1、5从力的做功到向量的数量积5.1向量的数量积 (15分钟30分)1.已知平面向量a, b的夹角为,|a|=1,|b|=2,则a(a+b)=()A.3B.2C.0D.1+【解析】选C.因为a, b的夹角为,|a|=1,|b|=2,所以ab=12=-1,则a(a+b)=a2+ab=1-1=0.2.设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则ab等于()A.1B.2C.3D.5【解析】选A.|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=10,|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=6,将上面两式左右两边分别相减,得4ab=4,所以ab=1.3.已知在ABC中,AB=AC=4,=8,则AB
2、C的形状是_三角形()A.直角B.等腰直角C.等边D.钝角【解析】选C.=|cos BAC,即8=44cos BAC,于是cosBAC=.又因为0BAC180,所以BAC=60.又AB=AC,故ABC是等边三角形.4.单位向量i,j相互垂直,向量a=3i-4j,则|a|=_.【解析】因为|a|2=a2=(3i-4j)2=9i2-24ij+16j2=9+16=25,所以|a|=5.答案:55.已知ab,(3a+2b)(ka-b),若|a|=2,|b|=3,则实数k的值为_.【解析】由已知ab=0,a2=4,b2=9,由(3a+2b)(ka-b)=03ka2+(2k-3)ab-2b2=0,所以12
3、k-18=0,所以k=.答案:6.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|.【解析】(1)由(2a-3b)(2a+b)=61,得4|a|2-4ab-3|b|2=61.将|a|=4,|b|=3代入上式求得ab=-6,所以cos =-.又0,所以=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若向量a与b的夹角为120,且|a|=1,|b|=2,c=a+b,则有()A.caB.cbC.cbD.ca【解析】选A.因为
4、ca=(a+b)a=a2+ab=|a|2+|a|b|cos 120=12+12cos 120=0,所以ca.2.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150【解析】选C.由(2a+b)b=0,得2ab+b2=0,设a与b的夹角为,所以2|a|b|cos +|b|2=0.所以cos =-=-=-,因为0180,所以=120.3.若向量a,b,c均为单位向量,且ab,则|a-b-c|的最小值为()A.-1B.1C.+1D.【解析】选A.因为a,b,c均为单位向量,且ab,所以ab=0,所以|a-b|=,所以|a-b-c|a-b|-
5、|c|=-1.4.(2020新高考全国卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1x3,所以-26.二、多选题(每小题5分,共10分)5.设a,b,c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则有()A.(ab)c-(ca)b=0B.|a|-|b|a-b| C.(bc)a-(ca)b不与c垂直 D.(3a+2b)(3a-2b)=
6、9|a|2-4|b|2【解析】选BD.ab=R,ca=R.而a,b,c是非零向量且互不共线,故c-b0 ,A错;因为|a|-|b|a-b|,B对;因为(bc)a-(ca)bc=0,故应为垂直,C错;根据数量积运算律可判定,D对.6.在RtABC中C=90,CB=2,CA=4,P在边AC的中线BD上,则的值可以为()A.-B.0C.5D.-1【解析】选AB.由题意,画图如图:可设=(01),因为=-,|=2,|=2,cos=0.所以=(-),=+=+(-)=+(1-).所以=+(1-)(-)=2|2-(1-)|2=42-4(1-)=82-4=8-.由二次函数的性质,可知.三、填空题(每小题5分,
7、共10分)7.已知平面向量,|=1,|=2,(-2),则|2+|的值是_.【解析】|=1,|=2,由(-2)知,(-2)=0,2=1,所以|2+|2=42+4+2=4+2+4=10.故|2+|=.答案:8.设单位向量e1,e2的夹角是,且a=-(2e1+e2),b=4e1-5e2.则= _;a与b的夹角为_.【解析】因为e1,e2为单位向量,所以|e1|=|e2|=1,因为|a|2=|-(2e1+e2)|2=4+4e1e2+,即|a|2=4|e1|2+4|e1|e2|cos+|e2|2,所以|a|2=412+412cos+12=7,解得|a|=;因为ab=-(2e1+e2)(4e1-5e2)=
8、-8+6e1e2+5=-812+612cos+512=-8+3+5=0,所以ab,即a与b的夹角为.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影数量为-1.(1)求a与b的夹角;(2)求(a-2b)b;(3)当为何值时,向量a+b与向量a-3b互相垂直?【解析】(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影数量为|a|cos =-1,所以ab=|a|b|cos =-1,所以cos =-,所以=.(2)(a-2b)b=ab-2b2=-1-2=-3.(3)因为a+b与a-3b互相垂直,所以(a+b)(a-3b
9、)=a2-3ab+ba-3b2=0,所以4+3-1-3=7-4=0,所以=.10.已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且 |ka+b|=|a-kb|(kR),(1)求ab关于k的解析式f(k);(2)若ab且方向相同,试求k的值.【解析】(1)因为|a|=|b|=1,且|ka+b|=|a-kb|(kR),两边同时平方可得:k2+2kab+=3,所以k2+2kab+1=3-6kab+3k2,8kab=2k2+2,所以ab=(k+),kR+,所以f(k)=(k+),kR+.(2)因为ab且方向相同,|a|=|b|,所以将a=b代入ab=(k+),可得=1,解得k=2.已知|a|=1,|b|=1,a,b的夹角为120,计算向量2a-b在向量a+b方向上的投影数量.【解析】(2a-b)(a+b)=2a2+2ab-ab-b2=2a2+ab-b2=212+11cos 120-12=.|a+b|=1.设向量2a-b与向量a+b的夹角为,所以|2a-b|cos =|2a-b|=.所以向量2a-b在向量a+b方向上的投影数量为.
