1、课堂讲练互动课前探究学习32 复数的运算32.1 复数的加法和减法课堂讲练互动课前探究学习【课标要求】1熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则2理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题【核心扫描】1复数加减运算的几何意义(重点)2本节内容与平面向量的联系(难点)课堂讲练互动课前探究学习自学导引1复数加减法的运算法则及加法运算律(1)加减法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，则z1z2，z1z2.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3C，交换律：z1z2.结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)(ac)(bd)i(ac)(bd)iz2z1课堂讲练互动课前
2、探究学习想一想：若复数z1，z2满足z1z20，能否认为z1z2?提示 不能，如2ii0，但2i与i不能比较大小课堂讲练互动课前探究学习2复数加减法的几何意义若复数 z1、z2 对应的向量OZ1，OZ2 不共线，则 z1z2 的几何意义是以OZ1，OZ2 为邻边的平行四边形 OZ1ZZ2 的对角线OZ所在向量复数 z1z2 的几何意义是对应向量Z2Z1.课堂讲练互动课前探究学习如图：设复数 z1，z2 对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，则与 z1z2 对应的向量是OZ，与 z1z2 对应的向量是Z2Z1.课堂讲练互动课前探究学习想一想：从复数减法的几何意义理解：
3、|z1z2|表示什么？提示 表示 Z1 与 Z2 两点间的距离课堂讲练互动课前探究学习名师点睛1理解用向量法确定两个复数的和先画出与这个复数对应的向量OZ1，OZ2.设OZ1 及OZ2 分别与复数 abi，cdi 对应，且OZ1，OZ2 不共线(如右图)，以OZ1 及 OZ2 为两条邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，作 x 轴的垂线 PZ1，QZ2 及 RZ，并且作 Z1SRZ.容易证明 ZZ1SZ2OQ，并且四边形 Z1PRS 是矩形，因此 OROPPROPZ1SOPOQac，课堂讲练互动课前探究学习RZRSSZPZ1QZ2bd.于是，点 Z 的坐标是(ac，bd)，这说明OZ就是复数(ac)
4、(bd)i 对应的向量课堂讲练互动课前探究学习2复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义：如果复数 z1，z2 分别对应复平面内的向量OP1，OP2，那么以 OP1，OP2 为两边作平行四边形 OP1SP2，对角线 OS 表示的向量OS就是 z1z2 的和所对应的向量复数减法的几何意义：两个复数的差 z1z2 与连接这两个向量终点并指向被减向量的向量对应拓展：由复数加减法的几何意义可得如下结论：|z1|z2|z1z2|z1|z2|.课堂讲练互动课前探究学习题型一 复数的加减运算【例 1】(1)z123i，z212i.求 z1z2，z1z2.(2)计算：1312i(2i)4332i.(3)计算：
5、(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0082 009i)(2 0092 010i)思路探索 掌握复数的加减运算法则，正确计算即可课堂讲练互动课前探究学习解(1)z1z223i(12i)15i，z1z223i(12i)3i.(2)1312i(2i)4332i 13243 12132 i1i.(3)法一(12i)(23i)(34i)(45i)(2 0082 009i)(2 0092 010i)(12)(34)(2 0072 008)2 009(23)(45)(2 0082 009)2 010i(1 0042 009)(1 0042 010)i1 0051 006i.课堂讲练互动课前探究学
6、习法二(12i)(23i)1i，(34i)(45i)1i，(2 0072 008i)(2 0082 009i)1i.相加(共有 1 004 个式子)，得原式1 004(1i)(2 0092 010i)(1 0042 009)(1 0042 010)i1 0051 006i.课堂讲练互动课前探究学习规律方法(1)复数加减运算的方法方法一：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减方法二：把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项(2)加法法则的合理性：当b0，d0时，与实数加法法则一致 加法交换律和结合律在复数集中仍成立 符合向量加法的平行四边形法则(3)复数的加减法可以推广到若干个复数，进行
7、连加连减或混合运算课堂讲练互动课前探究学习【变式1】计算：(1)(35i)(34i)；(2)(32i)(45i)；(3)(56i)(22i)(33i)解(1)(35i)(34i)(33)(54)i6i.(2)(32i)(45i)(34)2(5)i77i.(3)(56i)(22i)(33i)(523)6(2)3i11i.课堂讲练互动课前探究学习题型二 复数加减法的几何意义【例 2】已知复平面内平行四边形 ABCD，A 点对应的复数为 2i，向量BA对应的复数为 12i，向量BC对应的复数为 3i，求：(1)点 C，D 对应的复数；(2)平行四边形 ABCD 的面积思路探索课堂讲练互动课前探究学习
8、解(1)向量BA对应的复数为 12i，向量BC对应的复数为 3i，向量AC对应的复数为(3i)(12i)23i.又OC OA AC，点 C 对应的复数为(2i)(23i)42i.AD BC，向量AD 对应的复数为 3i，即AD(3，1)课堂讲练互动课前探究学习设 D(x，y)，则AD(x2，y1)(3，1)，x23，y11，解得x5，y0，点 D 对应的复数为 5.(2)BABC|BA|BC|cos B，cos B BABC|BA|BC|325 10 15 2 210.sin B 75 27 210，S|BA|BC|sin B 5 107 210 7，平行四边形 ABCD 的面积为 7.课堂讲
9、练互动课前探究学习规律方法(1)根据复数的两种几何意义知：复数的加减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算(2)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能课堂讲练互动课前探究学习【变式 2】(1)设OZ1 及OZ2 分别与复数 z153i 及复数 z24i对应，计算 z1z2，并在复平面内作出OZ1 OZ2.(2)设OZ1 及OZ2 分别与复数 z113i 及复数 z22i 对应，计算 z1z2，并在复平面内作出OZ1 OZ2.课堂讲练互动课前探究学习解(1)z1z2(53i)(4i)(54)(31)i12i(如图)(2)z1z2(13i)(2i)(12)(31)i34i.
10、(如图)课堂讲练互动课前探究学习题型三 复数加减法几何意义的综合应用【例3】已知|z1i|1，求|z34i|的最大值和最小值利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题规范解答 法一 设wz34i，zw34i，z1iw45i.又|z1i|1，|w45i|1.(6分)课堂讲练互动课前探究学习可知 w 对应的点的轨迹是以(4,5)为圆心，1 为半径的圆(8 分)如图(1)所示，|w|max 411，|w|min 411.(12 分)课堂讲练互动课前探究学习法二 由条件知复数 z 对应的点的轨迹是以(1,1)为圆心，1 为半径的圆，(4 分)而|z34i|z(34i)|表示复数 z 对应的点到点
11、(3，4)的距离，(8 分)在圆上与(3，4)距离最大的点为 A，距离最小的点为 B，(10 分)如图(2)所示，所以|z34i|max 411，|z34i|min 411.(12 分)课堂讲练互动课前探究学习【题后反思】|z1z2|表示复平面内 z1，z2 对应的两点间的距离利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解课堂讲练互动课前探究学习【变式 3】已知复数 z 满足|z22i|1，求|z32i|的最大值与最小值解 由复数及其模的几何意义知：满足|z22i|1，即|z(22i)|1.复数 z 所对应的点是以 C(2,2)为
12、圆心，r1 为半径的圆而|z32i|z(32i)|的几何意义是：复数 z 对应的点与点A(3,2)的距离由圆的知识可知|z32i|的最小值为|AC|r，最大值为|AC|r.|z32i|min 32222214.|z32i|max 32222216.课堂讲练互动课前探究学习方法技巧 数形结合思想在复数中的应用数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法本章中有关复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法
13、，即通过几何图形来研究代数问题课堂讲练互动课前探究学习【示例】复平面内点 A，B，C 对应的复数分别为 i,1,42i，由ABCD 按逆时针顺序作ABCD，则|BD|等于()A5 B.13C.15D.17思路分析 首先由 A、C 两点坐标求解出 AC 的中点坐标，然后再由点 B 的坐标求解出点 D 的坐标课堂讲练互动课前探究学习解析 如图，设 D(x，y)，F 为ABCD 的对角线的交点，则点 F的坐标为2，32，所以x14，y03，即x3，y3.所以点 D 对应的复数为 z33i，所以BD OD OB 33i123i，所以BD 13.答案 B课堂讲练互动课前探究学习方法点评 解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解
