1、第卷（共70分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为_ _.【答案】考点：古典概型及其概率计算公式2.已知某算法的伪代码如图，根据伪代码，若函数g（x）=f（x）m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值；其函数图象如图所示：又函数g（x）=f（x）-m在R上有且只有
2、两个零点，则由图可得m0或m=1， 1考点：伪代码3.如图，空间四边形中，点在上，且，点为中点，则等于 (用向量表示)111【答案】【解析】试题分析：因为空间四边形OABC如图，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，所以所以 1111考点：向量加减混合运算及其几何意义4.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 【答案】10考点：分层抽样方法5.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10,11,9，已知这
3、组数据的平均数为10，方差为2，则的值为 .【答案】208【解析】试题分析：由题意可得：x+y=20，解得则，考点：极差、方差与标准差6.已知为如右图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中的常数项是_ _（用数字作答）【答案】-540【解析】试题分析：第一次循环：b=3，a=2；第二次循环得：b=5，a=3；第三次循环得： b=7，a=4；第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9的展开式的通项为：令3-r=0得r=3常数项为考点：程序框图与二项式定理7.在正四面体ABCD中，点E为BC的中点，F为AD的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为 1111【答案】【解析
4、】试题分析：；设正四面体的棱长为1，则1异面直线AE与CF所成角的余弦值为 1考点：异面直线所成角8.已知的展开式中的系数是35，则 .【答案】1【解析】试题分析： ，又展开式中的系数是35，可得，m=1在 ，令x=1，m=1时，由可得，当x=0，m=1时，即考点：二项式系数的性质9.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子至少有2粒发芽的概率是 . （请用分数表示结果）【答案】【解析】试题分析：由对立事件可知所求概率为考点：独立重复试验10.已知(1mx)n(mR，nN*)的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80则(1mx)n(1x)6展开式中含x2项的
5、系数为 【答案】-5【解析】试题分析：由题意，则n=5由通项 (r0，1，5)，令r=3，可得展开式中含项的系数为，所以m=2即求展开式中含项的系数，所以展开式中含项的系数为115+10（-6）+401=-5 1考点：二项式系数的性质11.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量，则P（7）= （用分数表示结果）【答案】【解析】试题分析：取出的4只球中红球个数的可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，得分的随机变量=4，6，8，10，P（7）=P（=4）+P（=6）考点：离散型随机变量的期望与方差12.袋中混装着10个大
6、小相同的球（编号不同），其中6只白球，4只红球，为了把红球与白球区分开来，采取逐只抽取检查，若恰好经过6次抽取检查，正好把所有白球和红球区分出来了，则这样的抽取方式共有 种（用数字作答）【答案】7920【解析】试题分析：前6次都是白球有种，前5次有3次红球2次白球，第六次红球有种，所以合计7920种考点：排列、组合的实际应用13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1、2、9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_ _种（用数字作答）【答案】108【解析】试题分析：首先看图形中的3，5，7，有
7、3种可能，当3，5，7，为其中一种颜色时，2，6共有4种可能，其中2种2，6是涂相同颜色，各有2种可能，共6种可能4，8及9，与2，6及1，一样有6种可能并且与2，6，1，颜色无关当3，5，7换其他的颜色时也是相同的情况符合条件的所有涂法共有366=108种考点：排列、组合及简单计数问题14.已知数列an为a0，a1，a2，a3，an(nN)，bn=a0a1a2a3an，iN若数列an为等差数列an2n(nN)，则 _ _【答案】【解析】试题分析：， 两边同乘以x，则有，两边求导，左边=，右边=，即（*），对（*）式两边再求导，得取x=1，则有考点：数列的求和第卷（共90分）二、解答题 （本大
8、题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本题满分14分)根据中华人民共和国道路交通安全法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在（不含）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在（含）以上时，属醉酒驾车”年 “夕”晚时开始，南京市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过个小时共查出喝过酒的驾车者名下图是用酒精测试仪对这名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图（1）求这名驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（2）求这名驾车者血液的酒精浓度的平均值（以组中值代替该组的均值）；（3）将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名
9、为第一组，第二组，,第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为、，则事件的概率是多少？【答案】（1）3（2）47（3）【解析】试题分析：（1）根据频率=频数/样本容量，计算所求的频数即可；（2）利用频率分布直方图求出数据的平均值即可；（3）用列举法计算基本事件数与对应的概率值试题解析：（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在（含）以上者，共有人；3分（2）由图知名驾车者血液的酒精浓度的平均值111；8分（3）第五组和第七组的人分别有：人，人，即选的两人只能在同一组中，14分考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数16.(本题满分14) 已知，（1）若展开式中第5项
10、，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项【答案】（1）70（2）(2x)10【解析】试题分析：（1）第k+1项的二项式系数为，由题意可得关于n的方程，求出n而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程，求出n而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设项的系数最大，项的系数为，则有试题解析：(1)通项Tr1nr(2x)r22rnxr，（此题可以用组合数表示结果）由题意知，成等差数列
11、， n14或7. 3分当n14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为227143 432；当n7时，第4、5项的二项式系数相等且最大，其系数分别为2237=，2247=70. 7分(2)由题意知79，n12或n13(舍) 9分Tr122r12xr.由得 r10.展开式中系数最大的项为T11221012x10(2x)10. 14分考点：二项式定理的应用17.(本题满分15分) 在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1,2,7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数的分布列与期望.【答案】
12、（1）（2）【解析】试题分析：（1）由题意设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则.表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则由等可能性事件的概率计算公式即可求得；（2）由于题意知道表示甲、乙两选手之间的演讲选手个数，有题意则的可能取值为0，1，2，3，4，5，再有古典概型随机事件的概率公式及离散型随机变量的定义与其分布列即可求得试题解析：(1)设表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”.由等可能性事件的概率计算公式得.6分(2)的可能取值为,7分 11分从而的分布列为01234513分所以,. 15分考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率
13、；离散型随机变量及其分布列18.(本题满分15分)如图：已知四棱柱的底面ABCD是菱形，=,且（1）试用表示，并求；（2）求证：；（3）试判断直线与面是否垂直，若垂直，给出证明；若不垂直，请说明理由。【答案】（1）(2)详见解析(3) 【解析】试题分析：（1）求用将向量的模转化为向量运算求解；(2)证明线线垂直可证明；(3)由已知向量可得到 ，从而借助于线面垂直的判定定理得到垂直关系成立试题解析：（1）2分=65分(2) =0 9分(3) 1111=0 13分同理可证 15分考点：线面垂直的判定与性质；平面向量基本定理19.一个袋中装有黑球，白球和红球共个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意
14、摸出1个球，得到黑球的概率是现从袋中任意摸出2个球（1）若，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量的概率分布；（2）当取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？111【答案】（1）（2）当时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为【解析】试题分析：（1）根据题意设出黑球和白球的个数，列出关于概率的方程，解出两种球的个数，由题意知变量取值，根据对应的事件做出分布列，求出期望（2）设袋中有黑球个数，设从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球为事件C，用摸出的2个球中至少有1个黑球的对立事件摸两个球没有黑球，表示出概率，得
15、到结果试题解析：（1）设袋中黑球的个数为，记“从袋中任意摸出1个球，得到黑球”为事件，则， 2分设袋中白球的个数为，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件，则， 则袋中红球的个数为4个5分随机变量的取值为0，1，2，6分，随机变量的概率分布为9分（2）袋中黑球的个数为记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件， 13分当时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为 16分考点：离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率20.在数学上，常用符号来表示算式，如记=，其中，.（1）若，成等差数列，且，求证：；（2）若，记，且不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（）由题意求出等差数列的通项公式，然后结合二项式系数的性质证明；（）在二项式展开式中分别取x=-1，x=1，求出bn，再借助于二项式系数的性质化简可得，代入不等式，分n为奇数和偶数求得t的取值范围试题解析：（1）设等差数列的通项公式为，其中为公差 则因为，所以所以=.5分111111注：第（1）问也可以用倒序相加法证明.（酌情给分） （2）令，则 令，则，所以 8分根据已知条件可知， ， 所以11分将、代入不等式得， 当为偶数时，所以；13分当为奇数，所以；15分综上所述，所以实数的取值范围是. 16分考点：数列的求和，二项式系数的性质
