1、第四章三角形第一节角、相交线、平行线考点1直线与线段1.2021浙江杭州如图,设点P是直线l外一点,PQl,垂足为点Q,点T是直线l上的一个动点,连接PT,则(C)A.PT2PQB.PT2PQC.PTPQD.PTPQ2.2021内蒙古包头已知线段AB=4,在直线AB上作线段BC,使得BC=2,若D是线段AC的中点,则线段AD的长为(C)A.1B.3C.1或3D.2或3考点2角及角平分线3.如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列摆放方式中,与互余的是(A)图(1) 图(2)图(3)图(4)A.图(1)B.图(2)C.图(3)D.图(4)4.如图,点A,O,E在同一直线上,AOB=40,EOD=
2、2846,OD平分COE,则COB=(C)A.6846B.8232C.8228D.82465.2021辽宁营口若A=34,则A的补角为146.6.2021福建如图,AD是ABC的角平分线.若B=90,BD=3,则点D到AC的距离是3.考点3相交线与平行线7.2021河南如图,ab,1=60,则2的度数为(D)A.90B.100C.110D.1208.2021内蒙古呼和浩特如图,在ABC中,B=50,C=70,直线DE经过点A,DAB=50,则EAC的度数是(D)A.40B.50C.60D.709.2021湖南岳阳将一副直角三角板按如图方式摆放,若直线 ab,则1的大小为(C)A.45B.60C
3、.75D.10510.2021四川达州如图,一束光线AB先后经平面镜OM,ON反射后,反射光线CD与AB平行,当ABM=40时,DCN的度数为(B)A.40B.50C.60D.8011.2021湖南益阳如图,AB与CD相交于点O,OE是AOC的平分线,且OC恰好平分EOB,则AOD=60.12.2021四川遂宁如图,在ABC中,AB=5,AC=7,直线DE垂直平分BC,垂足为点E,交AC于点D,则ABD的周长是12.13.2020贵州铜仁设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD的距离是12cm,EF与CD的距离是5cm,则AB与EF的距离等于7或17cm.14.2021
4、湖北武汉如图,ABCD,B=D,直线EF与AD,BC的延长线分别交于点E,F.求证:DEF=F.证明:ABCD,DCF=B.又B=D,DCF=D.ADBC.DEF=F.考点4命题15.2021浙江嘉兴能说明命题“若x为无理数,则x2也是无理数”是假命题的反例是(C)A.x=2-1B.x=2+1C.x=32D.x=3-216.2021四川达州以下命题是假命题的是(A)A.4的算术平方根是2B.有两边相等的三角形是等腰三角形C.一组数据:3,-1,1,1,2,4的中位数是1.5D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行17.命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题为到角两边距离相等的点
5、在角的平分线上.第二节三角形及其性质(含特殊三角形)考点1三角形的基本性质1.2021江苏淮安中考改编一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数,则第三边的长是(C)A.2B.3或4C.4D.52.2021陕西如图,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若A=35,B=25,C=50,则1的大小为(B)A.60B.70C.75D.853.2021江苏宿迁如图,在ABC中,A=70,C=30,BD平分ABC交AC于点D,DEAB,交BC于点E,则BDE的度数是(B)A.30B.40C.50D.604.2021合肥包河区二模一副直角三角板如图放置,则1+2的度数为(B)A.22.
6、5B.30C.45D.605.2021合肥42中三模如图,在ABC中,点O是边AB和AC的垂直平分线OD,OE的交点,点D,E分别在AB,AC上,若BOC=100,则EOF的大小为(C)A.40B.45C.50D.806.2021湖南怀化如图,在ABC中,以点A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M,N;再分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点D.则下列说法正确的是(C)A.AD+BD”“=”或“”).9.如图,学校有一块三角形空地(ABC),现准备将它分成面积相等的两块地,栽种不同的花草,请你把它分出来.(作图要求:尺规作图,保留作
7、图痕迹,不写作法,不要求证明)解:如图所示,AD将空地分成了面积相等的两块地.10.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N.求证:BME=CNE.证明:连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,如图.E,F分别是BC,AD的中点,FH,EH分别是ABD,BCD的中位线,FHBM,FH=12AB,EHCN,EH=12CD,BME=HFE,CNE=HEF.AB=CD,FH=EH,HFE=HEF,BME=CNE.考点2等腰三角形的判定与性质11.2020贵州毕节已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形的周长为
8、(B)A.13B.17C.13或17D.13或1012.2021合肥42中一模如图,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则EDC的度数为(D)A.30B.20C.25D.1513.2021浙江台州如图,在ABC中,ACB=90,ACBC.分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧交于D,E两点,直线DE交BC于点F,连接AF.以点A为圆心,AF为半径画弧,交BC的延长线于点H,连接AH.若BC=3,则AFH的周长为6.14.2021浙江绍兴如图,在ABC中,AB=AC,B=70,以点C为圆心,CA的长为半径作弧,交直线BC于点P,连接AP,则BAP的度数是15或75.15.2
9、021浙江杭州如图,在ABC中,ABC的平分线BD交AC边于点D,AEBC于点E.已知ABC=60,C=45.(1)求证:AB=BD.(2)若AE=3,求ABC的面积.(1)证明:因为BD平分ABC,所以DBC=12ABC=30,所以ADB=DBC+C=75.又因为BAC=180-ABC-C=75,所以BAC=ADB,所以AB=BD.(2)由题意,得BE=AEtanABC=3,EC=AEtanC=3,所以BC=3+3,所以ABC的面积为12BCAE=9+332.16.2021浙江绍兴如图,在ABC中,A=40,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.(1)若ABC=80
10、,求BDC,ABE的度数.(2)写出BEC与BDC之间的关系,并说明理由.解:(1)ABC=80,BD=BC,BDC=BCD=50.在ABC中,ABC=80,A=40,ACB=60.又CE=BC,EBC=60,ABE=ABC-EBC=20.(2)BEC,BDC的关系:BEC+BDC=110.理由:设BEC=,BDC=.由三角形外角的性质可知=A+ABE=40+ABE.CE=BC,CBE=BEC=,ABC=ABE+=ABE+40+ABE=40+2ABE.在BDC中,BD=BC,BDC+BCD+DBC=2+40+2ABE=180,=70-ABE,+=40+ABE+70-ABE=110,BEC+BD
11、C=110.考点3直角三角形的判定与性质17.2021浙江杭州如图,已知线段AB,按如下步骤作图:作射线AC,使ACAB;作BAC的平分线AD;以点A为圆心,AB长为半径作弧,交AD于点E;过点E作EPAB于点P,则APAB=(D)A.15B.12C.13D.1218.2021浙江宁波如图,在ABC中,B=45,C=60,ADBC于点D,BD=3.若点E,F分别为AB,BC的中点,则EF的长为(C)A.33B.32C.1D.6219.2021合肥45中四模如图,在ABC中,ACB=90,CBA=30,点D在BA的延长线上,且BA=2AD,连接DC并延长,过点B作BEDC于点E,若BE=3,则A
12、CD的面积为(C)A.1B.2C.3D.2320.2021黑龙江齐齐哈尔直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三角形斜边上的高为125或374.21.2021六安模拟在正方形网格中,A,B,C,D,E均为格点,则BAC-DAE=45.22.如图,在RtABC中,ACB=90,CD是斜边AB上的中线,过点A作AECD于点F,交CB于点E,且EAB=DCB.(1)求B的度数;(2)求证:BC=3CE.(1)AECD,AFC=ACB=90,CAF+ACF=ACF+ECF=90,ECF=CAF.又EAD=DCB,CAD=2DCB.CD是斜边AB上的中线,CD=BD,B=DCB,CAB=2B.又B
13、+CAB=90,B=30.(2)证明:B=BAE=CAE=30,AE=BE,CE=12AE,BC=3CE.1.2021四川凉山州下列命题中,假命题是(C)A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 C.若AB=BC,则点B是线段AC的中点 D.三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心2.2021浙江湖州如图,已知在ABC中,ABC90,ABBC,BE是AC边上的中线,按下列步骤作图:分别以点B,C为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径作弧,相交于点M,N.过点M,N作直线MN,分别交BC,BE于点D,O;连接CO,DE.则下
14、列结论错误的是(D)A.OB=OCB.BOD=CODC.DEABD.DB=DE3.2021浙江嘉兴如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=5,点D在AC上,且AD=2,点E是AB上的动点,连接DE,点F,G分别是BC和DE的中点,连接AG,FG.当AG=FG时,线段DE的长为(A)A.13B.522C.412D.44.如图,在四边形ABCD中,B=D=90,AD=CD=32,BCD=75.连接AC,点M,N是AC的三等分点,点P是四边形ABCD边上的动点,若PMN的周长为7,则点P的位置有(C)A.8处B.7处C.6处D.2处5.2021黑龙江大庆三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右
15、依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则a的取值范围为-3a-2.6.2021四川乐山在RtABC中,C=90,有一个锐角为60,AB=4.若点P在直线AB上(不与点A,B重合),且PCB=30,则CP的长为3,23或2.7.2021河南小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏,如图(1),在RtABC中,ACB=90,B=30,AC=1.第一步,在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠,点A落在A处,如图(2);第二步,将纸片沿CA折叠,点D落在D处,如图(3).当点D恰好在原直角三角形纸片的边上时,线段AD的长为12或2-3. 图(1) 图(2)图(3)8.2021广东广州如图,在四边形ABCD
16、中,ABC=90,点E是AC的中点,且AC=AD.(1)尺规作图:作CAD的平分线AF,交CD于点F,连接EF,BF(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)所作的图形中,若BAD=45,且CAD=2BAC,求证:BEF为等边三角形.(1)作图如图所示.(2)证明:AF平分CAD,CAD=2BAC,BAD=45,BAC=CAF=FAD=13BAD=15.AC=AD,AFCD,即AFC=90.E为AC的中点,ABC=90,AE=BE,AE=EF,EBA=BAC=15,EFA=CAF=15,BE=EF,BEC=EBA+BAC=30,CEF=EFA+CAF=30,BEF=BEC+CEF=60,BEF
17、为等边三角形.第三节全等三角形考点1全等三角形的判定1.原创新题已知在ABC和ABC中,AB=AB,AC=AC,添加下列条件,不能得到ABCABC的是(C)A.BC=BCB.A=AC.C=CD.B=B=902.如图,C=D=90,添加下列条件中的1个:AC=AD;ABC=ABD;BC=BD.其中能判定ABCABD的条件的个数是(D)A.0B.1C.2D.3考点2全等三角形的性质3.2020山东淄博如图,若ABCADE,则下列结论中一定成立的是(B)A.AC=DEB.BAD=CAEC.AB=AED.ABC=AED4.2021黑龙江哈尔滨如图,ABCDEC,点A和点D是对应顶点,点B和点E是对应顶
18、点,过点A作AFCD,垂足为点F,若BCE=65,则CAF的度数为(B)A.30B.25C.35D.65考点3全等三角形的实际应用5.2021广西柳州如图,有一池塘,要测池塘两端点A,B之间的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A,B,连接AC并延长到点D,使CD=CA,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE的长就是点A,B的距离,为什么?请结合解题过程,完成本题的证明.证明:在DEC和ABC中,CD=(CA),(DCE=ACB),CE=(CB),DECABC(SAS),DE=AB.考点4全等三角形的判定与性质的综合应用6.2020湖北黄石如图,AB
19、C是等边三角形,点D,E分别是AC,AB边上的点,CD=AE,BD与CE交于点P,则BPC等于(C)A.135B.150C.120D.130(7.2021湖北鄂州如图,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(-1,0),点A的坐标为(-3,3),将点A绕点C顺时针旋转90得到点B,则点B的坐标为(2,2).8.2020江西如图,CA平分DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若EAC=49,则BAE的度数为82.9.2021湖北黄石如图,D是ABC的边AB上一点,CFAB,DF交AC于E点,DE=EF.(1)求证:ADECFE;(2)若AB=5,CF=4,求BD的长.(1)证明:CFAB,AD
20、E=F,A=ECF.在ADE和CFE中,A=ECF,ADE=F,DE=EF,ADECFE.(2)ADECFE,AD=CF=4.BD=AB-AD=5-4=1.10.2021浙江杭州在AD=AE,ABE=ACD,FB=FC这三个条件中选择其中一个,补充在下面的问题中,并完成问题的解答.问题:如图,在ABC中,ABC=ACB,点D在AB边上(不与点A,点B重合),点E在AC边上(不与点A,点C重合),连接BE,CD,BE与CD相交于点F.若AD=AE,求证:BE=CD.AD=AE证明:因为ABC=ACB,所以AB=AC,又因为AD=AE,A=A,所以ABEACD,所以BE=CD.1.2021陕西如图
21、,AB,BC,CD,DE是四根长度均为5cm 的火柴棒,点A,C,E共线.若AC=6cm,CDBC,则线段CE的长度为(D)A.6cmB.7cmC.62cmD.8cm2.2021合肥50中三模如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,AD=4,AB=10,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点,连接PM,PN,MN.(1)PMN面积是92.(2)把ADE绕点A在平面内自由旋转,PMN面积的最大值为492.3.原创新题如图,在ABC中,AC=BC,ACB=90,AD是BC边上的中线,CFAD于点E,交AB于点F.(1)如图(1),CP平分A
22、CB,交AD于点P.求证:CP=BF;求AFCP的值.(2)如图(2),连接BE并延长交AC于点Q,若BEEQ=32,求tanBQC的值.图(1)图(2)(1)证明:CP平分ACB,AC=BC,ACB=90,PCD=ACP=45,B=45.APC=PCD+CDP=PCD+B+BAD=90+BAD,BFC=FEA+BAD=90+BAD,APC=BFC.在APC和CFB中,ACP=B,APC=CFB,AC=CB,APCCFB,图(1)CP=BF.如图(1),过点B分别作AD,CF的垂线,分别交AD,CF的延长线于点G,H.H=G=HEG=90,四边形BGEH是矩形,BH=EG.DEBH,BD=CD
23、,EH=CE.在ACE和CBH中,AEC=H,CAE=BCH,AC=BC,ACECBH,CE=BH,AE=CH,EG=CE,AE=2CE.又EFBG,AFBF=AEEG=2CECE=2.由得CP=BF,AFCP=2.(2)如图(2),过点B作CE的平行线,交AC的延长线于点M,则CBM=DCE.又DCE+CDE=90,CBM+M=90,CDE=M.在ACD和BCM中,ACD=BCM=90,CDA=M,AC=BC,图(2)ACDBCM,CM=CD=12BC.CEBM,CMCQ=BEEQ,12BCCQ=BEEQ,即BC2CQ=BEEQ,tanBQC=BCCQ=2BEEQ=3.新考法2021河南下面
24、是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.小明:如图(1),(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(2)分别作线段CE,DF的垂直平分线l1,l2,交点为P,垂足分别为点G,H;(3)作射线OP.射线OP即为AOB的平分线.简述理由如下:由作图知,PGO=PHO=90,OG=OH,OP=OP,所以RtPGORtPHO,则POG=POH,即射线OP是AOB的平分线.小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如图(2),(1)分别在射线OA,OB上截取OC=OD,OE=OF(点C,E不重合);(
25、2)连接DE,CF,交点为P;(3)作射线OP.射线OP即为AOB的平分线.图(1)图(2)任务:(1)小明得出RtPGORtPHO的依据是(填序号).SSSSASAASASAHL(2)小军作图得到的射线OP是AOB的平分线吗?请判断并说明理由.图(3)(3)如图(3),已知AOB=60,点E,F分别在射线OA,OB上,且OE=OF=3+1.点C,D分别为射线OA,OB上的动点,且OC=OD,连接DE,CF,交点为P,当CPE=30时,直接写出线段OC的长.解:(1)(2)是.理由:由作图可知,OC=OD,OF=OE.又COF=DOE,COFDOE,OFC=OED.连接EF.OF=OE,OFE
26、=OEF,PFE=PEF,PF=PE.又OP=OP,OF=OE,FOPEOP,FOP=EOP,即射线OP是AOB的平分线.(3)2或2+3.第四节相似三角形考点1比例的性质1.2020贵州毕节已知ab=25,则a+bb的值为(C)A.25B.35C.75D.232.2021黑龙江大庆已知x2=y3=z4,则x2+xyyz=56.考点2黄金分割3.2021四川德阳我们把宽与长的比是5-12的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形,边AB的长度为5-1,则该矩形的周长为 25+2或4.4
27、.2021广西百色如图,ABC中,AB=AC,B=72,ACB的平分线交AB于点D,则点D是线段AB的黄金分割点.若AC=2,则BD=3-5.考点3平行线分线段成比例定理5.2021山东临沂如图,点A,B都在格点上,若BC=2133,则AC的长为(B)A.13B.4133C.213D.3136.2021合肥38中一模如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.已知PC=3,PE=2,则EF的长为(B)A.2B.52C.22D.2+17.2021湖南郴州如图是一架梯子的示意图,其中AA1BB1CC1DD1,且AB=BC=CD.为使其更稳固,在A
28、,D1间加绑一条安全绳(线段AD1).量得AE=0.4m,则AD1=1.2m.考点4相似三角形的判定与性质8.2021芜湖模拟如图,在ABC与ADE中,BAC=D,要使ABC与ADE相似,还需满足下列条件中的(C)A.ACAD=ABAEB.ACAD=BCDEC.ACAD=ABDED.ACAD=BCAE9.2021安庆模拟如图,在由相同的小正方形组成的网格中,是相似三角形的是(C)A.和B.和C.和D.和10.如图,在ABC中,C=90,A=30,D是AC的中点,过点D沿某条直线剪下一个与ABC相似的小三角形,则不同的剪法共有(C)A.1种B.2种C.3种D.4种 11.2020广西贵港如图,在
29、ABC中,点D在AB边上,若BC=3,BD=2,且BCD=A,则线段AD的长为(B)A.2B.52C.3D.9212.2021合肥包河区一模如图,点P为MON的平分线上一点,APB的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点,APB绕点P旋转时始终满足OAOB=OP2,若MON=54,则APB的度数为(A)A.153B.144C.163D.16213. 2021辽宁阜新如图,已知每个小方格的边长均为1,则ABC与CDE的周长比为21.14.2021湖南益阳如图,在RtABC中,BAC=90,tanABC=32,将ABC绕点A顺时针旋转得到ABC,旋转角为(090),连接BB,CC,则CAC与BAB
30、的面积之比为94.15.2021江苏扬州如图,在ABC中,AC=BC,矩形DEFG的顶点D,E在AB上,点F,G分别在BC,AC上,若CF=4,BF=3,且DE=2EF,则EF的长为125.16.2021安庆模拟已知:如图,在ABC中,AD平分BAC.求证:ABAC=BDCD.证明:过点B作BEAC,交线段AD的延长线于点E,如图所示.BEAC,BDECDA,BECA=BDCD.BEAC,BED=CAD=BAD,AB=BE,ABAC=BDCD.17.2020湖北荆州如图,在矩形ABCD中,AB=20,点E是BC上一点,将ABE沿着AE折叠,点B刚好落在CD边上点G处;点F在DG上,将ADF沿着
31、AF折叠,点D刚好落在AG上点H处,此时SGFHSAFH=23.(1)求证:EGCGFH;(2)求AD的长;(3)求tanGFH的值.(1)证明:四边形ABCD是矩形,B=D=C=90.GHF=D=90,AGE=B=90,EGC+HGF=90,GFH+HGF=90,EGC=GFH,EGCGFH.(2)SGFHSAFH=23,GHAH=23.AG=GH+AH=AB=20,GH=8,AH=12,AD=AH=12.(3)在RtADG中,DG=AG2-AD2=202-122=16.设DF=HF=x,则GF=16-x.GH2+HF2=GF2,82+x2=(16-x)2,解得x=6,即HF=6.在RtGH
32、F中,tanGFH=GHHF=86=43.考点5相似三角形的实际应用18.2021浙江绍兴如图,树AB在路灯O的照射下形成投影AC,已知路灯高PO=5m,树影AC=3m,树AB与路灯O的水平距离AP=4.5m,则树的高度AB的长是(A)A.2mB.3mC.32mD.103m19.2021辽宁盘锦“今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四寸,问井深几何.”这是我国古代数学著作九章算术中的“井深几何”问题,它的题意可以由如图所示的示意图获得,设井深为x尺,所列方程正确的是(A)A.55+x=0.45B.5x=0.45C.xx+5=50.4D.5x=5-0.40.41.2021四
33、川巴中如图,在ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且ADDB=AEEC=12,下列结论正确的是(D)A.DEBC=12B.ADE与ABC的面积比为13C.ADE与ABC的周长比为12D.DEBC2.2021江苏连云港如图,ABC中,BDAB,BD,AC相交于点D,AD=47AC,AB=2,ABC=150,则DBC的面积是(A)A.3314B.9314C.337D.6373.2021合肥瑶海区一模如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC,过点C作CDAB,垂足为点D,点E为BC的中点,AE与CD交于点F,若DF的长为23,则AE的长为(C)A.2B.22C.5D.254.2021合肥38
34、中三模如图,已知ABBC,CDBC,AC与BD相交于点O,过点O作OMBC于点M,点E是BD的中点,过点E作EFBC于点G,交AC于点F,则2OM与EG+FG的大小关系为(A)A.2OMEG+FGB.2OMEG+FG5.2021安庆模拟如图,在ABC中,AB=AC=3,BC=2,ADBC于点D,CEAB于点E,AD与CE相交于点P,连接ED,则SPDESPAC=19.6.2021山西如图,在ABC中,点D是AB边上的一点,且AD=3BD,连接CD并取CD的中点E,连接BE,若ACD=BED=45,且CD=62,则AB的长为413.7.2021合肥蜀山区模拟如图,线段AB=12,射线ACAB于点
35、A,射线BDAB于点B,点P为AB的中点,Q为射线AC上一动点,将APQ沿直线PQ翻折得到A1PQ,PA1,QA1的延长线分别交射线AC,BD于点E,F,连接EF,PF.请探究下列问题:(1)AQBF的值为36;(2)当A1PQA1FE时,AQ的值为23.8.2021上海如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,AD=CD,点O是对角线AC的中点,连接BO并延长交边CD或边AD于点E.(1)当点E在边CD上时,求证:DACOBC;若BECD,求ADBC的值.(2)若DE=2,OE=3,求CD的长.(1)证明:如图(1).图(1)AD=CD,1=2.ADBC,1=3.点O是RtABC的斜
36、边AC的中点,OB=OC,3=4,1=2=3=4,DACOBC.如图(1).2=3=4,BEC=90,2=3=4=30.过点D作DHBC于点H,则四边形ABHD是矩形.设AD=CD=2m,则BH=AD=2m.在RtDCH中,DCH=60,DC=2m,CH=m,BC=BH+CH=3m,ADBC=2m3m=23.(2)分两种情况讨论.如图(2),当点E在AD上时,连接CE.图(2)ADBC,OEOB=OAOC=1,四边形ABCE是平行四边形.又ABC=90,四边形ABCE是矩形,AC=2OE=6.设AD=CD=x,则AE=x-2.在RtACE和RtDCE中,根据AC2-AE2=CE2=CD2-DE
37、2,可得62-(x-2)2=x2-22,解得x1=1+19,x2=1-19( 不合题意,舍去).如图(3),当点E在CD上时,延长OE,AD交于点F.图(3)ADBC,OFOB=OAOC=1,DFE=OBC,OF=OB.由(1)知OBC=OCE,DFE=OCE.又DEF=CEO,OECDEF,CEEF=OEDE=32,故可设CE=3y,EF=2y,则BE=3+3+2y=6+2y.AFBC,DEEC=EFBE,23y=2y6+2y,y=1+193,CD=2+3y=2+31+193=3+19.综上可知,CD的长为1+19或3+19.9.2021安庆模拟如图(1),在正方形ABCD中,M,N分别是A
38、B,BC上的点,DM,DN分别与对角线AC相交于点F,E.(1)若DM=DN,求证:AFM=CEN;(2)若MDN=45,求证:2AECF=AC2;(3)如图(2),连接BD交AC于点O,若DN平分BDC,直接写出OEBNNC的值.图(1)图(2)(1)证明:如图(1),四边形ABCD是正方形,AD=CD,DAM=DCN=90,1=2=45.在RtADM和RtCDN中,AD=CD,DM=DN,RtADMRtCDN,3=4.又1=2,1+3=2+4,即AFM=CEN.图(1)(2)证明:如图(1),MDN=45,CDF=4+45.2=45,5=4+45,CDF=5.又1=2,ADECFD,ADC
39、F=AECD,AECF=ADCD=AD2.ACD为等腰直角三角形,AD=22AC,AD2=12AC2,AECF=12AC2,2AECF=AC2.(3)OEBNNC=122.图(2)解法提示:如图(2),过点O作OPBC交DN于点P,过点N作NQBD于点Q.在正方形ABCD中,DCA=DBC=45,OB=OD.又OPBC,DP=PN,OPBN=12.OPBC,DOP=DBC=45=DCA.DN平分BDC,CDE=BDN,OEP=OPE,OE=OP,OEBN=12.DN平分BDC,NQBD,NCCD,NC=NQ.易知BNQ为等腰直角三角形,BNNQ=2,BNNC=2,OEBNNC=122.1.新情
40、境2021河北图(1)是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图(2)所示,此时液面AB=(C)图(1)图(2)A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm2.阅读理解2021黑龙江大庆已知,如图(1),若AD是ABC的内角平分线,通过证明可得ABAC=BDCD.同理,若AE是ABC的外角平分线,通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息,求解如下问题:如图(2),在ABC中,BD=2,CD=3,AD是ABC的内角平分线,则ABC的BC边上的中线长l的取值范围是12l252.图(1)图(2)3.跨学科2021浙江金华如图(1)是一种利用镜面反射,放大微小变化的装置.木条BC上的点P处
41、安装一平面镜,BC与刻度尺边MN的交点为D,从A点发出的光束经平面镜P反射后,在MN上形成一个光点E.已知ABBC,MNBC,AB=6.5,BP=4,PD=8.(1)ED的长为13.(2)将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC(如图(2),点P的对应点为P,BC与MN的交点为D,从A点发出的光束经平面镜P反射后,在MN上的光点为E.若DD=5,则EE的长为232.第五节解直角三角形考点1解直角三角形1.2021云南在ABC中,ABC=90.若AC=100,sinA=35,则AB的长是(D)A.5003B.5035C.60D.802.2020贵州遵义中考改编构建几何图形解决代数问题是“
42、数形结合”思想的重要体现,在计算tan15时,如图,在RtACB中,C=90,ABC=30,延长CB使BD=AB,连接AD,得D=15,所以tan15=ACCD=12+3.类比这种方法,计算1tan22.5的值为(A)A.2+1B.2-1C.2D.123.2021安庆模拟如图,在ABC中,ACB=90,CDAB于点D,已知cosA=45,则sinDCB的值为(C)A.925B.45C.35D.16254.2021淮南模拟已知sinA=12,则锐角A=30.5.2021安庆模拟如图,已知在ABC中,BC=2AC,BCA=135,则tanA的值为12.6.2021上海如图,已知在ABD中,ACBD
43、,BC=8,CD=4,cosABC=45,BF为AD边上的中线.(1)求AC的长;(2)求tanFBD的值.解:(1)ACBD,cosABC=45,AB=BCcosABC=845=10,AC=AB2-BC2=6.(2)过点F作FGBD于点G.BF为AD边上的中线,点F是AD的中点.FGBD,ACBD,FGAC,CG=DG=2,FG是ACD的中位线,FG=12AC=3,tanFBD=FGBG=38+2=310.考点2解直角三角形的实际应用7.2021湖北十堰如图,小明利用一个锐角是30的三角板测操场旗杆的高度,已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m,AB为1.5m(即小明的眼睛与地面的距离),那
44、么旗杆的高度是(D)A.(153+32)mB.53mC.153mD.(53+32)m8.2021浙江金华如图是一架人字梯,已知AB=AC=2米,AC与地面BC的夹角为,则两梯脚之间的距离BC为(A)A.4cos米B.4sin米 C.4tan米D.4cos 米9.2021山东泰安如图,为了测量某建筑物BC的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发,沿斜坡AD行走130米至坡顶D处,再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处,在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60,建筑物底端B的俯角为45,点A,B,C,D,E在同一平面内,斜坡AD的坡度i=12.4.根据小颖的测量数据
45、,计算出建筑物BC的高度约为(参考数据:31.732)(A)A.136.6米B.86.7米C.186.7米D.86.6米10.2021湖北随州如图,某梯子长10米,斜靠在竖直的墙面上,当梯子与水平地面所成角为时,梯子顶端靠在墙面上的点A处,底端落在水平地面的点B处,现将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为,已知sin=cos=35,则梯子顶端上升了(C)A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米11.2021合肥瑶海区二模如图,一辆汽车在A处测得东北方向(北偏东45)有一古建筑C,汽车向正东方向以每小时40千米的速度行驶1小时到达B处时,又观测到古建筑C在北偏东16方向上,求此时汽车与古建筑
46、相距多少千米.(结果精确到0.1千米.sin450.71,sin610.87,cos610.48,tan611.80)解:如图,过点B作BDAC于点D.在RtABD中,易知BAD=45,AB=40,BD=ABsin4528.4.在RtBDC中,CBD=45+16=61,BC=BDcos6159.2.答:此时汽车与古建筑相距约59.2千米.12.2021合肥38中三模如图,某小区两栋高楼AB和CD之间有一棵古树EF,从楼顶C处经过树顶E点恰好看到楼AB的底部B点,且俯角为30.从楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到楼AB的顶部A点,且仰角为37.已知楼CD的高度为123 米,求古树EF的高度.(
47、结果精确到0.1米.参考数据:31.73,sin370.60,cos370.80,tan370.75)解:由题意可知EFBD,CDBD,CBD=30.在RtCBD中,tanCBD=CDBD,tan30=CDBD,BD=CD33=12333=36(米).设EF=x米.在RtEFD中,tanEDF=EFDF,tan37=EFDF,DFEF0.75=4x3(米),BF=BD-DF=(36-4x3)米.在RtEFB中,tanEBF=EFBF,tan30=x36-4x3,解得x11.7.答:古树EF的高度约为11.7米.13.2021合肥包河区一模如图,某大楼上竖立一块高为3米的广告牌CD.数学活动课上
48、,立新老师带领小燕同学和小娟同学测量楼DH的高.测角仪支架高AE=BF=1.2米,小燕在E处测得广告牌的顶点C的仰角为22,小娟在F处测得广告牌的底部点D的仰角为45,AB=45米.请你根据两位同学测得的数据,求楼DH的高.(结果取整数,参考数据:sin220.37,cos220.93,tan220.40)解:如图,连接EF并延长交CH于点G,则CGF=90.DFG=45,DG=FG.设DG=x米,则CG=DG+CD=(x+3)米,EG=FG+EF=(x+45)米.在RtCEG中,tanCEG=CGEG,tan22=x+3x+45,0.4x+3x+45,x=25,DH=DG+GH=25+1.2
49、26(米).答:楼DH的高约为26米.2020湖北黄冈因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园,“国庆黄金周”期间,游人络绎不绝,现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览.如图,当船在A处时,船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向;当游船向正东方向行驶600m到达B处时,游客发现遗爱亭在北偏西15方向;当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时,游客发现临皋亭在北偏西60方向.(1)求A处到临皋亭P1处的距离;(2)求临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离.(计算结果保留根号)解:(1)依题意知P2AB=45,P2BA=75,P1CA=30.如图(1),过点P1作P1MAC于点M.设P1M=
50、xm,则在RtAP1M中,AM=P1M=xm,AP1=2xm.在RtP1MC中,P1C=2P1M=2xm,MC=3xm.又AC=AB+BC=AM+MC,600+400=x+3x,x=500(3-1),AP1=2500(3-1)=(5006-5002)(m),故点A处到临皋亭P1处的距离为(5006-5002)m.图(1)图(2)(2)如图(2),过点B作BNAP2于点N.在RtABN中,ABN=45,AN=BN=AB2=6002=3002(m).在RtNP2B中,NBP2=30,NP2=NB3=30023=1006(m),AP2=AN+NP2=(3002+1006)m,P1P2=AP2-AP1
51、=3002+1006-5006+5002=(8002-4006)(m),临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为(8002-4006)m.第四章三角形参考答案第一节角、相交线、平行线1.C2.C如图(1),当点C在线段AB上时,AB=4,BC=2,AC=AB-BC=2.D是线段AC的中点,AD=12AC=122=1.如图(2),当点C在线段AB的延长线上时,AB=4,BC=2,AC=AB+BC=6.D是线段AC的中点,AD=12AC=126=3.综上可知,线段AD的长为1或3.图(1)图(2)3.A题图(1)中,+=180-90=90,故与互余;题图(2)中,根据同角的余角相等,可得=;题图(3
52、)中,根据等角的补角相等,可得=;题图(4)中,+=180,故与互补.故选A.4.CEOD=2846,OD平分COE,COE=2EOD=22846=5732.AOB=40,COB=180-AOB-COE=180-40-5732=8228.故选C.5.1466.3如图,过点D作DEAC于点E.AD平分BAC,DBAB,DE=DB=3,即点D到AC的距离是3.7.D如图,ab,3=1=60,2=180-3=180-60=120,故选D.8.DB=DAB,DEBC,EAC=C=70.9.C根据“两直线平行,同旁内角互补”,可知当ab时,1+45+60=180,1=75,故选C.10.B由题易知,OB
53、C=ABM=40,ABC=180-40-40=100.ABCD,BCD=180-ABC=80,DCN=180-BCD2=50.故选B.11.60OE是AOC的平分线,OC恰好平分EOB,AOE=COE=BOC.又AOE+COE+BOC=180,BOC=60,AOD=60.12.12DE垂直平分BC,DB=DC,CABD=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=12,ABD的周长是12.13.7或17由题意可知,分以下两种情况讨论:当EF在AB,CD之间时,AB与EF的距离为12-5=7(cm).当CD在AB,EF之间时,AB与EF的距离为12+5=17(cm).综上所述,AB与EF的距
54、离为7cm或17cm.14.略15.C16.A4=2,2的算术平方根为2,故选项A中的命题是假命题,故选A.17.到角两边距离相等的点在角的平分线上第二节三角形及其性质(含特殊三角形)基础分点练1.C设第三边的长为a,根据三角形的三边关系,得4-1a4+1,即3aAB,故选项A中的说法错误;三角形的重心和外心分别是三边中线的交点和三边垂直平分线的交点,易知当AB=AC时,BAC的平分线经过ABC的重心和外心,故选项B,D中的说法错误.7.5点D,E,F分别为ABC三边的中点,DE,DF,EF均为ABC的中位线,DE=12BC,DF=12AC,EF=12AB,DE+DF+EF=12BC+12AC
55、+12AB=12(BC+AC+AB)=1210=5,即DEF的周长为5.8.=连接CD,易知CDAB,SABC=SABD.910.略11.B当腰长是3,底边是7时,3+37,不满足三角形的三边关系.当底边是3,腰长是7时,能构成三角形,其周长为3+7+7=17.故选B.12.DAD是等边三角形ABC的中线,ADBC,BAD=CAD=12BAC=1260=30,ADC=90.AD=AE,ADE=AED=180-CAD2=75,EDC=ADC-ADE=90-75=15.13.6易知DF是AB的垂直平分线,AF=AH,BF=AF=AH.又ACFH,FC=CH.BC=BF+FC=AF+FC=AH+HC
56、=3,AFH的周长为AF+FC+AH+HC=6.14.15或75AB=AC,ABC=70,ACB=70,BAC=40.CA=CP,CAP=CPA.分两种情况讨论:当点P在点B的左侧时,如图(1),CAP=(180-70)2=55,BAP=CAP-CAB=55-40=15;当点P在点B的右侧时,如图(2),CAP=12ACB=35,BAP=CAP+CAB=35+40=75.综上,BAP=15或75.图(1)图(2)1516.略17.D易知EAB=45,AE=AB,APAE=cosEAB=22,APAB=22=12.18.CB=45,ADBC,BAD=45=B,AD=BD=3.C=60,AC=AD
57、sinC=3sin60=2.点E,F分别为AB,BC的中点,EF是ABC的中位线,EF=12AC=1.19.C过点A作AFCD于点F.CBA=30,ACB=90,BAC=60,AB=2AC.又AB=2AD,AC=AD,ADC=ACD=12BAC=30.在RtBDE中,BE=3,D=30,DE=33.D=30,E=90,DBE=60,CBE=DBE-CBA=30,CE=33BE=3,CD=DE-CE=33-3=23.AFCD,AD=AC,DF=12CD=3,AF=DFtan30=333=1,SACD=12CDAF=12231=3.20.125或374设直角三角形斜边上的高为h,当4是直角边时,斜
58、边长=32+42=5,则1234=125h,解得h=125;当4是斜边时,另一条直角边长=42-32=7,则1237=124h,解得h=374.综上所述,直角三角形斜边上的高为125或374.21.45如图所示,点M,F为格点,连接AF,EF,易得AF,AC关于直线AM对称,AEF是等腰直角三角形,则DAF=BAC,FAE=45,BAC-DAE=45.22.略综合提升练1.C仅当点B在线段AC上时,若AB=BC,则点B是线段AC的中点,故选项C中命题为假命题.故选C.2.D由题意可知,MN是线段BC的垂直平分线,点D是BC的中点,OB=OC,BOD=COD,故A,B正确.BE是AC边上的中线,
59、点E是AC的中点.又点D是BC的中点,DEAB,故C正确.若DB=DE,则EBD=BED,DEAB,BED=ABE,EBD=ABE,即BE是ABC的平分线.又BE是AC边上的中线,AB=BC.而题目条件中ABBC,故D错误.故选D.3.A如图,分别过点G,F作AB的垂线,垂足分别为M,N,过点G作GPFN于点P,则四边形GMNP是矩形,GMAC,FNAC.又点G和点F分别是线段DE和BC的中点,GM和FN分别是ADE和ABC的中位线,GM=12AD=1,AM=12AE,FN=12AC=52,AN=12AB=52,MN=AN-AM=52-12AE,PN=GM=1,FP=FN-PN=32,GP=5
60、2-12AE.在RtAGM中,AG2=(12AE)2+1,在RtGPF中,FG2=(52-12AE)2+(32)2.AG=FG,(12AE)2+1=(52-12AE)2+(32)2,AE=3,在RtADE中,DE=AD2+AE2=13.4.C由题意可知ACD是等腰直角三角形,ACD=45,AC=2AD=6.BCD=75,点M,N是AC的三等分点,ACB=30,AM=MN=NC=2,AB=12AC=3,BC=ACcosACB=33.PMN的周长为7,PM+PN=5.如图,当点P在BC边上时,以直线BC为对称轴作线段AC的对称图形AC,点M的对称点为M,连接MN交BC于点P,则PM=PM,PM+P
61、N的最小值为线段MN的长.连接MM,易证MMC是等边三角形.又点N为MC的中点,MNMC,MN=MCsin60=235,故在AB边上,不存在点P使PMN的周长为7.当点P在边AD或边CD上时,易得PM+PN的最小值为25,当点P分别与点A,D重合时,PM+PN的值分别为6,210,故在边AD与边CD上,点P分别有两个位置,使得PM+PN=5,即使得PMN的周长为7.综上所述,使得PMN的周长为7的点P的位置有6处.5.-3a-23,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,31-a1-2a,a1-2a,a-3,-3aBD,AD=5-12AB=5-1,BD=AB-AD=2-(5-1)=3-5.5
62、.B由题意可知BCAC=24=12,故AC=2BC=4133.6.B四边形ABCD是菱形,ADBC,PDPB=PEPC=23.CDAB,PCPF=PDPB=23,PF=92,EF=PF-PE=52.7.1.2BB1CC1,AEEF=ABBC,又AB=BC,AE=EF.同理可得EF=FD1,AE=EF=FD1.AE=0.4m,AD1=0.43=1.2(m).8.C9.C10.C如图,当DFBC时,ADFACB;当DGAB时,CDGCAB;当DEAB时,ADEABC.故共有3种不同的剪法.11.BBCD=A,B=B,BCDBAC,BCBA=BDBC,即3BA=23,BA=92,AD=92-2=52
63、,故选B.12.AOP平分MON,MON=54,AOP=BOP=27.由OAOB=OP2,可得OAOP=OPBO,AOPPOB,OAP=OPB.AOP+OAP+APO=180,OAP+APO=153,OPB+APO=153,即APB=153.13.2114.94由旋转的性质,得CAC=BAB=,AC=AC,AB=AB,从而易得CACBAB,SCACSBAB=(ACAB)2=(tanABC)2=(32)2=94.15.125设EF=x,则DE=2x.四边形DEFG是矩形,GFAB,CGFCAB,GFAB=CFCB=44+3=47,即2xAB=47,AB=72x,AD+BE=AB-DE=72x-2
64、x=32x.AC=BC,A=B.DG=EF,ADG=BEF=90,ADGBEF(AAS),AD=BE=1232x=34x.在RtBEF中,BE2+EF2=BF2,即(34x)2+x2=32,解得x=125(负值不合题意,已舍去),EF=125.1617.略18.A由题意可知CABCPO,CACP=ABPO,即33+4.5=AB5,AB=2m.故选A.19.A如图,设AD交BE于点K.DKBC,EKDEBC,DKBC=EDEC,即0.45=55+x,故选A.综合提升练1.DADDB=AEEC=12,ADAB=AEAC=13.又A=A,ADEABC,DEBC=13,ADE与ABC的面积比为19,周
65、长的比为13,ADE=B,DEBC.故选D.2.A如图,过点C作CHAB交AB的延长线于点H.BDAB,BDCH,ABDAHC,ABAH=BDCH=ADAC=47,AH=74AB=72,BH=72-2=32.CBH=180-150=30,CH=33BH=32,BD=47CH=237,DBC的面积为12BDBH=1223732=3314.3.C连接DE.在RtABC中,ACB=90,AC=BC,CDAB,点D是AB的中点.又点E是BC的中点,DEAC,且DE=12AC,DEFCAF,CFDF=ACDE=2,CF=2DF=223,CD=2.易知CDE和ACD都是等腰直角三角形,AC=2CD=2,D
66、E=CE=22CD=1,AE=AC2+CE2=22+12=5.4.A设AB=a,CD=b.ABBC,CDBC,OMBC,EFBC,ABOMFGDC.又点E是BD的中点,点G是BC的中点,点F是AC的中点.易知FG=12AB=12a,EG=12DC=12b,EG+FG=12(a+b).ABDC,AOBCOD,BOOD=ABCD=ab,BOBD=aa+b.OMDC,BOMBDC,OMDC=BOBD=aa+b,OM=aba+b,2OM-(EG+FG)=2aba+b-12(a+b)=4ab-(a+b)22(a+b)=-(a-b)22(a+b)0,2OMEG+FG,故选A.5.19在ABC中,AB=AC
67、,ADBC,BD=CD=12BC=1,B=ACD.又DAC+ACD=90=B+ECB,DAC=ECB.易知DE是RtBCE的斜边BC上的中线,DE=DC=1,DEC=DCE=DAC.又DPE=CPA,PDEPCA,SPDESPAC=(DEAC)2=(13)2=19.6.413如图,过点D分别作BE,AC的垂线,垂足分别为点M,N.ACD=BED=45,DN=22CD=2262=6,DM=22DE=2232=3.NDC=90-45=45=BED,DNBE,DBM=ADN.又DMB=AND=90,DBMADN,BMDN=BDDA=13,BM=13DN=2,BD=DM2+BM2=32+22=13,A
68、B=AD+BD=4BD=413.7.(1)36(2)23(1)由题易得A=B=90,A1P=AP=BP=6,APQ=A1PQ,PA1Q=A=90,PA1F=90=B.又PF=PF,RtPBFRtPA1F,BPF=A1PF,2(APQ+BPF)=180,APQ+BPF=90.又APQ+AQP=90,BPF=AQP,APQBFP,AQBP=APBF,AQBF=BPAP=66=36.(2)当A1PQA1FE时,PQA1=A1EF.由翻折可知AQP=PQA1.由(1)知,A1PF=BPF=PQA,FPE=FEP,PF=EF.又PEFQ,FQ垂直平分线段PE,PQ=QE.又QA1PE,EQF=PQF=A
69、QP,AQP=13180=60,AQ=33AP=23.89.略全国视野创新练1.C根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可知6AB=15-711-7,即6AB=84,AB=3cm.2.12l252AD是ABC的内角平分线,ABAC=BDCD=23.如图,作BAP的平分线AE,与CB的延长线交于点E,则BECE=ABAC=23,BE5+BE=23,BE=10,DE=12.AD平分BAC,AE平分BAP,EAD=90,点A在以DE为直径的圆上运动,设BC的中点为F,连接AF,则DFAFEF,12l252.3.(1)13(2)232(1)由题意知APB=EPD,tanAPB=tanEPD,ABBP=
70、EDPD,6.54=ED8,ED=13.(2)如图,延长DB,在DB的延长线上取一点F,使AF=AB,过点A作AGBF于点G.BD=4+8=12,DD=5,BD=13.又BP=4,PD=13-4=9.根据“一线三直角”模型易证ABGBDD,ABBD=BGDD,6.513=BG5,BG=52,BF=2BG=5,FP=BF+BP=5+4=9.AFB=ABF=90-DBD=BDD,FP=PD,APF=EPD,APFEPD,ED=AF=132,DE=32,EE=13-32=232.第五节解直角三角形基础分点练1.D如图,在RtABC中,sinA=BCAC=35,所以BC=35AC=35100=60,故
71、AB=AC2-BC2=1002-602=80.2.A如图,在RtACB中,C=90,ABC=45,延长CB至点D,使BD=AB,连接AD,得D=22.5.设AC=BC=1,则AB=BD=2,tan22.5=ACCD=11+2,1tan22.5=2+1.3.C4.305.12如图,过点B作BDAC交AC的延长线于点D,则BCD=45,BD=CD=22BC.又AC=22BC,BD=CD=AC.设AC=k,则BD=k,AD=2k,tanA=BDAD=12.6.略7.D由题意可知四边形ABCD是矩形,AD=BC=15m,CD=AB=32m.在RtADE中,EAD=30,AD=15m,DE=ADtanE
72、AD=1533=53(m),CE=CD+DE=(53+32)m.8.A过点A作BC的垂线,垂足为点D.在RtACD中,CD=ACcos=2cos.AB=AC,ADBC,BC=2CD=4cos.9.A如图,过点D作DHAB于点H,延长DE交BC于点F.在RtADH中,AD=130米,DHAH=12.4,DH=50米.由题意可得,DFBC,易知四边形DHBF是矩形,BF=DH=50米.在RtEFB中,BEF=45,EF=BF=50米.在RtEFC中,FC=EFtan60=50386.6(米),BC=BF+CF=50+86.6=136.6(米).故选A.10.C如图,由题意可知AB=DE=10米.在RtABC中,AC=sinAB=3510=6(米).在RtDEC中,DC=cosDE=3510=6(米),EC=DE2-DC2=102-62=8(米),AE=EC-AC=8-6=2(米),即梯子顶端上升了2米.1113.略综合提升练略
