1、学案 6 章末总结一、万有引力定律的应用万有引力定律主要应用解决三种类型的问题1地球表面，万有引力约等于物体的重力，由 GMmR2 mg；可以求得地球的质量 MgR2G，可以求得地球表面的重力加速度 gGMR2；得出一个黄金代换式 GMgR2，该规律也可以应用到其他星球表面2应用万有引力等于向心力的特点，即 GMmr2 mv2r m2rm(2T)2r，可以求得中心天体的质量和密度3应用 GMmr2 mv2r m2rm(2T)2r 可以计算做圆周运动天体的线速度、角速度和周期例 1 2013 年 12 月 2 日，我国成功发射探月卫星“嫦娥三号”，该卫星在环月圆轨道绕行 n 圈所用的时间为 t，
2、月球半径为 R0，月球表面处重力加速度为 g0.(1)请推导出“嫦娥三号”卫星离月球表面高度的表达式；(2)地球和月球的半径之比为 RR04，表面重力加速度之比为gg06，试求地球和月球的密度之比解析(1)由题意知，“嫦娥三号”卫星的周期为 Ttn设卫星离月球表面的高度为 h，由万有引力提供向心力得：GMmR0h2m(R0h)(2T)2又：GMmR20mg0联立解得：h3 g0R20t242n2R0(2)设星球的密度为，由 GMmR2mg 得 GMgR2MV M43R3联立解得：3g4GR设地球、月球的密度分别为 0、1，则：01gR0g0R将 RR04，gg06 代入上式，解得 0132答案
3、(1)3 g0R20t242n2R0(2)32例 2 小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动则经过足够长的时间后，小行星运动的()A半径变大B速率变大C角速度变大D加速度变大解析 由于万有引力减小，行星要做离心运动，半径要增大，由GMmr2 mv2r mr2ma可知 vGMr 减小，GMr3 减小，aGMr2 减小A 选项正确答案 A二、人造卫星稳定运行时各物理量的比较卫星在轨道上做匀速圆周运动，则卫星受到的万有引力全部提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力根据万有引力定律、牛顿第二定律和向心力公式得GMmr2 mamv2rm2
4、rmr42T2aGMr2 r越大，a越小vGMr r越大，v越小GMr3 r越大，越小T42r3GM r越大，T越大由以上可以看出，人造卫星的轨道半径 r 越大，运行的越慢(即 v、越小，T 越大)例 3 由于阻力，人造卫星绕地球做匀速圆周运动的半径逐渐减小，则下列说法正确的是()A运动速度变大B运动周期减小C需要的向心力变大D向心加速度减小解析 设地球质量为 M，卫星质量为 m，轨道半径为 r，运行周期、线速度和角速度分别为 T、v、.根据牛顿第二定律得：GMmr2 mv2r m2rm42T2 r解得 vGMr；GMr3；T42r3GM向心加速度 aGMr2 v2r 2r42T2 r需要的向
5、心力等于万有引力 F 需GMmr2根据轨道半径 r 逐渐减小，可以得到 v、a、F 需都是增大的而周期 T 是减小的答案 ABC三、人造卫星的发射、变轨与对接1发射问题要发射人造卫星，动力装置在地面处要给卫星很大的发射初速度，且发射速度 vv17.9 km/s，人造卫星做离开地球的运动；当人造卫星进入预定轨道区域后，再调整速度，使 F 引F 向，即 GMmr2 mv2r，从而使卫星进入预定轨道2变轨问题图 1人造卫星在轨道变换时，速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生向心运动或离心运动，发生变轨发射过程：如图 1 所示，一般先把卫星发射到较低轨道 1 上，然后在 P 点点
6、火，使火箭加速，让卫星做离心运动，进入轨道 2，到达 Q 点后，再使卫星加速，进入预定轨道 3.回收过程：与发射过程相反，当卫星到达 Q 点时，使卫星减速，卫星由轨道 3 进入轨道2，当到达 P 点时，再让卫星减速进入轨道 1，再减速到达地面3对接问题图 2空间站实际上就是一个载有人的人造卫星，地球上的人进入空间站以及空间站上的人返回地面都需要通过宇宙飞船来完成这就存在一个宇宙飞船与空间站对接的问题如图 2 所示，飞船首先在比空间站低的轨道运行，当运行到适当位置时，再加速运行到一个椭圆轨道通过控制轨道使飞船跟空间站恰好同时运行到两轨道的相切点，便可实现对接例 4 如图 3 所示，发射地球同步卫
7、星时，先将卫星发射至近地圆形轨道 1 运行，然后点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道 3 运行，设轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于 P 点，则卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时：图 3(1)比较卫星经过轨道 1、2 上的 Q 点的加速度的大小，以及卫星经过轨道 2、3 上的 P点的加速度的大小；(2)设卫星在轨道 1、3 上的速度大小为 v1、v3，在椭圆轨道上 Q、P 点的速度大小分别是v2Q、v2P，比较四个速度的大小解析(1)根据牛顿第二定律，卫星的加速度是由地球的引力产生的，即 GMmr2 ma.所以，卫星在轨道 2、3 上经过
8、P 点的加速度大小相等，卫星在轨道 1、2 上经过 Q 点的加速度大小也相等(2)1、3 轨道为卫星运行的圆轨道，卫星只受地球引力作用做匀速圆周运动，由 GMmr2 mv2r得：vGMr，因为 r1r3.所以 v1v3.由开普勒第二定律知，卫星在椭圆轨道上的运动速度大小不同，在近地点 Q 的速度大，在远地点 P 的速度小，即 v2Qv2P.在轨道 1 上经过 Q 时，有 GMmr21 mv21r1，在轨道 2 上经过 Q 点时，有 GMmr21 mv22Qr1，所以v2Qv1；在轨道 2 上经过 P 点时，有 GMmr23 mv22Pr3，在轨道 3 上经过 P 点时，有 GMmr23 mv2
9、3r3，所以 v3v2P.综合上述比较可得：v2Qv1v3v2P.答案(1)卫星经过轨道 1、2 上的 Q 点的加速度的大小相等，经过轨道 2、3 上的 P 点的加速度的大小也相等(2)v2Qv1v3v2P图 41(万有引力定律的应用)不可回收的航天器在使用后，将成为太空垃圾如图 4 所示是漂浮在地球附近的太空垃圾示意图，对此有如下说法，正确的是()A离地越低的太空垃圾运行周期越小B离地越高的太空垃圾运行角速度越小C由公式 v gr得，离地越高的太空垃圾运行速率越大D太空垃圾一定能跟同一轨道上同向飞行的航天器相撞答案 AB2(万有引力定律的应用)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球
10、表面高度为 200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为 127 分钟已知引力常量 G6.671011Nm2/kg2，月球半径约为 1.74103 km.利用以上数据估算月球的质量约为()A8.11010 kgB7.41013 kgC5.41019 kgD7.41022 kg答案 D解析 设探月卫星的质量为 m，月球的质量为 M，根据万有引力提供向心力 G mMRh2m(2T)2(Rh)，将 h200 000 m，T12760 s，G6.671011 Nm2/kg2，R1.74106m，代入上式解得 M7.41022 kg，可知 D 选项正确3(人造卫星稳定运行时各物理量的比较)a 是静置在地球
11、赤道上的物体，b 是近地卫星，c 是地球同步卫星，a、b、c 在同一平面内绕地心做逆时针方向的圆周运动，某时刻，它们运行到过地心的同一直线上，如图 5 甲所示一段时间后，它们的位置可能是图乙中的()图 5答案 AC解析 地球赤道上的物体与同步卫星做圆周运动的角速度相同，故c终始在a的正上方，近地卫星转动的角速度比同步卫星大，故一段时间后 b 可能在 a、c 的连线上，也可能不在其连线上，故选项 A、C 正确图 64(人造卫星的变轨问题)2010 年 10 月 1 日，“嫦娥二号”在四川西昌发射成功，10 月6 日实施第一次近月制动，进入周期约为 12 h 的椭圆环月轨道；10 月 8 日实施第
12、二次近月制动，进入周期约为 3.5 h 的椭圆环月轨道；10 月 9 日实施第三次近月制动，进入轨道高度约为 100 km 的圆形环月工作轨道实施近月制动的位置都是在相应的近月点 P，如图 6 所示则“嫦娥二号”()A从不同轨道经过 P 点时，速度大小相同B从不同轨道经过 P 点(不制动)时，加速度大小相同C在两条椭圆环月轨道上稳定运行时，周期不同D在椭圆环月轨道上运行的过程中受到月球的万有引力大小不变答案 BC解析 若从不同轨道经过 P 点时，速度大小相同，则在 P 点受到的万有引力 FP 与向心力mv2PrP 总相同，应该是长轴相同的椭圆轨道，与实际情况不符，故从不同轨道经过 P 点时，速度大小不相同，而且椭圆轨道长轴越大的速度越大，A 选项错误；不论从哪个轨道经过 P 点，“嫦娥二号”受到的月球引力相同，故加速度大小相同，B 选项正确；在不同轨道上稳定运行时，椭圆的长轴不同，根据开普勒第三定律r3T2k 知，两个不同椭圆轨道上的周期不同，C 选项正确；椭圆轨道上运行的过程中，“嫦娥二号”与月心的距离时刻变化，故受到月球的万有引力大小也在变化，D 选项错误
