得PD2=DE2+PE2,即(2x)2=(6-22x)2+(22x)2,解得x=14-2(负值已舍去),故AP=14-2.当点P是CD,BD或BC上的点时,都不能满足PD=2AP.综上所述,AP的长为2,23或14-2.8.5或18在RtABC中,AB=9,BC=12,由勾股定理,得AC=15.分以下2种情况讨论.当点P在线段AB上时,如图(1).QPB=A+AQP=A+90,QPB为钝角,当PQB为等腰三角形时,只可能是PQ=PB=9-PA.易证AQPABC,PAAC=PQBC,即PA15=9-PA12,AP=5
15、.当点P在线段AB的延长线上时,如图(2),易知QBP为钝角,当PQB为等腰三角形时,只可能是PB=BQ,BQP=P.又BQP+AQB=90,A+P=90,AQB=A,BQ=AB=9,BP=9,AP=18.综上所述,当PQB为等腰三角形时,AP的长为5或18.9.521,511或12根据题意可得AD=5t,BE=4t,则BD=5-5t,CE=4-4t.易证BDECEF,BDCE=BECF,BDCF=BECE.分以下三种情况讨论.如图(1),当点F在线段AC上,且AF=AD=5t时,CF=BD=5-5t,(5-5t)2=4t(4-4t),解得t=521(不合题意的解已舍去).如图(2),当点F在
16、CA的延长线上,且AF=AD=5t时,CF=5+5t,(5-5t)(5+5t)=4t(4-4t),解得t=511(不合题意的解已舍去).如图(3),当点F在CA的延长线上,且DF=AD=5t时,过点B作BMAC,垂足为点M.设AM=x,由勾股定理可得AB2-AM2=BC2-CM2,即(5)2-x2=42-(5+x)2,解得x=355.取AF的中点H,连接DH,则HDA=MBA,sinHDA=sinMBA,即AHAD=AMAB,AH5t=3555,解得AH=355t,AF=655t,(5-5t)(5+655t)=4t(4-4t),解得t=12(不合题意的解已舍去).综上所述,t的值为521,51
17、1或12.图(1)图(2)图(3)10.27或4在矩形ABCD中,AB=CD=AC2-AD2=43,tanBAC=BCAB=443=33,BAC=30.如图(1),当CHG=90时,EH=12AE=3,AH=3EH=3,CH=8-3=5,GH=EG-EH=3,CG=CH2+GH2=52+(3)2=27.如图(2),当CGH=90时,连接CE,BE=AE=GE,CE=CE,RtCEGRtCEB,CG=BC=4.由题意可知,点G在以点E为圆心,EA为半径的圆上运动,GCH90,故GCH90.图(1)图(2)11.2或134在PEF与ABE中,A=EFP=90,当PEF与ABE相似时,分两种情况讨论
18、.(1)如图(1),当PEFEBA时,PEF=EBA,ABEP.易得四边形ABPE是矩形,BP=AE=2.(2)如图(2),当PEFBEA时,PEF=BEA.ADBC,EBP=BEA,PEF=EBP,BP=EP,点F是BE的中点.由勾股定理可求得BE=AB2+AE2=32+22=13,EF=12BE=132.PEFBEA,EFAE=EPBE,即1322=EP13,EP=134,BP=EP=134.综上可知,BP的长为2或134. 图(1)图(2)12.8+43或16如图,由题意可得AB=4.C=30,BC=8,AC=43.根据题意易知CD=AD=23,CF=BF=4,DF=2.剪开后有如图(1
19、)、图(2)、图(3)3种拼接方式.图(1)中所得四边形ABED为矩形,其周长为2+2+4+23+23=8+43;图(2)中所得四边形为平行四边形,其周长为4+4+4+4=16;图(3)中所得四边形为等腰梯形,其周长为2+4+2+4+4=16.综上,所得四边形的周长为8+43或16.13.48或(32+813)原三角形纸片有如图(1)、图(2)两种可能.如图(1),原三角形纸片的三边长分别为20,16,12,故其周长为48cm;如图(2),BD=6,BC=8,CD=10,BD2+BC2=CD2,CBD=90.易知ACBD,BCA=90,AB=AC2+BC2=413,故原三角形纸片的三边长分别为
20、20,12,813,故其周长为(32+813)cm.综上所述,原三角形纸片的周长是48cm或(32+813)cm.14.-16a0或0a16由于y=ax2+bx+c经过(3,-3),(-3,3),则9a+3b+c=-3,9a-3b+c=3,-,得6b=-6,b=-1,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=12a.当a0时,抛物线的开口向下,当x=12a-3时符合题意,解得-16a0时,抛物线的开口向上,当x=12a3时符合题意,解得0a16.综上所述,a的取值范围为-16a0或0a16.15.1c2或-2c0时,如图(1),此时B(-c,c),P(0,c),AP2=(-1-0)2+(c+
21、1-c)2=2,AB2=-1-(-c)2+(c+1-c)2=c2-2c+2.易知当0c1时,随着c的增大,ABP逐渐减小,BAP逐渐增大,当BAP增加到90时,AB2+AP2=BP2,即c2-2c+2+2=c2,解得c=2.故ABP是锐角三角形时,1c2.当c0时,如图(2),此时B(c,c),P(0,c),AP2=(-1-0)2+(c+1-c)2=2,AB2=(-1-c)2+(c+1-c)2=c2+2c+2.易知当-1c0时,ABP为钝角;当c=-1时,ABP为直角;当c-1时,随着c的减小,ABP逐渐减小,BAP逐渐增大,当BAP增加到90时,AB2+AP2=BP2,即c2+2c+2+2=
22、c2,解得c=-2.故ABP是锐角三角形时,-2c-1.综上所述,c的取值范围为1c2或-2c-1.16.b=1或-3b0对于y=2x,当x=-1时,y=-2,当x=2时,y=4.令x2+b=2x,移项,得x2-2x+b=0,当=4-4b=0时,解得b=1,此时抛物线与正比例函数y=2x的图象的交点为(1,2),-112,故b=1符合题意,此时函数图象如图(1)所示.随着b的减小,抛物线向下平移,当抛物线经过点(2,4)时,易得b=0,函数图象如图(2)所示,易知当0b1时,抛物线与正比例函数y=2x的图象在-1x2时有两个交点.当抛物线过点(-1,-2)时,b=-3,函数图象如图(3)所示,
23、易知当-3b0时,抛物线与正比例函数y=2x的图象在-1x2时有一个交点.随着抛物线继续向下平移,易知当b-3时,抛物线与正比例函数y=2x的图象在-1x2时无交点.综上所述,b=1或-3b0.图(1)图(2)图(3)17.m-1或1m3(等号写不写均可)令x=x2-x-3,解得x1=-1,x2=3,A(-1,-1),B(3,3).易得P(m,m2-m-3),Q(m,m).当m3时,PQ=m2-m-3-m=m2-2m+1-4=(m-1)2-4,当m-1时,PQ的长度随m的增大而减小;当-1m3时,PQ=m-(m2-m-3)=-m2+2m+3=-(m-1)2+4,当1m3时,PQ的长度随m的增大
24、而减小.综上可知,m的取值范围为m-1或1m3.18.-3k-2y=-34x(x+4)=-34(x+2)2+3,抛物线G的顶点坐标为(-2,3).对于y=-34x(x+4),当x=-1时,y=94;当x=-3时,y=94;当x=-4或x=0时,y=0,抛物线与x轴围成的区域(不含边界)内包含的整点有(-3,2),(-3,1),(-2,2),(-2,1),(-1,2),(-1,1),共6个.分析题意可知,符合要求的整点一定是(-3,2),(-2,2),(-3,1),故当双曲线y=kx经过(-2,1)和(-1,2)两点时,k取最大值,为-2;当双曲线y=kx经过点(-3,1)时,符合条件的整点只有(-3,2)和(-2,2).综上可知,k的取值范围为-3k-2.
