1、第3讲 函数与方程、函数的应用 第3讲 函数与方程、函数 的应用 主干知识整合第3讲 主干知识整合 1函数的零点方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标所以，方程 f(x)0 有实数根函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有零点2二分法用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：确定区间a，b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度；第二步：求区间a，b的中点 c；第3讲 主干知识整合 第三步：计算 f(c)：(1)若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；(2)若 f(
2、a)f(c)0，则令 bc(此时零点 x0(a，c)；(3)若 f(c)f(b)0，则令 ac(此时零点 x0(c，b)；(4)判断是否达到精确度：即若|ab|1.设函数 f(x)(x22)(xx2)，xR，若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是()A(，21，32B(，21，34C.1，14 14，D.1，34 14，(2)2011山东卷 已知函数 f(x)logaxxb(a0，且 a1)当 2a3b4 时，函数 f(x)的零点 x0(n，n1)，nN*，则 n_.第3讲 要点热点探究(1)B(2)2【解析】(1)f(x)x22，x22xx2 1，xx
3、2，x22xx2 1x22，1x32，xx2，x32，则 f(x)的图象如图yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，yf(x)与 yc 的图象恰有两个公共点，由图象知 c2，或1c34.第3讲 要点热点探究(2)本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用因为 2a3，所以loga21logaaloga3，因为 3b1loga2，b31loga3，所以 f(2)f(3)(loga22b)(loga33b)0)，又 f(x)在 x2 处的切线方程为 yxb，所以2aln22b，2a21，解得 a2，b2ln2.(2)当 a0 时，f(x)在定义域(0，)上恒大于 0，此时方程无解当 a0
4、在(0，)上恒成立，所以 f(x)在定义域(0，)上为增函数第3讲 要点热点探究 因为 f(1)120，fe1a 12e2a10 时，f(x)xaxx2axx ax ax，因为当 x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)内为增函数所以当 x a时，有极小值，即最小值 f(a)12aaln a12a(1lna)，当 a(0，e)时，f(a)12a(1lna)0，此方程无解；当 ae 时，f(a)12a(1lna)0.此方程有唯一解 x a，当 a(e，)时，f(a)12a(1lna)0 且 11 时，(xlnx)0，所以 xlnx1，所以 xlnx，f(x)12x2alnx12x2ax.因
5、为 2a a1，所以 f(2a)12(2a)22a20，所以方程 f(x)0 在区间(a，)上有唯一解所以方程 f(x)0 在区间(0，)上有两解综上所述：当 a0，e)时，方程无解；当 ae 时方程有两解【点评】含有参数的方程根的个数问题，需要重点研究三个方面的问题：一是函数的单调性；二是函数极值点的值的正负；三是区间端点的值的正负第3讲 要点热点探究 探究点二 二分法求方程的近似解例 2 用二分法求方程 lnx1x在1,2上的近似解，取中点 c1.5，则下一个有根区间是_【点评】用二分法求方程近似解时，每一次取中点后，下一个有根区间的判断原则是：若中点函数值为零，则这个中点就是方程的解，若
6、中点函数值不等于零，则下一个有根区间是和这个中点函数值异号的区间在用二分法求方程的近似解时，有时需要根据精确度确定近似解，如下面的变式【分析】只要计算三个点 x1,1.5,2 的函数值，然后根据函数零点的存在定理进行判断即可1.5,2【解析】令 f(x)lnx1x，f(1)1ln10，f(1.5)ln1.52313(ln1.532)；因为 1.533.375，e241.53，故 f(1.5)13(ln1.532)13(lne22)0，f(1.5)f(2)0，所以下一个有根区间是1.5,2第3讲 要点热点探究 若函数 f(x)x3x22x2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下
7、：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260 f(1.4375)0.162f(1.40625)0.054那么方程 x3x22x20 的一个近似根(精确到 0.1)为()A1.2 B1.3C1.4 D1.5C【解析】由于 f(1.40625)0.0540，精确到 0.1，所以函数的正数零点为 x1.406251.4，故选 C.第3讲 要点热点探究 探究点三 函数模型及其应用（含导数解决实际问题）例 3 2011湖南卷 如图 31，长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动，速度为 v(v0)，雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(cR)
8、E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|S 成正比，比例系数为 110；(2)其他面的淋雨量之和，其值为12.记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 d100，面积 S32时，(1)写出 y 的表达式；(2)设 0v10,0c5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 v，使总淋雨量 y 最少图 31第3讲 要点热点探究【解答】(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为 320|vc|12，故y100v 320|vc|12 5v(3|vc|10)(2)由(1)知，当 0vc 时，y5v(3c3v10)53c
9、10v15；当 cv10 时，y5v(3v3c10)3103cv15.故 y53c10v15，0vc，5103cv15，cv10.当 0c103 时，y 是关于 v 的减函数故当 v10 时，ymin203c2.当103 c5 时，在(0，c上，y 是关于 v 的减函数；在(c,10上，y 是关于 v 的增函数故当 vc 时，ymin50c.第3讲 要点热点探究【点评】本题考查函数建模、分段函数模拟的应用解决函数建模问题，首要的问题是弄清楚实际问题的意义，其中变量是什么，求解目标是什么，为了表达求解目标需要解决什么问题，这些问题清楚了就可以把求解目标使用一个变量表达出来在函数模型中，含有绝对值
10、的函数本质上是分段函数，解决分段函数问题时，要先解决函数在各个段上的性质，然后把各段上的性质整合为函数在其整个定义域上的性质第3讲 要点热点探究 例 4 2011山东卷 某企业拟建造如图 32 所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803 立方米，且 l2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c(c3)千元设该容器的建造费用为 y 千元(1)写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的 r.图 32第3讲 要点
11、热点探究【解答】(1)设容器的容积为 V，由题意知 Vr2l43r3，又 V803，故 lV43r3r2803r243r4320r2 r.由于 l2r，因此 0r2.所以建造费用 y2rl34r2c2r4320r2 r 34r2c，因此 y4(c2)r2160r，0r2.第3讲 要点热点探究(2)由(1)得 y8(c2)r160r2 8c2r2r3 20c2，03，所以 c20，当 r3 20c20 时，r320c2.令320c2m，则 m0，所以 y8c2r2(rm)(r2rmm2)当 0m92时，当 rm 时，y0；当 r(0，m)时，y0.所以 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点
12、当 m2 即 3c92时，当 r(0,2时，y0，函数单调递减，所以 r2 是函数 y 的最小值点综上所述，当 392时，建造费用最小时 r320c2.规律技巧提炼第3讲 规律技巧提炼 1根据方程的解和函数零点的关系，可以把方程和函数联系起来，通过函数的零点研究方程根的分布以及采用逐步缩小方程根所在区间的方法求方程的近似解(二分法)，但在实际中我们一般是求方程解的个数、或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围，这时数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都是我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数 f(x)，g(x)，即把方程写成 f(x)g(x)的形式，这时方程根的个数就是
13、两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系第3讲 规律技巧提炼 2二分法求方程的近似解的依据是函数的零点存在定理，当把方程的一个根锁定在区间(a，b)上时，取区间的中点 xab2，则下一个有根的区间就是根据函数的零点存在定理进行判断的，即在 fab2的符号与 f(a)，f(b)的值异号的区间内3函数模型是一种重要的数学模型，解决函数建模的关键是找到一个影响求解目标的变量，使用这个变量把求解目标需要的量表达出来，这样就建立起了函数模型，然后通过研究这个函数的性质(单调性、最值、特殊点的函数值)等，对实际问题作出解释，其中研究函数的性质可以采用导数的方法在解决
14、实际应用问题的函数建模时，要注意根据问题的实际意义确定函数的定义域第3讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：例 1 虽然难度不大，但很容易出错，就是忽视了 x6 也是函数的零点，选此题的目的是考查学习思维的缜密性；例 2 考查综合使用指数函数、对数函数图象分析问题的能力，以及综合使用函数、不等式的知识解决问题的能力；例 3 是建立一个分段函数模型，这是高考中重点考查的一类函数建模，从 2011 年高考情况看，函数的实际应用问题有成为命题热点的趋势，建议在二轮复习中加大函数建模和解模的训练第3讲 教师备用例题 例 1 2011山东卷 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当
15、0 x2 时，f(x)x3x，则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为()A6 B7 C8 D9【解析】B 当 0 x2 时，f(x)x3xx(x21)0，所以当 0 x2 时，f(x)与 x 轴交点的横坐标为 x10，x21.当 2x4 时，0 x22，则 f(x2)(x2)3(x2)，又周期为 2，所以 f(x2)f(x)，所以 f(x)(x2)(x1)(x3)，所以当 2x1，设函数 f(x)axx4 的零点为 m，g(x)logaxx4 的零点为 n，则1m1n的取值范围是()A(1，)B1，)C(4，)D.92，第3讲 教师备用例题【解析】B 如图所示，函数 f
16、(x)axx4 的零点是函数 yax与函数 y4x 图象交点 A 的横坐标，函数 g(x)logaxx4 的零点是函数 ylogax 与函数 y4x 图象交点 B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线 yx 对称，直线 y4x 与直线 yx 垂直，故直线 y4x 与直线 yx 的交点为(2,2)，即是 A，B 的中点，所以 mn4，所以1m1n14(mn)1m1n 142mnnm 1，当且仅当 mn2 时等号成立，此时只要 a 2即可故所求式子的取值范围是1，)第3讲 教师备用例题 例 3 某商场预计 2011 年 1 月份起前 x 个月，顾客对某商品的需求总量 p(x)
17、(单位：件)与 x 的关系近似地满足 p(x)12x(x1)(392x)(xN*，且 x12)该商品第 x 月的进货单价 q(x)(单位：元)与 x 的近似关系是 q(x)1502xxN*，且1x6，185160 x xN*，且7x12.(1)写出 2011 年第 x 月的需求量 f(x)(单位：件)与 x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为 185 元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场 2011 年第几月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？第3讲 教师备用例题【解答】(1)当 x1 时，f(1)p(1)37，当 2x12，且 xN*时，f(x)p(x)p(x1)12
18、x(x1)(392x)12(x1)x(412x)3x240 x.验证 x1 符合，f(x)3x240 x(xN*，且 1x12)(2)该商场预计第 x 月销售该商品的月利润为g(x)3x240 x352xxN*，且1x6，3x240 x160 x xN*，且7x12，即 g(x)6x3185x21400 xxN*，且1x6，480 x6400 xN，且7x12.当 1x6，且 xN*时，g(x)18x2370 x1400，令 g(x)0，解得 x5 或 x1409(舍去)当 1x0，当 5x6 时，g(x)0，当 x5 时，g(x)maxg(5)3125(元)当 7x12，且 xN*时，g(x)480 x6400 是减函数，当 x7 时，g(x)maxg(7)3040(元)综上，商场 2011 年第 5 月份的月利润最大，最大利润为 3125 元
