1、第二节函数的单调性与最值三年9考高考指数:1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会利用函数的图像理解和研究函数的性质1.确定函数的单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点.2.常与函数的图像及其他性质交汇命题.3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.1.函数在区间上是增加(递增)的、减少(递减)的含义在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1,x2A,且x1x2，则：(1)f(x)在区间A上是增加(递增)的_；(2)f(x)在区间A上是减少(递减)的_.f(x1)f(x2)【即时应用
2、】(1)思考：函数在某区间上是增加或减少的，分别有何几何特征？提示：若函数在某区间上是增加的，则其图像是上升的;若是减少的，则其图像是下降的.(2)如果函数f(x)在a,b上是增加的，对于任意的x1、x2a,b(x1x2)，判断下列结论的真假(在括号内填“真”或“假”)()(x1-x2)f(x1)-f(x2)0；()f(a)f(x1)f(x2)f(b)；()()【解析】当函数f(x)在a,b上是增加的时，对于任意的x1、x2a,b(x1x2)，均能得出真，假答案：真 真 假 真(3)已知函数f(x)在R上是减少的，若mn,则f(m)_f(n);若f(|x|)f(1),则实数x的取值范围是_.【
3、解析】由减少的知，若mf(n);若f(|x|)1,得:x1或x x|x1或x-1(4)若函数y=ax与y=在(0，+)上都是减少的，则y=ax2+bx在(0，+)上是_函数(填“增加的”或“减少的”).【解析】由y=ax在(0，+)上是减少的，知a0；由y=在(0，+)上是减少的，知b0y=ax2+bx的对称轴x=0，又y=ax2+bx的开口向下,y=ax2+bx在(0，+)上是减少的答案：减少的2.单调区间、单调性及单调函数(1)单调区间：如果y=f(x)在区间A上是_或是_，那么称_为单调区间.(2)单调性：如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是_的或是_的，那么就称函数y=f(x)在
4、这个子集上具有单调性.(3)单调函数：如果函数y=f(x)在整个定义域内是_的或是_的，那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数.增加的减少的A增加减少增加减少【即时应用】(1)思考：若函数f(x)在区间a,b(ax2-1,则x1x2-1,x2-x10,x2+10,即y1-y20,y1y2.在(-1,+)上是减函数.方法二：(导数法)在(-1，+)上，y0,故在(-1,+)上为减函数.【反思感悟】判断(或证明)函数单调性(区间)，一定要先确定函数的定义域，然后根据所给函数的结构特征及要求选择合适的方法求解，并且结果一定要写成区间的形式，当同增(减)区间不连续时，一般用“逗号”隔开.应
5、用函数的单调性【方法点睛】应用函数的单调性可求解的类型(1)由x1,x2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小；(2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系；(3)求解析式中参数的值或取值范围；(4)求函数的最大值、最小值；(5)得到图像的升、降情况，画出函数图像的大致形状.【例2】(1)(2012南阳模拟)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是_.(2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在0,2上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.【解题指南】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系
6、，从而求解.(2)根据函数f(x)的奇偶性先得到y=f(x)在0,2上的单调性或-2,2上的图像，进而借助于单调性或图像比较出函数值的大小.【规范解答】(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)f(m2)，则有:2-m0.解得:m1.所以m的取值范围为(-,-2)(1,+).答案：(-,-2)(1,+)(2)方法一：因为y=f(x-2)的图像可由y=f(x)的图像向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图像关于直线x=0对称，函数y=f(x-2)的图像关于直线x=2对称，又y=f(x-2)在0,2上单调递减,函数y=f(x-2)在2,4上单调递增，因此,y=f(x)在0,2上单
7、调递增，又f(-1)=f(1),01f(-1)f(0).方法二：由方法一可得函数y=f(x)在-2,2上图像的大致形状为由图像知f(2)f(-1)f(0).【反思感悟】1.已知函数y=f(x)的单调性，解含有“f”号的不等式，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x)f(h(x)”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域.2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图像法求解.求函数的最值【方法点睛】求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(
8、2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后,再用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值【例3】(1)已知函数f(x)=(a0,x0),则f(x)在2上的最大值为_，最小值为_.(2)函数y=(x0)的最大值为_.(3)(2012上饶模拟)用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值，设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0),则f(x)的最大值为_.【解题指南
9、】(1)可用单调性法；(2)先用换元法，转化为二次函数再求最值.(3)画出图像求解.【规范解答】(1)f(x)=在2上为减函数，f(x)min=f(2)=f(x)max=f()=+2.(2)令=t(t0)，则y=t-t2=-(t-)2+当t=时，ymax=(3)由题意知函数f(x)是三个函数y1=2x，y2=x+2,y3=10-x中的最小者，作出三个函数在同一直角坐标系下的图像(如图实线部分为f(x)的图像)，可知A(4，6)为函数f(x)图像的最高点，即f(x)max=6.答案：【反思感悟】求函数最值的常用方法(1)单调性法：若所给函数在某个区间上单调性已知或能确定，则该函数在这个区间上的最
10、值一般在端点处取得；(2)基本不等式法：当函数的解析式是分式形式且分子分母不同次幂时可用此法；(3)导数法：当函数解析式较复杂时，可考虑用此法；(4)数形结合法：所给函数易画出其图像时，可结合图像求最值；(5)对于一些根式、分式、高次式等常先用换元法，转化为以上四种情况中的某种再求最值.【易错误区】求解分段函数单调性中的误区【典例】(2012西安模拟)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()(A)(1,+)(B)4,8)(C)(4,8)(D)(1,8)【解题指南】要保证f(x)在R上为增函数，需每段均为增函数，且在x1时的最大值不大于另一段上的最小值.【规范解答】选B.因为f(x)是R上
11、的单调递增函数，所以可得【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析，我们可以得到以下误区警示和备考建议：误区警示在解答本题时有两大误区：(1)忽视了上、下段中端点值间的大小关系，从而误选D.(2)误以为x1时的最大值小于另一段上的最小值，从而误选C.备考建议求解分段函数的单调性问题时，还有以下几点在备考中要高度关注：(1)当涉及到变量不明确时，要对其可能存在的区间进行讨论.(2)当涉及到的变量是关于x的函数时，要注意函数的定义域.1.(2011新课标全国卷)下列函数中,既是偶函数又在(0,+)上单调递增的函数是()(A)y=x3(B)y=|x|+1(C)y=-x2+1(D)y=2-|x|【解析】选B.函数y=x3是奇函数，故可排除A;当x0时，y=|x|+1=x+1是增函数，y=-x2+1是减函数，y=2-|x|=2-x=()x为减函数.2.(2012枣庄模拟)函数的值域是()(A)0，+)(B)0,2(C)0,2)(D)(0,2)【解析】选C.2x(0,+),4-2x0),因为y=log5t在t(0,+)上为增函数，t=2x+1在(+)上为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为(+).答案：(+)
