1、第五节 平面与平面垂直内容要求ABC两平面垂直的判定与性质三年3考高考指数:1.二面角(1)二面角的定义一条直线和由这条直线出发的_所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做_.每个半平面叫做_.如图的二面角，可记作:二面角_或二面角_或二面角_.两个半平面二面角的棱二面角的面-l-AB-M-AB-N(2)二面角的平面角如图，从二面角-l-的棱l上任取一点O在两个半平面内分别作OBl，OAl,则_就叫做二面角-l-的平面角.(3)二面角的平面角的范围设二面角的平面角为，则0,.AOB【即时应用】(1)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，DAB=_.(2)如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱
2、的长均是，则二面角A-BD-C的大小为_.【解析】(1)如图,取AC的中点O，连结DO，BO，则DOAC，BOAC，故DOB为二面角的平面角，从而DOB=90.设正方形边长为1，则DO=BO=，所以DB=1，故ADB为等边三角形，所以DAB=60.(2)取BD的中点O，连结AO、OC.在ABD中，AB=AD=,BD=2，ABD是等腰直角三角形，AOBD,同理OCBD.AOC是二面角A-BD-C的平面角.又AO=OC=1，AC=，AOC=90.即二面角A-BD-C的大小为90.答案：(1)60(2)902.平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互
3、相垂直.直二面角(2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.l(3)平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.la【即时应用】(1)思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：不一定.两平面可能平行，也可能相交.(2)判断下列说法是否正确.(请在括号内填“”或“”)两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；()一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；()一直线与两平面中的一个平行，与另一个垂直，则这
4、两个平面垂直；()一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直；()两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们交线的直线必垂直于第二个平面.()【解析】正确,由定义可知;正确,这是两平面垂直的判定;正确,可在与它平行的平面内找到一条直线与它平行,此时,该直线也垂直于另一平面,因此,两平面垂直;正确;错误,这个点必须不在交线上时才成立.答案:(3)已知,表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的_条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”)【解析】由条件知，当m时，一定有；但反之不一定成立.故填必要不充分.答案：必要不充分平面与平面垂直的判定【方法点睛】证明面面垂
5、直的技巧及注意事项证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的.同时，在关于垂直问题的论证中注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图，其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.线线垂直线面垂直面面垂直【例1】如图，在BCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E、F分别是AC、AD上的动点，且=(01).(1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；(2)是否存在，使得平面BEF平面ACD，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由.【解题指南】(1
6、)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由AB平面BCD及BCD=90，易证CD平面ABC，由条件知EFCD，由EFCD可得EF平面ABC.(2)问题相当于过点B作一个平面与平面ACD垂直，这样的平面一定存在，故只需计算出即可，由条件不难得到BECD，故只需BEAC.【规范解答】(1)EF平面ABC.证明：因为AB平面BCD，所以ABCD，又在BCD中，BCD90，所以BCCD，又ABBCB，所以CD平面ABC.又在ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且=(01)，EFCD，EF平面ABC.(2)CD平面ABC，BE平面ABC，BECD，易知要使平面BEF平面ACD，只要BEAC即可.在Rt
7、ABD中，ADB60，ABBDtan60，则AC=，当BEAC时，BE，AE=，则，即时，BEAC，又BECD，ACCDC，BE平面ACD，BE平面BEF，平面BEF平面ACD.所以存在，且当时，平面BEF平面ACD.【反思感悟】判定面面垂直的常规方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添加辅助线解决.面面垂直的性质【方法点睛】面面垂直性质的应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据.(2)两个相
8、交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面.此性质在不是很复杂的题目中应用时，要进行证明.【提醒】运用面面垂直的性质定理证明线面垂直时，要注意“直线在平面内”.【例2】(2012扬州模拟)如图，在棱长均为4的三棱柱ABC-A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点.(1)求证：A1D1平面AB1D；(2)若平面ABC平面BCC1B1，B1BC=60，求三棱锥B1-ABC的体积.【解题指南】(1)作辅助线构造平行四边形，证明A1D1AD.(2)根据平面ABC平面BCC1B1确定两个平面的交线.由线线垂直推出线面垂直.进而根据条件得出所求体积.【规范解答】(1)如图，连结
9、DD1.在三棱柱ABC-A1B1C1中，因为D、D1分别是BC与B1C1的中点，所以B1D1BD，且B1D1=BD.所以四边形B1BDD1为平行四边形，所以BB1DD1，且BB1=DD1.又因为AA1BB1，AA1=BB1，所以AA1DD1，AA1=DD1，所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1AD.又A1D1平面AB1D,AD平面AB1D，故A1D1平面AB1D.AA1BDCB1D1C1(2)方法一：在ABC中，因为AB=AC，D为BC的中点，所以ADBC.因为平面ABC平面B1C1CB，交线为BC，AD平面ABC,所以AD平面B1C1CB，即AD是三棱锥A-B1BC的高.在ABC
10、中，由AB=AC=BC=4得AD=2 .在B1BC中，B1B=BC=4，B1BC=60,所以B1BC的面积S ,所以三棱锥B1-ABC的体积，即三棱锥A-B1BC的体积方法二：在B1BC中，因为B1B=BC，B1BC=60,所以B1BC为正三角形，因此B1DBC.因为平面ABC平面B1C1CB，交线为BC，B1D平面B1C1CB，所以B1D平面ABC，即B1D是三棱锥B1-ABC的高.在ABC中,由AB=AC=BC=4得ABC的面积SABC=44=4 .在B1BC中，因为B1B=BC=4，B1BC=60，所以B1D=2 .所以三棱锥B1-ABC的体积V=SABCB1D=4 2 =8.【反思感悟
11、】1.面面垂直与线面垂直有着紧密的联系，两者之间可以相互转化，熟练掌握它们之间的转化关系是证明垂直问题的关键.2.当题目条件中出现面面垂直的条件时要注意分析两个半平面内与交线垂直的直线.与垂直有关的综合问题【方法点睛】与垂直有关的综合题的类型(1)对于三种垂直的综合问题，解题时要注意通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)对于垂直与平行结合的问题，解题时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)对于垂直与体积结合的问题，在求棱锥的体积时，可根据线面垂直得到表示棱锥高的线段，进而求得体积.【例3】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱C
12、C1的中点，(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM平面A1B1M.【解题指南】(1)利用长方体中棱的平行关系找角，然后解直角三角形;(2)利用棱长的关系找出隐含的垂直是证明结论成立的关键.【规范解答】(1)C1D1A1B1,MA1B1就是异面直线A1M和C1D1所成的角.A1B1平面B1C1CB,B1M平面B1C1CB,A1B1B1M.在RtA1B1M中，A1B1=1,B1M=.tanMA1B1=.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为.(2)A1B1平面B1C1CB,BM平面B1C1CB，A1B1BM,由(1)知B1M=，又,B1B=2,B1M2+BM
13、2=B1B2,B1MBM.又A1B1B1M=B1,BM平面A1B1M.而BM平面ABM,平面ABM平面A1B1M.【反思感悟】1.解决与垂直有关的综合问题时，要重视各种平行或垂直间的相互转化在解题中所起的作用.2.将空间问题转化为平面问题是解答立体几何问题的基本方法.因此在解答与垂直有关的综合问题时也要注意勾股定理，等腰三角形中“三线合一”，菱形对角线垂直等知识的应用.【满分指导】线面位置关系解答题的规范解答【典例】(14分)(2011江苏高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点.求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平
14、面BEF平面PAD.【解题指南】(1)利用三角形中位线的性质先证明线线平行再推出线面平行.(2)关键是在底面ABCD内找交线AD的垂线.【规范解答】(1)在PAD中，因为E、F分别是AP、AD的中点，所以EFPD.2分又因为EF平面PCD，PD平面PCD,所以直线EF平面PCD.4分(2)连结BD.因为AB=AD，BAD=60,所以ABD为正三角形.6分因为F是AD的中点,所以BFAD.8分因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.12分又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD.14分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们
15、可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)线面平行的判定定理应用不规范,漏掉“EF平面PCD”.(2)证明面面垂直时，无法把题目中的已知条件联系起来导致无法准确找出关键的线面垂直关系.备考建议从近几年的高考来看，对立体几何解答题的考查难度降低，一般以低中档题的形式考查，因此在备考时要高度关注基础知识，避免不必要的失分.另外还要注意以下几点：(1)重视判定定理、性质定理等常规证明方法的应用.(2)重视解题规范性的训练，强化解题步骤的完整性和严密性.1.(2011浙江高考改编)下列命题中错误的是_.(1)如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面(2)如果平
16、面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面(3)如果平面平面，平面平面，=l，那么l平面(4)如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】如果平面平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故(4)叙述是错误的.答案：(4)2.(2012南京模拟)已知m,n，l是三条直线，,是两个平面.下列命题中，正确命题的序号是_.若l垂直于内两条直线，则l.若l平行于,则内无数条直线与l平行.若m,n,则mn.若m,m,则.【解析】错误.只有l垂直于内的两条相交直线，才有l.正确.若l平行于，则过直线l的平面与的交线都与l平行.错误.若m,n,则mn或m与n异面.错误.若m,若m,则.答案：3.(2012苏州模拟)如图,ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点.求证：(1)PA平面BDE；(2)平面PAC平面BDE.【证明】(1)连结OE，ABCD是正方形，ACBD=O，且O为AC中点，又E为PC中点，PAEO.又EO平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE.(2)PO底面ABCD，POBD.又BDAC，BD平面PAC.又BD平面BDE，平面PAC平面BDE.
