1、高考资源网（） 您身边的高考专家预习课本P5154，思考并完成下列问题(1)微积分基本定理的内容是什么？(2)被积函数f(x)的原函数是否是唯一的？1微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式为了方便，我们常常把F(b)F(a)记为F(x)，即f(x)dxF(x)F(b)F(a)点睛对微积分基本定理的理解(1)微积分基本定理表明，计算定积分f(x)dx的关键是找到满足F(x)f(x)的函数F(x)，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)(
2、2)牛顿莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数(F(x)叫做f(x)的原函数)的问题，提示了导数和定积分的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法2定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图，则f(x)dxS上(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图，则f(x)dxS下(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图，则f(x)dxS上S下，若S上S下，则f(x)dx0.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)
3、的导数()(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.()(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数()答案：(1)(2)(3)2下列积分值等于1的是()A.xdxB.(x1)dxC.1dx D.dx答案：C3计算：sin xdx()A2 B0C2D1答案：C定积分的求法典例(1)定积分(2xex)dx的值为()Ae2Be1Ce De1(2)f(x)求f(x)dx.解析(1)(2xex)dx(x2ex) (1e)(0e0)e，因此选C.答案：C(2)解：f(x)dxf(x)dxf(x)dx(12x)dxx2dx(xx2)x311
4、(81).1由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x)，再计算定积分，具体步骤如下第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)F(a)2分段函数的定积分的求法(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算 活学活用计算下列定积分：(1)(x32x)dx；(2) (xcos x)dx；(3)dx.解：(1)(x32x)dx.(2) (xcos x)dx
5、 1.(3)f(x).取F(x)ln xln(x1)ln，则F(x)，所以dxdxlnln.定积分的综合应用典例(1)已知x(0,1，f(x)(12x2t)dt，则f(x)的值域是_(2)已知(3ax1)(xb)dx0，a，bR，试求ab的取值范围解析(1)(12x2t)dt(12x)tt2 22x，即f(x)2x2，因为x(0,1，所以f(1)f(x)f(0)，即0f(x)2 ，所以函数f(x)的值域是0,2)答案：0,2)(2)解：(3ax1)(xb)dx3ax2(3ab1)xbdxa(3ab1)b0，即3ab2(ab)10.法一：由于(ab)2a2b22ab4ab，所以24ab，即9(a
6、b)210ab10，得(ab1)(9ab1)0，解得ab或ab1.所以ab的取值范围是1，)法二：设abt，得ab，故a，b为方程x2xt0的两个实数根，所以4t0，整理，得9t210t10，即(t1)(9t1)0，解得t或t1.所以ab的取值范围是1，)含有参数的定积分问题的处理办法与注意点(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念活学活用已知f(x)(12t4a)dt，F(a)f(x)3a2dx，求函数F(a
7、)的最小值解：f(x)(12t4a)dt(6t24at) 6x24ax(6a24a2)6x24ax2a2，F(a)f(x)3a2dx(6x24axa2)dx(2x32ax2a2x) a22a2(a1)211，当a1时，F(a)最小值1.层级一学业水平达标1下列各式中，正确的是()A.F(x)dxF(b)F(a)B.F(x)dxF(a)F(b)C.F(x)dxF(b)F(a)D.F(x)dxF(a)F(b)解析：选C由牛顿莱布尼茨公式知，C正确2.(cos x1)dx等于()A1B0C1 D解析：选D(cos x1)dx(sin xx) sin 0.3已知积分(kx1)dxk，则实数k()A2
8、B2C1 D1解析：选A因为(kx1)dxk，所以k.所以k1k，所以k2.4. |56x|dx2 016，则正数a的最大值为()A6 B56C36 D2 016解析：选A|56x|dx256xdx2x256a22 016，故a236，即00)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k_.解析：由解得或由题意得，(kxx2)dxk3k3k3，k3.答案：36.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为_解析：长方形的面积为S13，S阴3x2dxx31，则P.答案：7. 已知S1为直线x0，y4t2及y4x2所围成图形的面积，S2为直线x2，y4t2及y4x2所围成图形
9、的面积(t为常数)(1)若t时，求S2.(2)若t(0,2)，求S1S2的最小值解：(1)当t时，S2 (2(4x2)dx(1)(2)t(0,2)，S1(4x2)(4t2)dxt3，S2(4t2)(4x2)dx2t2t3，所以SS1S2t32t2，S4t24t4t(t1)，令S0得t0(舍去)或t1，当0t1时，S0，S单调递减，当1t0，S单调递增，所以当t1时，Smin2.8.如图，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值解：抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S(xx2)dx.抛物线yxx2与直线ykx两交点的横坐标为x10，x21k，所以 (xx2kx)dx(1k)3，又知S，所以(1k)3.于是k11.高考资源网版权所有，侵权必究！
