1、第五节二项分布、随机变量的均值和方差三年2考高考指数:内容要求ABCn次独立重复试验的模型及二项分布离散型随机变量的均值与方差 1.n次独立重复试验由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)=p0,这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验，n次独立重复试验中,事件A恰好发生k(0kn)次的概率为Pn(k)=_.2.二项分布若随机变量X的分布列为P(X=k)=_,其中0pE(Y)，故乙的技术较好.答案：乙4.两点分布与二项分布的均值、方差均 值方 差随机变量X服从两点分布XB(n,p)E（X）=_V（X）=_E(X)=_V(X)=
2、_pp(1-p)npnp(1-p)【即时应用】(1)设15 000件产品中有1 000件次品，有放回地从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为_.(2)设随机变量B(n，p)，又E()15，V()则n的值为_,p的值为_.【解析】(1)设查得次品数为随机变量，由题意得B(150，)，所以E()=150 =10.(2)由B(n，p)，有E()np15，V()np(1p)p，n60.答案：(1)10 (2)60独立重复试验与二项分布【方法点睛】1.独立重复试验的特点(1)每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生.(2)任何一次试验中事件发生的概率都是一样的.2.二项分布满足的
3、条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生.(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.【例1】(2012泰州模拟)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为乙每次击中目标的概率为求：(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)乙至少击中目标2次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.【解题指南】(1)(2)直接利用二项分布求解；(3)事件“乙恰好比甲多击中目标2次”包括：“乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次”；“乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次”两种情况.【规范解答】(1)设X
4、为甲击中目标的次数，则XB(3，)，故甲恰好击中目标2次的概率为(2)设Y为乙击中目标的次数，则YB(3,)，故乙至少击中目标2次的概率为P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=(3)设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，包含以下2个互斥事件，设B1为事件“乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次”，则P(B1)=设B2为事件“乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次”，则于是即乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.【反思感悟】1.在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为在利用该公式时一定要审清公式中的n,k各是多少.2.独立重复试验是相互独立事件的特例.一般情况下，有“恰好”字样的用独立重
5、复试验的概率公式计算更简单，含有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单.离散型随机变量的均值与方差【方法点睛】求离散型随机变量的均值与方差的方法(1)理解的意义，写出可能取的全部值；(2)求取每个值的概率；(3)写出的概率分布；(4)由均值的定义求E()；(5)由方差的定义求V().【例2】(2011福建高考)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1
6、的概率分布列如下所示：且X1的数学期望E(X1)=6，求a，b的值；X15678P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：(1)产品的“性价比”=(2)“性价比”大的产品更具可购买性.【解题指南】(1)利用期望公式和E(X1
7、)=6以及分布列中的所有概率和为1，联立关于a,b的方程组，解方程组求得a,b的值；(2)根据题中提供的数据，列等级系数X2的概率分布列，再利用期望公式求期望；(3)根据“性价比”公式求两工厂的产品的性价比，“性价比”大的产品更具可购买性.【规范解答】(1)因为E(X1)6,所以50.4+6a+7b+80.1=6,即6a+7b=3.2，又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1即a+b=0.5.由(2)由已知得，样本的频率分布表如下：用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布如下：所以E(X2)=30.3+40.2+50.2+60.1+70.1+80.1
8、=4.8,即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.X2345678f0.30.20.20.10.10.1X2345678P0.30.20.20.10.10.1(3)乙厂的产品更具有可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为=1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件，所以其性价比为=1.2.所以乙厂的产品更具可购买性.【反思感悟】求离散型随机变量的均值与方差时，关键是先求出随机变量的概率分布.求离散型随机变量的概率分布时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率.求概率时，要注意概率类型的确定与
9、转化，如古典概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等.与二项分布有关的期望与方差【方法点睛】与二项分布有关的期望与方差的求法(1)求随机变量的期望与方差时，可首先分析是否服从二项分布，如果服从B(n,p)，则用公式E()=np,V()=np(1-p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(a+b)=aE()+b以及E()=np求出E(a+b)，同样还可求出V(a+b)=a2V().【提醒】E(a+b)=aE()+b，但注意V(a+b)aV()+b，V(a+b)aV
10、().【例3】(1)某同学参加科普知识竞赛，需回答4个问题，每一道题能否正确回答是相互独立的，且回答正确的概率是若回答错误的题数为，则E()=_，V()=_.(2)罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续取4次，设为取得红球的次数，则E()=_.【解题指南】两题中的都服从二项分布，故可直接套用公式求解.【规范解答】(1)回答正确的概率是 回答错误的概率是故B(4，)，E()=41，V()=4(1-)=.答案：1(2)因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率为连续摸4次(做4次试验)，为取得红球(成功)的次数，则B(4，)，所以E()=答案：【反思感悟
11、】是随机变量,则=f()一般也是随机变量,在求的均值和方差时,熟练应用均值和方差的性质,可以避免再求的概率分布带来的繁琐运算.均值与方差的实际应用【方法点睛】均值与方差的实际应用(1)V(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，V(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，V(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度.(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【例4】为了评估天气对大运会
12、的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是深圳市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图)，如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立.(1)求在大运会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设大运会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X，求X的数学期望和方差.【解题指南】利用独立重复试验求(1)；借助二项分布的期望、方差公式求(2).【规范解答】(1)设8月份一天中发生雷电的概率为P，由已知因为每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立，所以，在大运会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率P=(1-0.47)=0.351 2310.35.(2)由已知XB(12，0.47)，所以，X的数学期望E(X)=120.47=5.64，X的方差V(X)=120.47(1-0.47)=2.989 2.【反思感悟】解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率.对于实际问题要通过分析题意抽象出具体的数学模型来求解.
