1、第九节函数与方程内容要求ABC函数与方程高考指数:0 实数根交点零点【即时应用】(1)函数f(x)=x3-x的零点是_；(2)函数f(x)=lgx-的零点个数是_.【解析】(1)令f(x)=0，即x3-x=0解得x=0,1,-1,f(x)的零点为-1，0，1.(2)由等价关系零点个数转化为方程lgx-=0的根的个数lgx=,即又转化为函数y=lgx与y=图象交点个数，由图象得：有一个交点.答案：(1)-1，0，1 (2)1xyo1-1-1y=lgx2.函数零点的存在性定理函数f(x)在区间a,b上存在零点的条件：(1)在区间a,b上的图象是一条_的曲线；(2)_0，则不存在实数c(a,b)使得
2、f(c)=0 ()若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a,b)使得f(c)=0 ()若f(a)f(b)0,则有可能不存在实数c(a,b)使得f(c)=0 ()(2)请思考在定理的条件下，当f(x)是_时，在区间(a,b)内f(x)有惟一的一个零点.(3)已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在的最短区间为_.(区间端点为整数)(4)函数f(x)=mx-1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是_.【解析】(1)如图甲的情况可判断错正确，如图乙的情况可判断不正确，由零点存在性定理可知不正确.(2)由零点存在性定理容易判断f(x)是单调函数即可.(3)由于f(0)=-10
3、，f(1)=-10,f(3)=230,f(4)=590,故只有区间(1，2)满足.(4)由f(0)f(1)0,得(-1)(m-1)1.答案：(1)(2)单调函数(3)(1，2)(4)m13.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系 0 =0 0)的图象与x 轴的交点零点(x1,0),(x2,0）(x1,0)无交点x1,x2x1无xyox1x2xyoxyox1=x2【即时应用】(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c中，ac0,则函数的零点个数是_.(2)若函数f(x)=ax2-x-1仅有一个零点，则实数a的取值范围是_.【解析】(1)c=f(0),ac=af(0)1,cosx1,
4、所以f(x)=-cosx0;当x(0,时,f(x)=+sinx0,所以函数f(x)=-cosx是增函数，又因为f(0)=-1,f()=0,所以f(x)=-cosx在x(0,)上有且只有一个零点.综上，f(x)=-cosx在0，+)内有且仅有一个零点.答案：1【反思感悟】在判断函数y=f(x)零点个数时，若方程f(x)=0易解，则用解方程法求解；否则若可转化为两熟悉函数图象的交点，就用图象法求解，但图象画得太粗糙易出现失误，若图象不易画则可利用零点存在的判定定理及函数的性质综合求解.由函数零点的存在情况求参数的取值【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路(1)直接法：直接求
5、解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.【例2】已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x0).(1)若g(x)=m有实数根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解题指南】解答(1)可求出g(x)的值域或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f(x)与g(x)有两个交点，从而数形结合求解.【规范解答】(1)方法一：g(x)=x+2 =2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值
6、域是2e,+)，因此，只需m2e,则g(x)=m就有零点.方法二：作出g(x)=x+(x0)的大致图象如图：可知若使g(x)=m有零点，则只需m2e.xg(x)yo2ey=me(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)=x+(x0)的大致图象.f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.其图象的对称轴为x=e,开口向下，最大值为m-1+e2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是(-e2+2e+1,+).xyo2eg（x）
7、f（x）e【反思感悟】有些二次、高次、分式、指数、对数及三角式、含绝对值方程根的存在问题，常转化为求函数值域或两熟悉函数图象交点问题求解.【创新探究】函数零点的命题新考向【典例】(2011山东高考)已知函数f(x)=logax+x-b(a0,且a1).当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n,n+1),nN*，则n=_.【解题指南】由条件易知函数f(x)在(0，+)上为增函数.然后，根据a,b满足的条件及对数的运算性质探究出f(x)零点所在的区间，从而对照x0(n,n+1),nN*.确定出n的值.【规范解答】2a3,f(x)=logax+x-b为定义域上的单调递增函数，f(2)=loga2+
8、2-b,f(3)=loga3+3-b，2a3b,lg2lgalg3,3,-b-3,2-b-1,loga2+2-b0,即f(2)0,1 ,3b4,-13-b0,f(3)0,即f(2)f(3)0由x0(n,n+1),nN*，知n=2.答案：2【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题避开函数零点的常规命题考向确定零点所在区间或判断零点的个数，有以下两个创新点：(1)改变了考查单一零点知识点的命题方式，而是与函数的单调性相结合命题.(2)改变了常规的考查方式，需要利用对数的运算性质及对数函数的单调性去探究零点所在区间.备考建议对函数的零点除掌握好常规的考向外，在
9、复习中还应关注以下几个问题：(1)与函数的单调性、奇偶性、周期性、值域等性质的综合问题.(2)与指数、对数及三角函数图象与性质的综合问题.(3)与导数的应用综合在一起的零点解答题.1.(2012连云港模拟)关于x的方程3tx2+(3-7t)x+4=0的两根为x1,x2,满足0 x11x22，则实数t的取值范围是_.【解析】令f(x)=3tx2+(3-7t)x+4,由0 x11x22,得或，解得t0时，f(a)=a2=4,a=2.综上，a=-4或2.答案：-4或23.(2012苏州模拟)设函数f(x)=，则函数F(x)=f(x)-的零点是_.【解析】由已知当x1,+)时，f(x)=得2x-2=得x=.当x(-,1)时，f(x)=，得x2-2x=即4x2-8x-1=0,解得x又x1，x=.综上可知：F(x)的零点是，答案：，4.(2011辽宁高考)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是_.【解析】函数f(x)=ex-2x+a有零点，即方程ex-2x+a=0有实根，即函数g(x)=2x-ex与函数y=a有交点，而g(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-,ln2)上递增，在(ln2，+)上递减，因此g(x)=2x-ex的值域为(-,2ln2-2,所以要使函数g(x)=2x-ex与函数y=a有交点，只需a2ln2-2即可.答案：(-,2ln2-2
