1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系内容要求ABC直线与圆、圆与圆的位置关系三年3考高考指数:1.直线与圆的位置关系(1)从方程的观点判断直线与圆的位置关系：即把圆的方程与直线的方程联立组成方程组，转化成一元二次方程，利用判别式判断位置关系.0直线与圆_；0直线与圆_；0直线与圆_.相交相切相离(2)从几何的观点判断直线与圆的位置关系：即利用圆心到直线的距离d与半径r比较大小来判断直线与圆的位置关系.dr直线与圆_；dr直线与圆_；dr直线与圆_.相交相切相离【即时应用】(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的_条件.(2)已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r0)
2、内异于圆心的一点，则直线x0 x+y0y=r2与此圆的位置关系是_.【解析】(1)当k=1时，圆心到直线的距离d此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则解得所以，“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件.(2)因为点M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r0)内的一点，所以x02+y02r1+r2无解外切 d=r1+r2一组实数解相交|r1-r2|dr1+r2两组不同的实数解内切 d=|r1-r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1-r2|(r1 r2)无解【即时应用】(1)思考：若两圆相交时，公共弦所在的直线方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程作差，消去二
3、次项得到关于x、y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程.(2)判断下列两圆的位置关系.x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是_.x2+y2+2x+4y+1=0与x2+y2-4x-4y-1=0的位置关系是_.x2+y2-4x+2y-4=0与x2+y2-4x-2y+4=0的位置关系是_.【解析】因为两圆的方程可化为：(x-1)2+y2=1，x2+(y+2)2=4，所以，两圆圆心距又两圆的半径之和r1+r2=1+2=3，两圆的半径之差r2-r1=2-1=1，所以r2-r1|O1O2|r1+r2，即两圆相交.因为两圆的方程可化为：(x+1)2+(y+2)2=4，(x-2)2+(y-
4、2)2=9，所以，两圆圆心距又两圆的半径之和r1+r2=2+3=5，|O1O2|=r1+r2，即两圆外切.因为两圆的方程可化为：(x-2)2+(y+1)2=9，(x-2)2+(y-1)2=1，所以，两圆圆心距又两圆的半径之差r1-r2=3-1=2，|O1O2|=r1-r2，即两圆内切.答案：相交 外切 内切直线与圆的位置关系【方法点睛】代数法判断直线与圆的位置关系的步骤第一步：将直线方程与圆的方程联立，消去x(或y)得到关于y(或x)的一元二次方程；第二步：求上述方程的判别式，并判断其符号；第三步：得出结论.2.几何法判断直线与圆的位置关系的步骤第一步：求出圆心到直线的距离d；第二步：判断d与
5、半径的大小关系；第三步：得出结论.【提醒】有些题目用以上方法无法解决或解决起来比较困难时，也可考虑直线所过定点与圆心的距离之间的关系.【例1】(1)直线l：y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是_；(2)若经过点A(4,0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为_.【解题指南】(1)判断直线与圆的位置关系，可比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小；(2)直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【规范解答】(1)因为圆x2+y2-2y=0的圆心坐标为O1(0,1),半径r=1，所以，圆心到直线l：y-1=k(x
6、-1)的距离因此，直线与圆相交.答案：相交(2)由题可设直线方程为y=k(x-4)，即：kx-y-4k=0，因为直线与圆有公共点，所以，圆心到直线的距离小于或等于半径，即：解得：答案：【反思感悟】直线与圆位置关系的判断，一般有以下两种方法：方法一：几何法:利用圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系求解；方法二：代数法:联立直线方程与圆的方程，利用方程组的解来解决.与圆有关的弦长、中点问题【方法点睛】直线被圆截得弦长的求法(1)代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长(2)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则有：【例2】(201
7、2淮安模拟)如图所示，已知圆E：x2+(y-1)2=4交x轴分别于A，B两点，交y轴的负半轴于点M，过点M作圆E的弦MN.(1)若弦MN所在直线的斜率为2，求弦MN的长；(2)若弦MN的中点恰好落在x轴上，求弦MN所在直线的方程;(3)设弦MN上一点P(不含端点)满足PA，PO，PB成等比数列(其中O为坐标原点)，试探求的取值范围.【解题指南】(1)求M点的坐标，求MN所在直线的方程，计算圆心E到直线MN的距离d,得(2)利用中点坐标公式及圆的方程求N的坐标，由两点式得弦MN所在直线的方程;(3)由PO2=PAPB建立动点P(x,y)的等量关系，结合点P在圆内求的取值范围.【规范解答】(1)在
8、圆E的方程中令x=0,得M(0,-1),又kMN=2,所以弦MN所在直线的方程为y+1=2x,即2x-y-1=0.圆心到直线MN的距离为且r=2,(2)因为yM+yN=0，所以yN=1，代入圆E的方程中得N(2,1).由M(0,-1),N(2,1)得直线MN的方程为x-y-1=0或x+y+1=0.(3)易得A(-，0)，B(，0)，设P(x,y),则由PAPB=PO2，得化简得x2=y2+由题意知点P在圆E内，所以x2+(y-1)24，结合，得4y2-4y-30，解得从而【反思感悟】1.本题第(1)问求弦长，求解的关键是利用圆的几何性质，因此需要求圆心到弦的距离.2.弦MN的中点恰好落在x轴上
9、，弦MN并不一定垂直于x轴，而只能应用中点坐标公式探寻N点的坐标.3.在求解(3)时，务必注意条件“弦MN上一点P(不含端点)”，其隐含着点P在圆内运动，可借助此来限定变量x、y的范围.圆与圆的位置关系【方法点睛】1.两圆公切线的条数位置关系内 含内 切相 交外 切外 离公切线条数012342.判断两圆位置关系的方法判断两圆的位置关系，可根据圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系求解.【提醒】利用两圆所组成的方程组的解的个数，不能判断内切与外切、相离与内含.【例3】已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10 x-12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内
10、切，此时公切线方程是什么？(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.【解题指南】(1)两圆外切则有两圆圆心距等于两圆半径之和；(2)两圆内切则有两圆圆心距等于两圆半径之差的绝对值，公切线为两圆的方程之差所得的直线方程；(3)两圆公共弦所在直线方程为两圆的方程之差所得直线方程，弦长可用几何法求解.【规范解答】两圆的标准方程为：(x-1)2+(y-3)2=11，(x-5)2+(y-6)2=61-m，圆心分别为M(1,3)、N(5,6)，半径分别为(1)当两圆外切时，解得：m=25+10 .(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆的圆心距5，因此，有解得：m=25-10 ；因为所以两
11、圆公切线的斜率一定为，设切线方程为则有解得：容易验证当时，直线与后一圆相交，故所求公切线方程为即4x+3y+5 -13=0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为：(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10 x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,所以公共弦长为：【反思感悟】1.解决本题主要是利用两圆的不同位置关系所满足的圆心距与半径的几何关系求解.2.当两圆相交时，其公共弦方程可利用两圆的一般方程相减得到.【创新探究】直线与圆的位置关系的创新命题【典例】(2011江苏高考)集合A=(x,y)|x,yR,B=(x,y)|2mx+y2m+1,x,yR,若AB,则实数m的取值范围是_.
12、【解题指南】本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是找出集合所代表的几何意义，然后结合直线与圆的位置关系，求得实数m的取值范围【规范解答】AB,A,m2m 或m0.显然B.要使AB,只需圆(x-2)2+y2=m2(m0)与x+y=2m或x+y=2m+1有交点，即或又m 或m0,m当m=0时，(2，0)不在0 x+y1内.综上所述，满足条件的m的取值范围为答案：【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题有以下两处创新点：(1)考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，且两几何图形常见但不落俗套；(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线与圆的位置关
13、系的方式，而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环的位置关系；同时还考查分类讨论思想的应用.备考建议解决直线与圆的位置关系问题时，要注意以下几点：(1)根据题设条件，合理选择利用代数方法还是利用几何方法判断其位置关系；(2)凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，以便确定是否分类讨论.1.(2012泰州模拟)若直线ax+by=1过点A(b,a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是_.【解析】由题意可知ab+ba=1,即2ab=1,又故所求圆的面积S=(a2+b2),S2ab=.答案：2.(2012盐城模拟)与直线x=3相切，且与圆(x+1)2+(y+1)2=
14、1相内切的半径最小的圆的方程是_.【解析】如图所示，要使与直线x=3相切，且与圆(x+1)2+(y+1)2=1相内切的圆的半径最小，则点P、Q、R、S四点共线，易知点P(-2,-1),R(,-1),又PR=，故所求圆的方程为(x-)2+(y+1)2=.答案：(x-)2+(y+1)2=3.(2011江西高考改编)若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是_.【解析】如图,C1:(x-1)2+y2=1.C2:y=0或y=mx+m=m(x+1).当m=0时，C2:y=0,此时C1与C2显然只有两个交点,当m0时，要满足题意，需圆(x-1)2+y2=1与直线y=m(x+1)有两交点，当圆与直线相切时，m=即直线处于两切线之间时满足题意，则答案：(-,0)(0,)
