1、第一节绝对值不等式三年16考高考指数:1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|a+b|a|+|b|;|a-b|a-c|+|c-b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c.3.会用绝对值不等式、平均值不等式证明一些简单问题；能够利用平均值不等式求一些特定函数的最(极)值.1.利用不等式的性质考查函数的单调性、比较实数的大小、求函数的最值是考查的重点.2.利用绝对值的定义及绝对值的几何意义解含有绝对值的不等式或证明不等式是考查的重点也是难点.3.常以填空题或解答题的形式出现，属中低档题.1.绝对
2、值不等式(1)定理：对任意实数a和b，有|a+b|_.(2)几个结论：对任意实数a,b,c有|a|-|b|_;|a-b|_;|a+b+c|_.|a|+|b|a+b|a-c|+|c-b|a|+|b|+|c|【即时应用】(1)思考：|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|、|a|+|b|之间有什么关系？提示:|a+b|a|-|b|,|a|-|b|a-b|a|+|b|.(2)已知|a|b|,则m,n之间的关系是_.【解析】|a|-|b|ab|a|+|b|,m1n,即mn.答案：mn2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|ax|-axax|xa
3、或x-axR|x0R(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c_;|ax+b|c_.-cax+bcax+bc或ax+b-c【即时应用】(1)思考：不等式|x-c|+|x-b|a的几何意义是什么？提示：不等式|x-c|+|x-b|a的几何意义是：数轴上满足到坐标为c的点的距离与到坐标为b的点的距离之和大于或等于a的点的坐标的取值范围.(2)|2x-1|3的解集是_.【解析】|2x-1|3-32x-13-22x4-1x2.即不等式|2x-1|3的解集是x|-1x2.答案：x|-1x0,则的最小值为_.【解析】x0,当且仅当时上式取等号，即的最小值为答案：(3)
4、若x(-,1),则函数的最大值为_.【解析】当且仅当即x=0时上式取等号，即y-1.答案：-1 利用平均值不等式求最值【方法点睛】平均值不等式的一般形式及条件平均值不等式的一般形式为a1+a2+an 或(其中a1,a2,an为正实数)当且仅当a1=a2=an时取等号.利用式求最小值要求积为定值，利用式求最大值要求和为定值.【例1】(1)(2012长沙模拟)若直线ax-by+2=0(a0,b0)和函数f(x)=ax+1+1(a0且a1)的图像恒过同一个定点，求的最小值；(2)若0 x0,y0,且9x+y-xy=0,求x+y的最小值.【解题指南】(1)先由直线ax-by+2=0(a0,b0)和函数
5、f(x)=ax+1+1恒过定点，得出a,b所满足的等量关系，然后变形，构造出“和”或“积”为定值的形式;(2)可根据题目条件，变形构造出“和”或“积”为定值的形式，利用平均值不等式求解；(3)应将已知条件变形并建立与x+y的关系，然后再利用基本不等式求解.【规范解答】(1)函数f(x)=ax+1+1的图像恒过定点(-1，2)代入ax-by+2=0，得当且仅当时取等号.的最小值为(2)0 x0,f(x)=2x(3-x)=2x(3-x)当且仅当x=3-x,即时等号成立.函数f(x)=2x(3-x)的最大值为(3)方法一：x0,y0,9x+y-xy=0，9x+y=xy,即当且仅当时，“”成立，又即x
6、=4,y=12时，上式取等号.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.方法二：由9x+y-xy=0，得(x-1)(y-9)=9(定值)可知x1,y9.x+y=(x-1)+(y-9)+10当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，“”成立.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.【反思感悟】利用平均值不等式求最值的一般步骤：(1)变正，通过提取“符号”变为正值；(2)凑定，利用拆项、添项等方法，凑出“和”或“积”为定值；(3)求最值，利用平均值不等式求出最值；(4)验相等，验证等号能否成立；若满足，可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决.(5)得结论，得出最大值或最小值
7、.绝对值不等式的解法【方法点睛】1.解绝对值不等式的基本方法有(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.2.几种绝对值不等式的等价形式解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组)，根据式子的特点可用下列公式进行转化.(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)-a;(2)|f(x)|a(a0)-af(x)a;(3)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x);(4)|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g
8、(x);(5)|f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.【例2】解下列不等式：(1)|2x-1|1；(2)|x2-9|x+3；(3)(2011江西高考改编)|x+10|-|x-2|8.【解题指南】(1)转化为不含绝对值的不等式；(2)利用绝对值的定义或|f(x)|a(a0)-af(x)a去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解；(3)不等式的左边含有两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”.【规范解答】(1)由|2x-1|1得-12x-11,解得0 x1,原不等式|2x-1|1的解集为x|0 x1.(2)方法一：原不等式不等式组x=-3或3x4.不等式组2x3.原不等式的解集是x|2x4或x=-3
9、.方法二：原不等式等价于原不等式的解集是x|2x4或x=-3.方法三：设y1=|x2-9|,y2=x+3(x-3)，由|x2-9|=x+3，解得x1=4,x2=-3,x3=2.在同一坐标系下作出y1,y2的图像.从图中可看出使y1y2的x的取值范围是x=-3或2x4.原不等式的解集为x|x=-3或2x4.3369-3Oxyy2=x+3(x-3)y1=|x2-9|2 4(3)当x-10时，原不等式变为：-x-10+x-28,即-128，不符合要求；当-10 x2时，原不等式变为：x+10+x-28,即2x0,解得0 xa的解集为R，求a的取值范围；(2)(2011陕西高考改编)若不等式|x+1|
10、+|x-2|a对任意xR恒成立，求a的取值范围.【解题指南】(1)求出|x+1|-|x-3|的取值范围，只要a小于|x+1|-|x-3|的最小值即可；(2)求出|x+1|+|x-2|的取值范围，只要a不大于|x+1|+|x-2|的最小值即可.【规范解答】(1)方法一：因为|x+1|-|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(-1)，B(3)距离的差，即|x+1|-|x-3|=|PA|-|PB|.由绝对值的几何意义知，|PA|-|PB|的最大值为|AB|=4，最小值为-|AB|=-4，即-4|x+1|-|x-3|4.不等式|x+1|-|x-3|a的解集为R，a的取值范围为aa的解集为R，a的取值范围为a-4.(2)当x-1时，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=-2x+13;当-12时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-13;综上可得|x+1|+|x-2|3,所以只要a3,即实数a的取值范围是(-,3.【反思感悟】对于含参数不等式的存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式恒成立问题，而不等式的解集为的对立面(如f(x)m的解集是，则f(x)m恒成立)也是不等式恒成立问题，要注意区别.
