1、第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本P1214，思考并完成下列问题(1)函数yc，yx，yx1，yx2，y的导数分别是什么？能否得出yxn的导数公式？ (2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？1几种常用函数的导数函数导数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)点睛对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导2基本初等函数
2、的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1原函数导函数f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若y，则y21.()(2)若f(x)sin x，则f(x)cos x()(3)f(x)，则f(x).()答案：(1)(2)(3)2下列结论不正确的是()A若y0，则y0B若y5x，则y5C若yx1，则yx2 D若yx，则yx答案：D3若ycos，则y()A
3、BC0D.答案：C4函数y在点处切线的倾斜角为()A. B.C. D.答案：B利用导数公式求函数导数典例求下列函数的导数(1)yx12；(2)y；(3)y；(4)y3x；(5)ylog5x.解(1)y(x12)12x11.(2)y(x4)4x5.(3)y()(x)x.(4)y(3x)3xln 3.(5)y(log5x).求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式活学活用求下列函数的导数：(1)ylg x；(2)yx；(3)yx；(4)ylog
4、x.解：(1)y(lg x).(2)yxln xln 2.(3)y(x)(x)x.(4)y.利用导数公式求切线方程典例 已知曲线y.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程解y，y.(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y在点P(1,1)的导数，即kf(1)1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y1(x1)，即为yx2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y上，则可设过该点的切线的切点为A，那么该切线斜率为kf(a).则切线方程为y(xa)将Q(1,0)代入方程：0(1a)将得a，代入方程整理可得切线方程为y4x4.利用导数的
5、几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解活学活用当常数k为何值时，直线yx与曲线yx2k相切？请求出切点解：设切点为A(x0，xk)y2x，故当k时，直线yx与曲线yx2k相切，且切点坐标为.导数的简单综合应用典例(1)质点的运动方程是Ssin t，则质点在t时的速度为_；质点运动的加速度为_(2)已知两条曲线ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由解析(1)v(t)S(t)cos t，vcos .即质点在
6、t时的速度为.v(t)cos t，加速度a(t)v(t)(cos t)sin t.答案： sin t(2)解：由于ysin x，ycos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1cos x0，k2sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0(sin x0)1，即sin x0cos x01，也就是sin 2x02，这是不可能的两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直导数的综合应用的解题技巧(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的
7、方程来解决，往往这是解决问题的关键所在(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题可以结合导数的几何意义分析 活学活用曲线yx在点(1,1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为()A.B.C.D.解析：选C可求得yx，即y|x1，切线方程为2x3y10，与x轴的交点坐标为，与x2的交点坐标为，围成三角形面积为.层级一学业水平达标1已知函数f(x)x3的切线的斜率等于3，则切线有()A1条B2条C3条 D不确定解析：选Bf(x)3x23，解得x1.切点有两个，即可得切线有2条2曲线yex在点A
8、(0,1)处的切线斜率为()A1 B2Ce D.解析：选A由条件得yex，根据导数的几何意义，可得ky|x0e01.3已知f(x)3x，则f(2)()A10 B5xC5 D10解析：选Df(x)5x，f(2)5210，故选D.4已知f(x)x，若f(1)2，则的值等于()A2 B2C3 D3解析：选A 若2，则f(x)x2，f(x)2x，f(1)2(1)2适合条件故应选A.5. 曲线yx3在x1处切线的倾斜角为()A1 BC. D.解析：选Cyx2，y|x11，切线的倾斜角满足tan 1，0，.6曲线yln x在点M(e,1)处的切线的斜率是_，切线方程为_解析：y(ln x)，y|xe.切线
9、方程为y1(xe)，即xey0.答案：xey07已知f(x)a2(a为常数)，g(x)ln x，若2xf(x)1g(x)1，则x_.解析：因为f(x)0，g(x)，所以2xf(x)1g(x)2x1.解得x1或x，因为x0，所以x1.答案：18设坐标平面上的抛物线C：yx2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为_解析：显然点(a，a2)为抛物线C：yx2上的点，y2x，直线l的方程为ya22a(xa)令x0，得ya2，直线l与y轴的交点的坐标为(0，a2)答案：(0，a2)9求下列函数的导数：(1)yx8；(2)y4x；(3)ylog3x；(4)ysin；
10、(5)ye2.解：(1)y(x8)8x818x7.(2)y(4x)4xln 4.(3)y(log3x).(4)y(cos x)sin x.(5)y(e2)0.10已知P(1,1)，Q(2,4)是曲线yx2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线yx2的切线方程(2)求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解：(1)因为y2x，P(1,1)，Q(2,4)都是曲线yx2上的点过P点的切线的斜率k1y|x12，过Q点的切线的斜率k2y|x24，过P点的切线方程：y12(x1)，即2xy10.过Q点的切线方程：y44(x2)，即4xy40.(2)因为y2x，直线PQ的斜率k1，切线的斜率ky|xx02x01，
11、所以x0，所以切点M，与PQ平行的切线方程为：yx，即4x4y10.层级二应试能力达标1质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s，则质点在t4时的速度为()A.B.C. D.解析：选Bst.当t4时，s .2直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()A2 Bln 21Cln 21 Dln 2解析：选Cyln x的导数y，令，得x2，切点为(2，ln 2)代入直线yxb，得bln 21.3在曲线f(x)上切线的倾斜角为的点的坐标为()A(1,1) B(1，1)C(1,1) D(1,1)或(1，1)解析：选D因为f(x)，所以f(x)，因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为1，即
12、f(x)1，所以x1，则当x1时，f(1)1；当x1时，f(1)1，则点坐标为(1,1)或(1，1)4设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn的值为()A. B.C. D1解析：选B对yxn1(nN*)求导得y(n1)xn. 令x1，得在点(1,1)处的切线的斜率kn1，在点(1,1)处的切线方程为y1(n1)(xn1)令y0，得xn，x1x2xn， 故选B.5与直线2xy40平行且与曲线yln x相切的直线方程是_解析：直线2xy40的斜率为k2，又y(ln x)，2，解得x.切点的坐标为.故切线方程为yln 22.即2xy1ln 20.答案：
13、2xy1ln 206若曲线y在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是_解析：y，切线方程为y(xa)，令x0，得y，令y0，得xa，由题意知a2，a4.答案：47已知曲线方程为yf(x)x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程解：设切点P的坐标为(x0，x)yx2，y2x，kf(x0)2x0，切线方程为yx2x0(xx0)将点B(3,5)代入上式，得5x2x0(3x0)，即x6x050，(x01)(x05)0，x01或x05，切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y12(x1)或y2510(x5)，即2xy10或10xy250.8求证：双曲线xya2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数证明：设P(x0，y0)为双曲线xya2上任一点y.过点P的切线方程为yy0(xx0)令x0，得y；令y0，得x2x0.则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S|2x0|2a2.即双曲线xya2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.
