1、浙江省绍兴市诸暨中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（实验班，含解析）一、选择题（共10小题）.1.如果全集，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合A、B，根据补集和交集的定义写出【详解】解：全集，故选B【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2.设复数的共轭复数为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，代入，化简后利用复数相等的条件求得的值，再求即可.【详解】设，则.由，得，所以，即，.所以故选：C【点睛】本题主要考查复数的模长，同时考查了复数的相等和共轭复数，属于简单题.3.已知等比数列的各项均为正，且，成等差数列，则数
2、列的公比是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，成等差数列解出即可【详解】根据，成等差数列得到=，再根据数列是等比数列得到，因为等比数列的各项均为正，故得到，解得或（舍去），故得到公比为.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题4.已知是正实数，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析】根据是正实数，由，可得：， ，可得.反之不成立，可举例否定，从而得到答案.【详解】因为是正实数，由，可得：，又因为，当且仅当取“”.所以，即：，可得反之不成立，若，取，可得所以“”是“”的充分不必要条
3、件故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，同时考查了基本不等式，属于中档题.5.若平面向量，的夹角为，且，则（ ）A. B. C. ）D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得 ，再根据，可得 ，从而得到答案【详解】由题意可得 .因为，所以.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，同时考查了平面向量的垂直关系，属于简单题.6.如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解.【详解】由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于0，与图象不符，排除D，故选C.【点睛
4、】本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题.7.已知log43p，log325q，则lg5（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算,利用对数换底公式、对数运算性质变形，化为的式子后可得.【详解】解：（换底公式），故选：D【点睛】本题考查对数的换底公式，对数运算法则，属于基础题8.已知夹角为60，且，若，则的最小值（ ）A. B. 4C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，则，求出，该式子可以看作点A（tm，0）到点B（）和点C（）的距离之和，设点B关于x轴的对称点为D（），则|AB|+|AC|AD|+|AC|CD|，然后利用两点间的距离公式算出|CD|的长度即可
5、得解【详解】解：设，则，该式子可以看作点A（tm，0）到点B（）和点C（）的距离之和，如图所示，由于点（tm，0）在x轴上，且点B关于x轴的对称点为D（），所以|AB|+|AC|AD|+|AC|CD|的最小值为故选：A【点睛】本题考查向量的模，解题关键是用坐标表示向量，模的运算转化为坐标运算后，再由所得式子的几何意义利用对称性求解9.定义域为R的偶函数f(x)满足对xR，有f(x+2)f(x)f(1)，且当x2，3时，f(x)2x2+12x18，若函数yf(x)loga(|x|+1)至少有6个零点，则a的取值范围是( )A. (0，)B. (0，)C. (0，)D. (0，)【答案】B【解析】
6、【分析】令x1，求出f(1)0，得出函数f(x)的周期为2，画出f(x)和yloga(|x|+1)的图象，利用数形结合的方法进行求解；【详解】解：f(x+2)f(x)f(1)，f(1+2)f(1)f(1)，即f(1)f(1)f(1)，2f(1)f(1)f(x)是定义域为R的偶函数，f(1)f(1)，2f(1)f(1)，f(1)0f(x+2)f(x)，f(x)是周期为2的偶函数作出f(x)和yloga(|x|+1)的图象如图所示：函数yf(x)loga(|x|+1)至少有6个零点，0a1loga(2+1)2，解得0a故选：B【点睛】本题考查函数零点个数问题，解题方法是把问题时行转化，转化为函数图
7、象交点个数问题，这样可作出函数图象通过观察函数图象交点个数得出结论10.已知数列an满足：an（nN*）若正整数k（k5）使得a12+a22+ak2a1a2ak成立，则k（ ）A. 16B. 17C. 18D. 19【答案】B【解析】【分析】由题意可得a1a2a3a4a52，a6a1a2a3a5125131，n6时，a1a2an11+an，将n换为n+1，两式相除整理得an2an+1an+1，n6，求得a62+a72+ak2ak+1a6+k5，结合已知条件，即可得到所求值【详解】解：an（nN*），即a1a2a3a4a52，a6a1a2a3a5125131，n6时，a1a2an11+an，所以
8、a1a2an1+an+1，两式相除可得an，则an2an+1an+1，n6，由a62a7a6+1，a72a8a7+1，ak2ak+1ak+1，k5，可得a62+a72+ak2ak+1a6+k5a12+a22+ak220+ak+1a6+k5ak+1+k16，且a1a2ak1+ak+1，正整数k（k5）使得a12+a22+ak2a1a2ak成立，则ak+1+k16ak+1+1，则k17，故选：B【点睛】本题考查数列的递推公式，考查累加法求和，解题关键是由n6时，a1a2an11+an，a1a2an1+an+1，两式相除得出，目的是配出二、填空题（单空题每空4分，多空题每空3分，共36分）11.计算
9、：cos870_；若cos，则_【答案】 (1). (2). 2k，2k，kZ【解析】【分析】运用诱导公式化简后，根据特殊角的三角函数值即可得解，由余弦函数的性质可得的范围【详解】解：cos870cos（3602+150）cos150cos30若cos，则由余弦函数的性质可得2k，2k，kZ，故答案为：；2k，2k，kZ【点睛】本题考查余弦函数的性质，考查诱导公式，属于基础题解三角函数不等式时可画出函数图象，由图象观察得出结论，也可作出单位圆，作出余弦线，由余弦线得出结论12.已知函数的最小正周期是，则_，若，则_ .【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据周期的公式，求w值，根据，
10、然后利用余弦的二倍角公式求得的值【详解】根据周期的公式，所以，则：，【点睛】本题主要考核三角函数周期公式，以及化简和余弦二倍角公式的运用13.设函数f（x），若a1，则f（f（2）_；若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是_【答案】 (1). 9 (2). 3，+）【解析】【分析】结合分段函数解析式先求，再求f(f(2)，分别结合指数函数与一次函数的性质分别求出每段函数的值域，然后结合函数值域的性质得出结论【详解】解：若a1，则f(f(2)f(3）23+19，当x2时，f（x）2x+a4+a，当x2时，由函数的值域为R可知，a0，此时f(x)2a+1，结合分段函数的性质可知，2a+1a+4
11、即a3故答案为：9；3，+）【点睛】本题考查分段函数，求解时必须分段求解，求函数值需确定自变量的取值范围，求值域时需分段考虑，由各段值域求并集可得14.在四边形中，且，则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】分析】利用余弦定理求出 的值，利用勾股定理逆定理判断，由正弦定理和诱导公式即可求出的值.【详解】解：在中，由余弦定理可知 即，.又，所以.由，可知 .故答案为: ;.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断.在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15.在ABC中，AB3，AC4，
12、BC边的中垂线分别交BC、AC于D、E，点P是DE的中点，则_【答案】【解析】【分析】设，以为基底，将其它向量都用表示出来，即可求得答案.【详解】解：如图所示，设，DE垂直BC，即，点P是DE的中点，且，故答案：【点睛】本题考查了平面向量的基本运算和平面向量数量积的意义，确定基底并把相关的向量用基底表示出来是解题的关键.16.已知实数a，b，c，满足a2+b2+2c21，则2ab+c的最小值是_【答案】【解析】【分析】先分离出a2+b2，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值【详解】解：若2ab+c取最小值，则ab异号，c0，根据题意得：12c2a2+b2，又由a2+b22|ab
13、|2ab，即有12c22ab，则2ab+c2c2+c12（c）2，即2ab+c的最小值为,当或时取得最小值.故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式，和二次函数的最值，分析已知条件将题目转化为求二次函数的最值是解题的关键.17.已知函数，对于任意的，都存在使得成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为存在使的或成立，故或，通过讨论b的范围求出m的范围即可【详解】的定义域为，函数在上单调递增，存在使得成立，存在使的或成立，或，成立;当b1-a时，只能成立，即先对任意b成立，故只需，即,对任意成立故lnm2，故答案为【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用
14、以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题三、解答题（本大题共5题，总分74分）18.已知函数（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）将图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到的图象若在内是单调函数，求实数的最大值【答案】（1）最小正周期为，减区间为k+，k+，kZ（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得f（x）的最小正周期和单调递减区间（2）利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得m的最大值【详解】（1）依题意，得函数f（x）4cosxsin（x）14cosx（sinxcosx）1s
15、in2x+2cos2x12（sin2xcos2x）2sin（2x）它的最小正周期为令2k2x2k，求得kxk，故函数的减区间为k，k，kZ（2）将yf（x）图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到yg（x）2sin（2x）的图象若g（x）在（0，m）内是单调函数，则g（x）在（0，m）内是单调增函数，2m，求得m，故m的最大值为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题19.已知Sn是正项数列an的前n项和，满足a12，anan+16Sn2，nN*（1）求证：an是等差数列；（2）记bn2n，求数列|anbn|的前n项和Tn【
16、答案】（1）见解析（2）Tn【解析】【分析】（1）由anan+16Sn2当n2时，有an1an6Sn12，两式相减得an+1an16，再由数列的前几项推证出结果；（2）由（）可得an3n1，记cnbnan，研究其单调性，判断其符号，再求前n项和Tn【详解】解：（1）证明：a12，anan+16Sn2， 当n2时，有an1an6Sn12，由整理得an+1an16，数列an的奇数项、偶数项均是公差为6的等差数列，又由题设条件可得a12，a25，a38，a411，所以an+1an3，故数列an是首项为2，公差为3的等差数列；（2）解：由（）可得an3n1，又bn2n，记，当n2时，cn单调递增，且c
17、10，c21，c30，从第4项起，cn0，当n1时，有T10；当n2时，有T21；当n3时，有Tnc1c2+c3+c4+cn1+（23+24+2n）+n23（3+4+5+n）n132n+1，故Tn【点睛】本题考查了数列与之间的关系，并由递推公式求通项公式，还考查了等差数列的通项公式和前项和公式，等比数列的前项和的公式，是一道数列的综合应用题.20.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c1，C（1）若，求；（2）若，求ABC的面积【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，得出结合，利用两角差的余弦公式，即可算出答案（2）利用，结合两角和与差的正弦公式化简整理，得，从
18、而或再分和两种情况加以讨论，即可分别求出两种情况下ABC的面积S【详解】（1），C，可得，即（2），可得由，得，即，可得或，得，结合得，ABC的面积若，则，由余弦定理，得即，解之得，从而ABC的面积综上：ABC的面积为或.【点睛】本题考查的是利用正余弦定理解三角形和三角恒等变换，考查了学生的计算能力，属于典型题.21.已知等差数列的公差不为零，且，、成等比数列，数列满足（1）求数列、的通项公式；（2）求证：.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到，可令，求得，再将换为，相减可得；（
19、2）原不等式转化为，应用数学归纳法证明，注意检验时不等式成立，再假设时不等式成立，证明时，不等式也成立，注意运用分析法证明.【详解】（1）等差数列的公差不为零，可得，、成等比数列，可得，即，解方程可得，则.数列满足，可得，当时，由，可得，相减可得，则，也适合，则，；（2）证明：不等式即为，下面应用数学归纳法证明.（i）当时，不等式的左边为，右边为，左边右边，不等式成立；（ii）假设时，不等式成立，当时，要证，只要证，即证，即证，由，可得上式成立，可得时，不等式也成立.综上可得，对一切，故.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用求通项以及数列不等式的证明，考查了数学归纳法的应用
20、，考查计算能力与推理能力，属于中等题.22.已知函数.（）若，函数在区间上有意义且不单调，求a取值范围；（）若，且，求a的取值范围【答案】（）6a2；（）0a【解析】【分析】（）当时，由题知：二次函数f（x）的对称轴在（1，4）之间，且f（x）在1，4上恒为正，列出不等式组，即可求出a的取值范围；（）因为，设m，n（mn）为方程f（x）1的两个根，所以，由，解得a0或a4，又m，n（mn）为方程f（x）1的两个根，所以m1a，即可求出a的取值范围【详解】解：（）当时，由题知：二次函数的对称轴在之间，且在上恒为正，解得：；（）因为，设m，n（mn）为方程的两个根，由，得n10且，由得，所以，因为，解得或，又m，n（mn）为方程的两个根，所以，解得，综上所述：【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，属于中档题
