1、第四章转化与化归的思想实质上数学思想与数学方法的核心是转化与化归,函数与方程的思想就内在而言是函数与方程不等式之间的相互转化数形结合是数与形的相互转化、“配合作战.如果个数学问题没有现成的解题模式可循,就需要寻找解决问题的突破口形象地说是“另辟膜径”,也就是说:在解某些数学问题时,如果直接求解较为困难,则可以通过观察、分析、类比、联想等思维过程运用恰当的数学方法进行变换或者说换个角度看问题,寻找新的解题途径,这就是本章所讲的转化与化归的思想是使问题顺利解决的种解题策略.转化是将数学命题由种形式向另种形式转换的过程,化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为类已经解决或比较容易解决的问题般总是把
2、较为陌生或较为复杂的问题转化归结为所熟悉的规范性问题来解决.个数学问题,我们可以把它看作个数学系统或数学结构组成其要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的但其变形并不唯而是多种多样的,解题模式也是可以变化的这就要求解题者进行动态思维,去寻找有利问题解决的变换途径和方法.个数学问题不论朝哪个方向转化都必须借助于等价变换来实施转化与化归思想方法包含三个基本要素:o把什么东西转换?即转换的对象;转换到何处去?即转换的目标;如何转换?即转换的方法转化与化归必须遵循的五条原则;o熟悉化原则,将陌生的问题转化为熟悉的问题;简单化原则将复杂的问题转化为简单的问题;和谐化原则转换问题的条件或结论使其表面形式
3、更加符合数与形内部和谐统的形式或者转换命题,将其推演成有利于运用某种数学方法或者符合人们的思维规律;直观化原则比较抽象的问题转换为比较直观的问题;正难则反原则,当问题正面讨论遇到困难时应从反面去探求或证明集合思想中的“补集法”是正难则反的体现,也是个转化高中数学中常用的转化策略有:换元、代换的变换般与特殊的转化繁与简的转化,命题的等价转化局部与整体的转化正与反的转化数与形的转化.相等与不等的转化空间问题与平面可题的转化复数与实数的转化不同数学语言的转化不同数学知识之间的转化等曹正妥篇中魁檬解题方膛令第一节支量代换变量代换又称“换元法能使问题中的数量关系明朗化起到化难为易的效果,换元法的关键在于
4、选择适当的辅助未知数用此法解题时要注意变量的取值范围也就是说这种换元的过程应当是等价的换元有多种:整体换元、三角换元、对称换元、和差换元等.在解决某些数学问题时可能要采取多次换元转换直至题目面孔转化为我们熟悉的常见的命题厕】（1）求函数y2工1贡干T的值域.（2）函数（工）王百万的值域为（）.3AL】且l,百C0,百D,2（3）已知三个实数、b、C成等比数列且bC加（为正常数）,则b的取值范围是解题策赂:第（1）问,通过代换将根式的值域问题转化为二次函数的值域问题.第（2）问通过三角换元将根式的值域转化为三角函数的值域.第（3）问通过代换转化为“耐克函数”运用基本不等式求6的范围或转化为二次函
5、数运用判别式法求b的范围.解:（1）令万干Tt则工t21（t0）因为删-2Ql）藤-酣瞧3-2（喷）:匹上8,所以y零（2）（醛）的定义域为3堑4,则0熙31.令塑3sin,0则（工）-副n3（sn0）-爵n0可c。s-2sn（）,因为吾0等巫Oo6,则sin（）,2sm（0）2故选u（3）解法:设上ChZ,则由bcm,可得bI罗l工r无当r0时工上2;当工0时,工上2,于是1工上3或1工上1工工工工义因为0.所以06普或60故6e榴0）0（0,引解法二:由、b、C成等比数列知b2C又因为bC加所以C?b且Cb2,从而、C可视为关于工的方程工2（b）r620的两个实根令（!78第四景貉化与化归
6、的思想b）24b20,解得mb粤（加（）.6且偷0故b匡咖,（）（0,号若关干延的力程2甄堑g（闽蒜l）g老凰老-0有模为1的虚根求实数的值及方程的根.陋解题策略:通过换元避免复杂的对数式运算,减少运算量.解;原方程化为2工:敬g导gg宁-0,令-g导.则t巨R方程为2工23t工t2t0因为方程有虚根,所以r28r（）即8t0,方程的虚根工l、工2是共扼复数且-罕-l即2-（1解方程得t1或2（舍去）.由此得方程的虚根为鞭-（37趴再由lg宁-1解方程得凰I可10。匝设0,求（工）2（sin工cosr）simrcos工22的最大值和最小值.解题策略:通过换元将本题转化为二次函数区间最值问题.t
7、21解:设sinrcos工t,则t巨百百SinJrcoS工厂（恋）g（）（2）:（0）巨徊.徊当!-】时取最小值2“2】;当2面时.在-面处取最大俏2凰:2徊“昔;当2“徊时,在-2凰处取最大值0鲁,12,所以f（虹）的最小值为22徊最大值为）2圃2徊“粤（sin0）（4sin0）设1、0均为实数,试求当0变化时,函数y的最小值.lSin0解题策略:通过换元转化为yr旦（）,利用该函数的单调性探究原函数的最值问题.工79玄正兴高中瓤檬解题方怯令（凰十隐iM）（4si0）i0（刨汹sm0-知（副n）器云十凰解:y1sin01sln0令工sin01则0r2,设g（工）工3（1）在（0）内的单调区间
8、分界点为r3（1）,即当工（03（1）时,g（r）为减函数;当工e3（1）,）时,g（工）为增函数.7当03（1）2即1时g（刃）的最小值为23（1）此时原函数的最小值为O23（1）2;当3（1）2时则有（0,2二（03（1）.所以凰（堑）任该区间上的最小值为g（2）-丫.即当;时原函数的最小值为罕2-5（竿旦勺勺综上所述,当l首时,原函数的最小值为23（l）2;当时原函数的最小值为5（J卫第二节理解转换数学解题的思维过程大致可以分为理解、转换、实施和反思四个阶段理解是弄清问题通俗地说是把习题读懂习题的条件是什么?要求的结论又是什么?相关知识点属于哪个数学分支?与哪些数学分支有联系?也就是把问
9、题的内涵和外延弄清楚,这是实施有效解题的基础,对于问题的理解越深刻,实施转换才会有的放矢,切中要害转换是种击破问题的策略许多问题可以通过研究它的等价命题转换视角从而达到柳暗花明的境地高中数学内容较多在学习新课时总是按章按节进行学习但各章节之间是相互联系的以解不等式为例,不等式解集的边界值或者是相应方程的根或者是定义域的边界所以不等式的解法与函数定义域、值域及性质有关联又和方程的解法有关联,也就是不等式的解法与函数的图像或方程的根有关联这事实说明了在系统复习时应打破各数学分支之间的界限,把相关知识沟通起来解题时才能由此及彼,前后穿插转换命题使自己的解题能力有一个质的飞跃.实施转换就是在上述分析的
10、基础上把问题加以解决,是思维策略的选择和调整的过程是问题的击破过程转换常常表现为已知条件的转换,问题结论的转换命题形式的转换数与形的转换由复杂到简单的转换空间图形向平面图形的转换,各学科知识间的转换实施转换的途径还有“退中求进以进求退”等.要实现有效的转换弄清问题的内涵与外延十分重要数学问题初步解决后必须进行反思”探究所得结论有没有疑问即对结论的完备性及纯粹性、对解题过程的合理性及完整性进行考察这步是不能省略的,是解题过程中发展数学辩。8（）第四素籍化与化恫伪思慈证思维的条重要途径.匝已删命题涣;（凰l）;（D（）,命题制（）塑2（31）0.若户是q的充分条件,求实数的取值范围解题策略:以充分
11、条件为载体将不等式问题转化为集合间的关系问题.解:解法:设命题户、q对应的集合分别为A、B,由（圃1）:r（）（凰）得2:l,所以A工2r21由工23（1）工2（31）0得（工2）工（31）0,当3l2即寺时,B（工2工3l）;O当3l2.即寺时B工3ljl2儿O22,综上所述当囤时.若八B则哩l抛,解得13.当寺时若A二B则3l22l2解得O所以的取值范围是 13或1.解法二:设命题户、q对应的集合分别为A、B由出（凰D雾（）（）得2凰:1.所以A工2Z21.因为P是q的充分条件,所以A二B.令（工）Z23（1）工2（31）,则（工）0的个根位于区间（2中另个根位于区间l,函）中所以（2）0
12、.（2十I）0解得13或1所以的取值范围是（13或1.】已知0且1若关于r的方程log（工3）log（z2）log（工1）1有实根求的取值范围【吧根的问题转化为求函数在定义域范围下的值域.解题策略:将求对数方程有实糯曰三耀原方程可化为log（工3）log（r1）（工2）所以工3（Jr1）（工2）在区间（3）上有解工3所以（工1）（工2）.81参正兴高中魁管解题方怯令问题转化为求函数驯-（工穗2）在（:,函）上的值域问题,工3工3工31工o义因为掘3所以巫:0,所以（工3）会2（巫s）.当-2m当且仪当则3兰即嘶-:时取等号所以2沽 手互又因为当鞭3时,测,所以07理所以的取回蛔是（0,严顾已知
13、（虹）是二次函数,不等式（延）0的解集是（0,5）且（工）在区间1,4上的最大值是12.（1）求（工）的解析式;（2）解关于工的不等式2工2（10）工51（0）.（工）解题策略:本例以二次函数为依托考查函数的性质和含参数不等式的解法,求二次函数（Z）的解析式由条件巧妙地设出某种形式可为解题带来方便解决此类问题还有一点很重妥,就是等价转化并对参数不同的范围进行分类讨论.解:（l）因为（工）是二次函数且（工）0的解集是（0,5）巨所以可设（硬）A工（硬5）（A0）所以（工）图像的对称轴为涎且开口向上,所以（工）在区间1,4上的最大值是（1）6A12所以A2所以（r）2工（r5）2工210工.（2）
14、由已知有2鸽;堑0所以工（堑5）（凰露5）又因为0,所以x（x5）（i:）o若-10则5旦所以工0或5工旦;若1则工0;若1则0旦5所以工0或旦工5.综上则知当10时,原小等式的解熊为堑延0或5工:;当凰-1时原不r堑0或:r5等式的解集为工工0;当1时原不等式的解集为82第四素貉化与化桐的思熄陋已知（jr）lg（工1）,g（工）2lg（2工t）,（tR是参数）.（1）当t1时解不等式（工）g（工）;（2）如果工01时（Z）g（jr）恒成立,求参数t的取值范围.解题策赂:利用对数函数的单调性不等式（工）g（r）可转化为简单的二次不等式组求解（r）g（Z）恒成立可以分离变量化归求函数最值的相关问
15、题.1（工101工丁,原不筹式等价于翻l0,!婆了,.恋l（2熙l）留4堑m0,（）或所以;.所以原不等式的解集为卜甄;唁四解:（1）（2）侣孔恒成立.故当工e01时t2工盂平T恒成立.于是问题转化为求函数y2工T干了工0,1的最大值令云干T,则工211徊而-2怎百2（“寸）￥在1.佃上是减函数故当测1即工0时,2工王平T有最大值1所以j的取值范围是t1.匝洞设双曲线C;莆凰l（0）与直线!:工l相交于两个不同的点A、B直线与5y轴交于点P且PAPB求的值解题策略:在求出A、B两点坐标后将向量表达式转化为点A、B的坐标表示再利用韦达定理,通过解方程组求的值.解:依题意P（01）设A（r l）B
16、（jr2,2）.-5-只因为PAPB,所以（恋1,1）-护1）,所以:r!-i变工y1.萧训得（12）工222Z220.（兴）趟足桐的厕点.所以点!倒）!所以0面且183曹正兴葛中愁檬解题方怯公2222且工l工221所以工lr222即2122且亡堑;12消去堑得l塑;带二所以胳因为0凰霄且感,所以刨-器第斗F正与反的转化一陋】已知凰、偷、ce（0）求证;（1）b、（1b）c（l）小能都大了十解题策略本题若直揍诞明这三个代数式的值不能都大于,则露婆考虑种情札过程繁杂但其反面只有一种证明也较容易一般地,对“至多”“至少”的问题常从反面考虑即用反证法来证明.证明证法;殷设三式均大于十.即（l题）b）
17、c,陵）十.闪为0l.所以1咖00bl,从厕lb（l凰）b任-即1b1所以b0同理可得C0Cb0由此可得bCC60即00,矛眉所以假设不成立故原命题成立证法二;殷设二式均人于,则（l凰）b（b）,（1c）将二式相乘得（1凰）b（l）（）“六o又因为-l;（l凰）（l）闽,同理可得（lbM,（）。故有俞（l感）感（1b）b（1幢）,o显然o矛盾.所以假设不成立故原命题成立.陪.割阀】若方程cos206sin02（）当0巨时有解求实数的取值范围解题策赂:将原方程变形为2sin2-6sin010设tsin0则得关于r的二次方程2!:6!醚十l-0ee,l,再途行讨论可求晌廖值范闺健显得烦琐著溺个寞,
18、和用sin0表示可轻松求解,比谓正难则反,逆向考虑反客为主.84第四聋貉化与化归的思慈解;凰-cos206sn,2:sin0 6sm0-2（sm;）!当0巨陪.割时衡爵M巨居,于是:（爵M:）,十,;.即“巨3,;故方程育解实数的取值范阔斗,;陋引个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球已知袋中共有1（）个球从中任意摸出1个O勺球得到黑球的概率是亏;从中任意摸出2个球.至少得到l个白球的概率是;求;（1）从中任意摸出2个球得到的都是黑球的概率;（2）袋中白球的个数.解题策略:含有“至少”“至多”型的概率问题可以考虑用对立事件的概率求解.O解;（1）由题意知,袋中黑球的个数为10.C!2记“从袋中任
19、意摸出2个球,得到的都是黑球”为事件A,则P（A）丽厉（2）记“从袋中任意摸出2个球,至少得1个白球”为事件B.设袋中白球的个数为墅则P（B）-lP（B）-l守-;解得砸-5（舍去-侧即袋中有5个白球.厕试求实数陀的取值范围,使抛物线yx2的所有弦都不能被直线y龙（Z3）垂直平分解题策略:本题若直接从正面解决则条件“不能被直线垂直乎分”较难用式子表示正难则反若我们先从问题的反面入子,化“不能”为“能则可快速求解,这也是补集思想的解题策咯必须注意的是中点P应落在r2的区域内或弦的两个端点存在,也即弦所在直线方程与抛物线方程联立有两个相异的根.解:解法:设抛物线y工2上两点A（工l,工）、B（工2
20、工;）关于直线y诧（工3）对称,AB的中点为P（0）则慰-蕊宁,卫乖宁;.由题设知!-1工lZ2万所以墅芋:赤,且AB的中点P（）在育线y腮（甄3）上.所以午;（堑乒.3）-罕,因此中点P（壶午）由于点P在y露的区域内.所以罕（赤）整鳃得（鳞l）（雕蛾）0解懈陶因此当腮时抛物线塑上存在两点关于直线测瘦蜒3）对称所以当您时抛物线删-墅:上不存在两点关于直线酬您（墅:）对称85曹正妥高中魁檬解题方膝公故实数的取值范圈为侣）解法二:设抛物线上的两点（工l,工）,（工2,工;）关于直线y虎（工3）对称,依题意知:平-晦（平3）,卜出遗-肉（延了:6由此可得醚:工哉雕l-1工;Z;1rl工2万（ZlZ2
21、万于是由-（）s（雕l）0,得隐,此寸抛物线上存在两点关于直线驯催（墅3）对称.从而所石弦不能被直线垂直平分的的取恼范圈足恰）第四节分解与组合（整体与局部）的转化（r1）2sin1阀设函数（死）的最大值为M最小值为,则Mmrz1解题策略:将原函数适当整理写成两个函数的和利用函数的奇偶性,达到“化繁为简”的功效.解;将原函数化简孵）（墅）l2舜手设g（工）-2舞半.易知g（涎）是奇馏数由奇函数的图像的对称性知g（工）g（工）min0所以Mg（Z）1maxg（工）1min2g（工）maxg（工）mn2.所以M2.顾在AE中o为坐标原嘶.A（）,B（sM,D,e,昔则皿B面积的最大值为此时0的值为解
22、题策略:确定最值首先考虑构造函数但直接构造面积关于角0的函数过程相当烦琐合理转化是一种理性思维意识研究两动点的变化规律,“动中求“定”将任意三角形的面积问题转化为直角三角形的面积问题,即运用割补的方法求解.解:如图41所示在直角坐标系中F（0,1）E（10）,G（l1）,点A在线段EG上运动点B在线段FG上运动,由于OEGF为单位正方形而其中三个小直角三角形面积易求得,故SAoBS正方形oEcFSA亚S玫SABG-lc。ssn1cs）.（lsm0）11百百副n憾s0-sin2,VABGFOEx图4-186。第四景膳化与化橱跪思想故面积的鼓大值为此时00或00COS0101sin0瓤哨 丫（1二
23、21当然,本例用行列式解极容易,S百隐in）-sjn20.以下同上述解法第五节多元与一元的转化围范值取的臼）工求中且）工矢已解题策赂;在一个数学问题中有多个字母或未知数会给解题带来困难,解决问题的方法是想办法消去过多的字母从而使问题变得简单.本例可采用三角换元的方法使多元化为一元（一个角）,则解之就不困难了.解因为雾恋:-（r）删l,故可设y万副 百2y则r兰slncos,3i沪-耐十方爵m:。十m瞥六爵愈n曾六幢-孪m（2叶）匡尸竿网设z、yeR且aZ22y26工求z:y:的取值范围.司响。也可以转化为二次函数求值域不管解题策略:本例可用上是哪一种方法多元变一元解:解法:由6Z3r22变一元
24、解法:由0rar22y例类似的解法即三角换元法的解题途径是一致的.20得0r2,设内Z2y2则y2卢工2代人已知等式得堑6狱十2隐-0即隐-狱3狱其对称轴为鞭1-3由0工2结合函数的单调性得ke04所以工2y2的取值范围是04解法二;由潍筐十2y虹得3l）2狐霍-3,即（甄）筐普12工lcos0设则寻h1剧.巨.:露（87曹正妥高中魁管解题方膛公则r:-2c。爵0c。s:0;:c。s:0c。s绷2c。s0;（cos02）9厂百.因为cos0任11,所以当cos01时（工2y2）m愚x4;当cos01时（工y2）mm0所以jr2y2的取值范围是04.第六节静止与运动（.常量与变量）的转化例1设函
25、数（r）是定义在（,）上的增函数.（1）若不等式（1工工2）（2）对于任意e0,1恒成立求实数工的取值范围;（2）若不等式（1工工2）（2）对于任意工巨01恒成立求实数的取值范围解题策略:本例两小题所给的不等式是一样的首先可利用函数的单调性把函数值的相对大小转化为自变量的相对大小接下来就是Z和这两个字母中究竟谁是“主元”这很重妥.第（1）问把作为主元（变量）、工作为常量这种“反客为主,的解法体现了化归的数学思想降低了计算的烦琐和难度也说明了变量与常量的对立统一的辩证关系.应当指出若以工为变量为参数则必定要分类讨论.相比之下谁优谁劣一清二楚.第（2）问可以工为变量把不等式恒成立问题转化为函数的最
26、值解决分类讨论也是必需的.芳用分离常数法（即参变分离）则避开了分类讨论解题过程较为简洁.解:（1）解法:因为（r）是增函数所以（1r工2）（2）对于任意e（）1恒成立白1工工22,即工2工10对于任意e01恒成立令g（）（工l）r21,当工1时,不等式恒成立;当工1时,不等式恒成立;当工1时只需g（）（工1）工21的最小值g（1）0即工2工0即工1或工0故工1或0工l.综上所述工1或工0即工（1）O（0）解法二:由解法得g（）（工1）工21,e0,1,g（）为关于的次函数,在!上是一.由i二i刺得霍筐（l）0雷（2）解法:因为（r）是增函数所以（1工工2）（2）对于任意工e0,1恒成立1工工2
27、2对于任意工01恒成立工2工10对于任意工e01恒成立令（r）工2工1工巨0,1（0）,0,所以原问题白h（硒）咖0.且h（蟹）吨h（;）.20（l（1）,2,。88第四苹貉化与化恫伪思想1,0,即h（堑）恤-l.20.2,2.由h（工）mm0得1,即e（,1）.解法二:因为（工）是增函数所以（1r工2）（2）对于任意Ze0,1恒成立钨1工工22对于任意工e01恒成立,即工2工10对于任意工巨0,1恒成立.当工1时不等式工2工10对eR恒成立.当0工1时不等式可以变形为里11工1,设h（工）匹11（工1）22（Z1）2-l汁古虱工1工1设t1r0t1,函数可以变形为yt旦2（0t1）.t由函数
28、yt旦2在0t1时单调递减,知ymm1221,故lr综上（1）.过圆工22厂2内部点M（,6）作动弦AB过A、B分别作圆的切线设两条切线的交点为P.求证;点P恒在条定直线上运动.腕2解题策赂:常量与变量、运动与静止的角色是相对的.同一对象根据需要,于其中随时灵活选择和变换其角色常得妙解本例极具典型性.证明:设A（工l yl）、B（工2y2）、P（工0y0）不妨将A、B、P都视为定点（视动为静）先求直线AB的方程切线PA的方程为工l工yly厂2,切线PB的方程为工2Zy2y厂2.因为P在切线上,所以工l工0ly0厂2 工2工0y2y0厂2这表明点A、B都在直线工0Z0y厂2上故直线AB的方程为工
29、0工y0y厂2.又因为点M在直线AB上所以工0y0b厂2.任意P（工0J0）都满足上式,故动点P必在定直线工6y厂2上（换静为动）.如图2所示,点P在椭圆羔斋1上移动.点Q在以点M（l,0）蛔心,半径为竿的厕上膨动当点P位于点P,点Q位于点Q时,P、Q两点距离最近记最近距离为创,求创及P、Q的坐标.yT陋图4-2解题策略:由于P、Q都是运动的点,位置的变动使问题变得抽象化、复杂化若能以静制动不妨先固定点P,把问题转化为在已知圆上找一点Q使PQ最短这时PQ必过圆心M问题即可转化为求PM的最小值至此不难求解（以静制动）.89玄正妥葛中魁誉解题方怯令解:设P（工y）是椭圆上任意点则当P、Q、M三点共
30、线,且Q介于P、M之间时点P到圆上的点Q的距离最短此时PQPM竿o即PQ-（测D川:竿-六恋:2鞭竿.记（延）-券:恋l7（翻等）芋,因为5堑5所以当赃-等时,（工）省最小畔.此FQ獭厂尸Q-竿竿-竿,即铡-半易知P（等,罕）且Q恰为尸M中点故Q（号,北罕）第七节新买识句日失识的转化圃】（1）设A、B是两个非空集合,定义AB（工xeAOB且工任AB,已知A（yy4Z工2）B（yy2堑工0）,求AB.（2）对任意实数,b,定义运算辩如下;哩b-“.b求函数（z）-2鬃o肆（2（b,b.工）的值域.解题策赂:本例属于定义了一种新的运算的问题新运算的定义,使得问题处在一个新的背景之下,解决这类新知识
31、题的关键是理解新运算定义的内涵,然后运用等价转化的思想方法,将新知识问题转化为熟悉的日知识问题加以解决.解:（1）由题意得A（yy（工2）24y0y202,B（1）AOB0,）,AB（12所以AB0,1（2,）.（2）由题意可知（工）2堑兴log2（2工）min2堑log2（2工）.即当工2时取2工与log2（2工）中的较小者.）逐j芦）,0易得（工）的值域为（1顾对于定义域为D的函数（工）如果存在区间m二D伺时满足下列条件;o（工）在m,内是单调的;当定义域是!,时（工）的值域也是m则称加是该函数的“和谐区间,.（1）判断函数y3全是否存在“和谐区间,并说明理由;r（2）如果加是函数y（2）
32、Z-1（0）的个“和谐区间,求m的最大值;2工90第四聋貉化与化恫伪思忽（3）有些函数有无数个“和谐区间”如y工请你再举例（无须证明）解题策赂:本题给出了一个新的数学概念:函数的“和谐区间实际上就是定义域与值域相同的区间结合函数的性质转化为方程问题运用方程理论求解.所谓新概念是为问题创设一种新的情况把新的情境熟悉化就找到了解题的突破口这就是饮水思源,“化新为日”的解题策略.设枷测是函数,3斗的和谐囚可则剿-:在上单调所以.（,0）或恤,测（0,卜）因l比,删3仆咖,上为增函数解:（1）则（）（!）即方程3全工有两个解加.工又因为3止工可化为工23工4（）而工23工40无实数解工所以函数y3止不
33、存在“和谐区间”.工因为（x）（2）工11l在?l上单调的2工2工所以加,二（0）或网二（0。）则（）!（）.所以m!是方程112工Z的两个同号的实数根.即方程:工（）xl0有两个同号的实数根注意到!尖（）.只要（2）2420解得1或3.（2）日丁所以-（咖）瞥4卿-（芳侧）:去-:l-司箕中l或q:.所以嘶醚-时,取最大值孪（3）本题答案不唯如可写出以下函数;凰涎（避为常数）.到（隐0为常数）屠丁:（鞭:）酗幽（塑）:（0上入第八节命题之阎的转化已知正项数列（满足:l2l厕0（eN）.（1）判断是否为等比数列并说明理由;（2）求证:S2l91曹正妥葛中噬檬解题方腋令解题策赂:将数列）设为等比
34、数列同时也是把原来的问题转化成了一个条件.利用这个新条件再把题中关于与1的等式转化为关于、十l和q的关系式迸而做出判断 而在证明不等式S21的过程中把条件等式:l2l厕0变形为l2l:0得不等式叫求s.并通过放缩法捶之解:（1）假设数列）为等比数列公比为q则;q22q10,o同理得爵lq22q10.由o比较得厕l.所以q1代人得鼎10,矛盾故（不可能为等比数列.（2）因为硼2腮:0.所以腮侧慰 令2,3则凰:凰:炭凰,.卿声.11F于是s腮-毗腮（步六）凰!l-勤（1;）酗!1百已知数列）各项为正数,且满足-l,计-搁（4腿）（后N,）求数列）的通陋项公式解题策赂:非等差数列、非等比数列的问题
35、常通过构造辅助数列转化为等差数列或等比数列求解.构造法使转化与化归的数学思想显得更力口丰富多彩.瞬将-慰（.）等价变形为2（2凰融）:0,同理呵得2“0令么-2.则囱叶-蹦,两边取对数得lgb厕l2lg6lg2变形为lg6llg22（lg6阀lg2）且lgbllg2lg20所以数列lgblg2是以lg2为首项2为公比的等比数列.所以lgb（lg2）2厕llg2（lg2）（12 l）lg2l2测l所以b2l2l即22l2厕l,所以厕2212厕l.哑如图43所示已知正方形ABCD的边长为1点p、Q分别在BC、CD上,CPQ的周长为2.（1）求PQ的最小值;QDCP4B图4-3（2）试探究PAQ是否
36、为定值,若是定值,请给出证明;若不是定值请说出理由.92第四章貉化与化归的思想解题策赂:第（1）问,可通过引入丝cPQ0为参数,将PQ转化为含0的函数求三角函数的最值;第（2）问,可通过引入参数,将探究PAQ的定值问题转化为探究tan（）为定值的问题并由此强化构造直角三角形解题的意识当然探求的过程可以不相同但只要思维是合理的应在理性分析的基础上选择运用.如这一小题设DQ工BP由条件易得工1刃y可以借助余弦定理或通过建立直角坐标系运用丽、百的数量积公式求角但运算量均较大这样的思考对于本题而言,合理性不够一般而言“坐标法”是应坚持的解题的重妥方法,但应克服“习惯性”偏爱“坐标法”解题的习惯寻找更为
37、巧妙的解题途径.解;（1）设CPQ0则0e（0,号）,CP-PQcos0,CQ-PQ副n依题意,CPQ的周长为2CPPQCQPQ（1sin0cos0）于l鼠m;叶阀瓢:（f）圃为,詹（0.昔）,所以当0-时,PQ取最小俏PQ-亡22此时CPCQ2Z解法:设DQrBP,依题意（1工）（1y）（1r）2（1y）22.（2）即（1）2（ly）2工y,亦即 1I?工V曰Iy）勺（设DAQ么BAP则tan工tany.又囚为tan（）芒当-1,且0罗所以-,故么PAQ昔寸壬（定间解法二:同解法得工J1Zy.易得tanDAPtan（苛PAB）-C。tPAB上或者作E上八D,垂足为E（如图 4）,则an丝DA
38、P-器-一互一gCD口畔贴B上tanDAQry么4B墨4-41V93【几豫正兴葛中魁眷解题方膛令昌-l.由uP乙（0）得皿P二-即二MQ-矛（定回给定椭圆c;嘉蒂-l“0）,称圆心在原点o半径为丽干歹的圆是鹏圆C的“准圆”,若椭圆C的个焦点为F（百0）,其短轴上个端点到F的距离为百.（1）求椭圆C的方程和其“准圆方程;（2）设点P是椭圆C的“准圆”上个动点,过动点P作直线l 2,使得l 2与椭圆C都只有个公共点,试判断直线l,2是否垂直并说明理由.例4解题策赂:本题是一道常规解析几何的翻新题即给出了椭圆的“准圆的概念形式新颖、立意高远其涉及知识仍是直线与圆锥曲线位置关系这一老生常谈的旧问题l与
39、2是否垂直的问题即探究是否能得到kl虎21,利用二次方程及韦达定理也是常用的解题方法当然1、2中有一条斜率不存在时也要讨论.（）由条件知百“百从而bl.所以椭圆C的方程为等,其惟圆,方程为工2y24（2）o当l、2中一条斜率不存在时不妨设直线l的斜率不存在.因为l与椭圆只有个公共点则其方程为工百.当l的方程为工佰时此时l与“准圆”交于点（侗1）,（百1）.此时经过点（佰,1）或（百1）且与椭圆只有个公共点的直线是y1（或y1）即2的方程为y1（或y1）显然l上2.同理可得l的方程为工百时,亦有上2.当l、2的斜率都存在时设P（工0y0）,其中工;y;4.设经过点P（r0y0）且与椭圆C只有个公
40、共点的直线为y虎（r工0）y0即y虹（y0虹0）.题消去y得（13龙2）工26诧（y0hr0）工3（y0Ar0）230.由0得（3工;）虎22工0y0A1y;0,且工;y;4.所以（3刃;）陀22Z0y0此gr;30.设l、2的斜率分别为炎l、炎2因为l、2与椭圆只有个公共点所以龙l、虎2满足方程（3工;）卢22r0y0此工;30则虎l陀21即l上I2.综上直线l上2.解:（1）第九节数与形的转化将函数y二工22r3习（工巨02）的图像绕坐标原点逆时针旋转0（0为锐角）若所得的曲线仍是个函数的图像则0的最大值是o94第四聋貉化与化恫的思想解题策略:将函数r22工3百（工任02）的图像绕原点逆时
41、针旋转0后所得曲线仍是一个函数的图像,即旋转后曲线对应的解析式必须符合函数的定义即函数定义域与值域之间的对应关系必须满足一对一或多对一,绝对不能出现一对多.解:函数y工2z二3百（r后02）等价变形可得（工1）2（y百）24其中工巨02,y02百其函数的图像是以（1百）为圆心半径为2的一段圆弧由题意知,当旋转角最大时所得的圆弧应与y轴相切,不妨将原函数图像固定,将y轴绕坐标原点顺厂时针方向旋转使其与圆弧相切此时切点为（00）切线方程为y-等堑由此知最大的旋转角0为囤如图45所示在直角坐标系工Q中的顶点是原点始边小B与工轴正半轴重合终边交单位圆于点A.且e（,）,将的终边按逆时针方向旋转.交单位
42、圆于点B.记A（烫!.删）、B（工2,y2）.（l）若工,求鞭;图4-5（2）分别过A、B作工轴的垂线,垂足依次是C、I）记A（汇的面积为Sl BOD的面积为S2,若Sl2S2,求的值.解题策略:本例的解答过程中必须紧紧扣住图形来分析可以使解题过程顺畅解;（l）由三角比的定义.得mcocos（苛）闪为倒巨（,）-,所以-l-平厅所以趣-c爵（卜;）-等爵m1266。（2）依题意得儿s!n.业sn（）11所以S百百cossn了sm2-Sr 陋-计幢鼠（醚）卜m（侧）十h（2等）依题意得爵in2-2副n（2“等）整理得cos2倒-.95曹正普高中毅檬解题方怯令P小因为;,所以晋2旅.所以2-.即矛
43、如图46所示M（-2,0）和N（2,0）是平面上的两点,动点P满足PMPM6.（1）求点P的轨迹方程;陋M20）OM2,0）x置46（2）若PM.PM-I二嚼爵iMPN求点P的坐标解题策略:解析几何问题的解答通常妥画出图形根据图形特征采用数形结合的方法实现问题的转化所以通过挖掘已知条件的内涵发现式子的几何意义利用几何图形的直观性解决问题是一种重妥的解题策略.解:（1）由椭圆的定义点P的轨迹是以M、N为焦点6为长轴长的椭圆,则C23所以b伍了佰故椭圆的方程为等-Llc岭iMPN得PM（2）由PM PNPNcosMPNPM PN2.因为cosMPV1P不为椭圆长轴顶点,故P、M、lV构成三角形.如
44、图47所示在PMlV中 M4由余弦定理有MN2PM 2PN 22PM.PNcos么MPN将o代人得42PM 2PlV 22（PMPM2）有（PMPlV）212即PMPM2百.A置472故点P在以M、N为焦点,实轴长为2百的双曲线酗-l上川（l）铡坐赫又萧足普.忻以山方程绸诞二r-平,解褥等即P点坐标为（平夸）（乎,夸）（竿.夸）、（平夸）陋则圈二凿n 抒关于墅的方程广且仅工2.有四个恨.其最大根为,求函数g（O器67的值域。96憋化与化恫的思想第四苹解题策略:本例所给函数（工）的图像是由半圆组成的周期函数图像是由半圆（圆心为（1（）,半径为1）无限延伸组成的,利用数形结合思想,画出函数（r）的
45、图像与直线yAr的图像妥使它们有且仅有四个公共点则需求出诧的最值,并用代数的方程进一步求g（t）的值域.如图48所示画出（工）的图像由系列半圆组成的周期图像.当直线y户工与第2个半圆（工3）2y21（y0）相切时小解l“尸川斗句仓口二徊陀得砰龙山由图4-8（工3）2y21（yl）此呻罕得墅-:.扣当直线-触与第个半圆（涎）,十-l（!）相切删.川万兰亏-（工3）2y21（0）假得此耐巾倡得磁-72丢仍或翻-72胖由题意得!e（:72紫;）.又因为g（r）-费（脓器）!器,故当罢时.取g（旷）懒顺-器当72尝仍时取腐（）镭所以所求函数g）的值域是偿,l）第十节高维句低维的转化陋（1）如图49所示
46、长方形的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm,只蚂蚁从A到Cl沿着表面爬行的最短距离是多少?ODCl】ABlCBA4B图49图410（2）如图41（）所示圆台的上底面半径为2cm下底面半径为4cm母线长为6cm,求97-D夕矿正碟高中翘眷解题方触令塔轴截面相对顶点A、C在圆台侧面上的最短距离解题策赂:不论是多面体还是旋转体,从表面走的最短距离是总是设法把空间图形展开成乎面图形（由三维向二维转化）,多面体是把不同的面“打开”成同一乎面旋转体通常把侧面展开.第（1）问根据点A、C1的位置可以有三种不同的展升方式逐一求解比较寻求最短距离总之解题首先要理解题意考虑问题要全面.第（2）问空间图形乎面图
47、形即展开圆台侧面A、C两点所成的线段长即为所求的最短距离.解:（1）长方形ABCDAlBlClDl的表面按图411所示三种方法展开后,A、Cl两点间的距离分别为（34）2527I（53）2424百,（54）2323T6三者比较得7I是从点A沿表面到Cl的最短距离所以最短距离是cm.（D）（Cl）刃DlDlClClAl（Cl）Al司CdlcP）歹（B）B（B）A4B4B图411（2）如图412所示是沿母线AD剪开将圆台侧面展开所得展开图问题转化为求展开图中线段AC的长.设圆台的上底面、下底面半径分别为厂l、厂2因为侧面展开图圆O夕D、（D）C（A）4B心角-罕.沁0.早.2丽-粤,且E、C分别为
48、所在图4-12弧的中点所以在等腰三角形AOB中么AOB等得AOBO是等边三角形因为玩-OC.-2m所以OC-6,而BC-6C为OB的中点,所以AC65,即A、C两点在圆台侧面上的最短距离为6习cm.曲线Cl是以原点O为中心,Fl、F2为焦点的椭圆的部分;曲线C2是以O为顶点,F2为焦点的抛物线的部分,设八是曲线C!和C的交点,若F-!,AF:-（1）求曲线Cl和C2的方程;（2）过F2作条与工轴不垂直的直线分别与曲线Cl、C2依次相交于B、C、D、E四点,若G为CD巾点,H为EE中点则器:踪是否为定值?若是求出定值;若不是,说明理由.陋98vB第四素貉化与化徊的思想解题策略:在一个数学问题中,
49、多个字母或未知数会给解题带来困难上例把空间图形问题转化为乎面图形即三维问题转化为二维问题求解而本题中涉及乎面上众多的两点间的距离且器;髓嫡颇复杂得铡代数化简,作若遥阔把二元化为一元使问题变得简单而题中直线过Z轴上一定点,相关点向y轴作投影则可减少运算量求之不难.解（）设椭厨方程为景蒜-1（b0）侧2磁-AF AF2 6得3.如图413所示,设A（ry）,Fl（C0）F2（C0）则（涎僧）:-（:）.（甄c）:十驯:-（!）;两式相减得江-;.由抛物线的定义可知AF,塑c:,解得筐-l刃-:或工,-;（舍去）.所以椭圆的方程为普-l抛物线C,的方程为工（2）设B（jrl l）,E（r2y2）,C
50、（工3,y3）D（工4y4）x墨41316ty1y298r2,把直线堑-酗代人普-l碍（9雕:）:l6测触-0则64yly298t2.砸将巫妙代人测雌.糯游物、叫n些!（,叫器!踪阳i 佣;（瞅162t2464（98t2）2t 3.16t244.8r故器:瞄是定值,膛值为3空间有4个球,它们的半径分别为2、2、3、3每个球都与其他3个球外切,另外有1个小球与这4个球外切,求小球的半径陋解题策略:把立体问题化归乎面问题是解决立体几何问题的基本策略.本例是一个颇为复杂的立体问题这里涉及多组三球两两相切三球圆心及切点在同一乎面内所以完全可以化归为乎面问题把三维转换成二维来解决这就是著名数学家波利亚说
51、的“不断地变换你的问题,的策咯“我们必须一再地变换它,重新叙述它直到最后成功地找到某些有用的东西为止”.QQ9誊正兴高中愁管解题方膛公如图414所示,Ol和O2是半径为2的两个小球的球心,O3和O4是半径为3的两个小球的球心O是未知半径小球的球心E和F分别是两个半径为2的小球的切点和两个半径为3的小球的切点.根据对称性,可以断定O是在EF上的.再看图414EFEOOF.解:如图414所示,OOlO4O,O3图4-14图4-15在图414中OlO24,O3O46其余有两个圆心构成的线段长度都为5很容易通过计算求得EF2百.在图415中,设圆（）的半径为R.那么EOO2O2O2E2（2R）222.
52、同理OF（3R）232.所以（3R）:（2R）22侗,解方程得Ri或儡因为球的半径不可能是负值,所以小球的半径只能足各第十一节高次句低次的转化刀汇洞函数（r）的最大值与最小值的乘积等于12.r2cr4解题策赂断由于所给函数是高次的分式函数形式又较复杂只有向低次转化才能求解而三角换元法及三角降次公式有此功效.由于工巨R可今Ztan0则解之不难.解:令工tan0,代人并化简得tan0（1tan20）（蜒）-蹲（）-腰忌骡（l戳n物）（圃n绷）爵in20-十iM,即凰（）-g（0）,故（堑）.（碰）F1陋解关于实数x;的方程jr6堑32（3）工22（34）工220.其中eR.解题策赂:直接解关于工的
53、四次方程,这是相当困难的但转换工与的地位形式把原方程看作关于的二次方程则可得如下简捷的解法.解:原方程可变为关于的二次方程22（Z23工1）工46Z36工28工0方程左边利用十字相乘法分解得（工22工2）（-工24工）0.。100第四素籍化与化橱伪思慈从而转化为两个关于工的二次方程工22工20工24工（）.解上述两个方程得当3时原方程有四个实根,工l,22干I,工341百干可.当43时原方程有两个实根工5,62干I.当4时原方程无实根厘设龙9解关于工的方程r32hr2克:z9诧270.解题策赂:由于原方程是关于工的三次方程无法直接求解.但是注意到参数呢的最高次幂是2而且题中给定了内的范围进行参
54、数与自变量的形式转变将原方程看成是关于虎的二次方程（印高次向低次转化）,就可得到r与虎之间的数学关系再利用给定的龙的范围来求出工即原方程的解.解:工32hr2龙2工9虎27工虎2（2工29）陀工3270将其看成关于虎的二次方程,则l（2工29）24Z（r327）9（2工3）2.工23工9所以工3内或工2（k3）工90.所以龙工3或陀r对于方程工2（陀3）r90,其2（龙3）249（虎9）（肉3）.3虎虎26虎273陀炎26虎27因为龙9所以0所以工l-3克Z2,Z322第十二节知识极块之闸的转化与化归匝设盲1、亏:为单位问量非零向量j运1泥:（工、eR）若亏!、彦:的夹角为粤则旦的ob最大值等
55、于解题策赂:把向量问题通过向量的运算及变形转化为求函数的最值.解;由j塑彦!亚.则j-（堑亏泥:）Z:M2s塑舅则2百烫y,而（骨）;蒜训n伍,（）:凋（）（窖）士工11因此旦的最大值是ab顾在平面上丽了上I瓦面-丽1.丽硒硕若而,则顶的取值范围是（）.（.夸（夸.夸（窖旬n（客,101净正兴高中魁誉解题方臆公解题策略:本例以向量知识的运用为主要考查对象难点在于如何把各条件沟通起来需妥较强的转化问题的能力以及计算能力.坐标法也将起到重要作用.解:根据条件知A、B!、P、B2构成个矩形ABlPB2以ABl、AB2所-在直线为坐标轴建立直角坐标系（如图416）,设ABl AB2b点O的坐标为（工,
56、y）,则点P的坐标为（6）.（工）2y21,（工）21y29-由oB!OB 1得扩Ob）l,Ob）l堑q所以而（堑凰）（聊b）:.PB,ABlx所以l虹婴l:,即r婴沪o圈4l6（矿）粤十Ml.）l:0Ml:j:z又（r:（b）:l,（b）:1工:工:1山蛔知鞍删2则丽坠疟（客.叶敬选陋设椭圆方程为到;子-l.过点M（0.D的育线交椭圆于点A阀,o为坐标原点.点满足而-（丽丽）点N的坐标为（,l）,当!绕点M旋转寸,求;（1）动点P的轨迹方程;-（2）lVP的最小值与最大值解题策略:第（1）问通常有两种解题途径:一是通过联立方程组消元后运用韦达定理、中点坐标公式消参求解;二是巧用“点差法,.第
57、（2）问.把求丽的最值问题转化为二次函数在限定区间上的最值问题.解:（1）解法:当直线的斜率存在时可设直线的方程为y虹1.剿卑l2的解.记A（工l yl）、B（工2 y2）由题设可得点将其化简得（4诧2）工22Ar30.2虎工l丁工24诧2,断以爬8于是而-（丽而）（平.y宁）（吞.点）.虎rI干F设点P的坐标为（川六.。1（）2第四素貉化与化桐的思想消去参数此得4工2y2J0.o当虎不存在时,A、B中点为坐标原点（0,0）,也满足方程,所以点P的轨迹方程为4r2y2y0.解法二:设点P的坐标为（工,y）,因A（工l yl）、B（工2y2）在椭圆上所以r-1.堑汁￥-l,ooo得端雾;寸（删;
58、!）所以（鞭鞭:）（涎沁）（1）（沁）当延延!时.有虹涎:十十（刨:）.:-肌o工l工2工2,并助y宁.oy1ly2（工工1工2将代人并整理得4工2y2y0.当工l工2时点A、B的坐标为（0,2）、（0,2）,这时点p的坐标为（00）也满足O所以点P的轨迹方程为4工2y2y0.巾点P的轨迹方程知六,即十鞭l.丽,-（鞭）（聊）-（鞍）寸位:-3（鞭;）i所以当工-士时 丽取得最小值,最小伯为,当寥-;时,丽取得最大值,最大慎为竿已知平面上定点C（20）和直线:工8,p为该平面上动点作PQ上垂足为Q（2）隆纠（1）求动点P的轨迹方程;（2）若EF为圆N:工2（y1）21的任条直径,求丙丙的最大值
59、和最小值.解题策赂:本例是乎面向量与解析几何的综合问题涉及向量数量积的基本运算以及轨迹、直线和圆、直线与椭圆中的最值问题.难点是向量条件的转化与应用,破解此问题应从向量的坐标运算入手这也是解决解析几何问题的基本方法坐标法.即把向量表示的解析几何问题转化为纯粹的解析几何问题还得先根据乎面向量知识把向量表述的解析几何问题的几何意义弄明白再根据这个几何意义用代数的方法研究解决.103曹正兴高中瓤檬解题方膛令得）蛔死（）蛔死（由解:（1）设P（工y）则Q（8y）而 西 0即（2堑）:（8垄）;0.化简得荒茬1所以点P的轨迹方程为希荒-1-一（2）因为PEPF（NEVP）.（NFlVP）（NFNP）。（
60、NFNP）（NP）2-2-2NFNP1.由于P是椭圆弗盖-1枉点,膛P（垄,驯）则罐苦-l即距;-l6了,4y;且N（0,1）所以丽;（）;2y17（3）:2队因为y0巨2佰2百,所以当y03时丽2取得最大值20-故PEPF的最大值为19;当y02百时丽2取得最小值134佰,故丙.可的最小值为124侗.专题练四:转化与化归的思想填空题l瞬数广（墅）-鹊（堑巨巳,l）的值域为2巳知圈数（甄）-瓣堑 若（l。g六）2则实数枷的取值范围是3.已知直线y工3与圆工2y22工80相交于A、B两点,点P（工0,y0）在直线y2工上且PAPB则工0的取值范围是4在平面直角坐标系墅oN中投P（蛮测）足椭圆十y
61、遭止的个动点则塑y的最大值是.已知位-憋粤）（r）.的展开式中没有常数项eN且2在数列）中l12厕3则设工、y为实数若工2y2工y1,则2Zy的最大值是如图所示在直三棱柱ABCAlBlC1中底面为直角三角形,ACB90AC6BC（l】,P是BCl上动点则CPPAl的最小值是的展开式中没有常数项eN且28则5了4CBPAlCBl第8题图104第四聋籍化与化归伪思想9.若不等式工2户工4工户3对切0户4均成立,则实数工的取值范围是设圈数f（l.对任层）,f（萧）4咖（壁）f（涎l）4（咖）恒成立,则实数的取值范围是lL若函数（z）cos2堑爵m堑在区间（;,昔）是减函数.则的取值范围是卜等由9个互
62、不相等的正数组成的矩阵2l2223313233三个数之和成等比数列则下列三个判断中正确的个数是12.o第2列l2,2223必成等比数列;lj322l23;o若9个数之和等于9则221.二选择题13.设F为抛物线C:y23工的焦点过F且倾斜角为30的直线交C于A、B两点,O为坐标原点则OAB的面积为（）.乎乎o器n14.已知函数（jr）2mJr22（4加）工1,g（工）mjr若对于任实数工,（工）与g（工）的值至少有个为正数,则实数加的取值范围是（）.A.（0,2）B.（0,8）C.（2,8）D.（,0）15过点A（112）作圆工222工4y164的弦其中弦长为整数的共有（）.A.16条B.17
63、条C.32条D.34条16.若1】i是关于工的实系数方程工2b工C0的一个复数根则（）.A。b2,C3Bb2C1C.b2,c1Db2,C317.已知顶、6不共线,了顾j（虎R）,jrj如果了那么（）.A.虎1且了与j同向B.卢1且百与j反向C.虎1且了与创同向D此1且了与j反向鼠已知函数（鞭）sm（四矿）（堑eR.p）的最小正周期为顶.为了得到函数g（蛮）-CoS工的图像只要将y（工）的图像（）.A向左平移昔个单位长度n向右平移昔个单位长度Q向左平移矛个单位长度D向右平移壬个单位长度o105玄正妥高中魁檬解题方膛介三解答题19.设二次函数（r）工2hrC（6C）已知（1）0,且存在实数使（门）.（1）试推断（Z）在区间0）上是否为单调函数并说明你的理由;（2）设g（Z）（工）hr对于工l、工2eR,且工l工2,若g（rl）g（jr2）求工1工2 的取值范围;（3）求证:（川3）0.如图所示,已知P（40）是圆工2y23690,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程内的点,A、B是圆上两动点且满足APB20yA1j第20题图106
