1、第二章数形结合的思想中学数学研究的对象可分为数与形两大部分而数与形是有联系的,这个联系的应用常称之为数形结合.实验告诉我们:有丰富形象的材料比纯抽象材料容易记忆.据双重编码理论抽象材料只有言语编码,而形象材料既有言语编码又有表象编码,这样的编码可以延长记忆.针对般中学生的智力特点他们是以第信号系统占优势的所以直观的形象记忆比逻辑记忆发达;因此在数学教学中讲到符号语言表达的抽象材料可以尽量配以定的直观形象的图形、模型来增强记忆效果.数与形是对立统的数量关系往往隐含着几何模型几何问题又时时牵涉到数量关系图形有形象直观的优点往往能起定性的作用而在定量方面必须借助于代数的计算分析两者结合取长补短能收到
2、事半功倍的效果在数学解题中数形结合具有极为独特的策略指导与调节作用.中外数学家对数形结合解题十分重视华罗庚先生说:数与形本是相倚依焉能分作两边飞?数缺形时少直观形少数时难人微数形结合百般好隔离分家万事休切莫忘:几何代数统体永远联系切莫分离.”美国数学家斯蒂恩说:“如果个特定的问题可以被转化为个图形那么思想就整体地把握了问题并且能创造性地思索问题的解法数学家柯尔莫戈罗夫也说:“在只要有可能的地方数学家总是力求把他们研究的问题尽量地变成可借用几何直观的问题”他们都明确地指出了数学解题中的数形结合以及互相转化的思维方法,通过“以形助教及“以数辅形”寻找巧妙快捷的解题路线,本章就这问题进行些探索.第一
3、节实现数形结合的吴键是转化（l）方程堑昔3cos（器）的解的个数是陋（2）方程cos工工smz的实根的个数是已知函数（鳃）-则l.0,则满足不等式（l（1,工0,（3）r2）（2工）的工的取值范围是（）方程（1厄-（2r）的所有解之利等于曹正妥高中愁檬解题方怯令解题策赂:（1）（2）是一组探求一些特殊方程根的个数或根的关系的填空题我们讲特殊是指方程中包含不同领域的知识,用代数的方法是无法解的,只有通过转化为不同函数的图像交这就是运用数形结合的方法讨论方程根的个数以及根与根之间的关系.难点转化为函数问题（有时转化的方法不唯一）,关键点是在定义域范围内较为精点问题获得结果,是如何把方程问题转化为函
4、数问题（有时转化的方法不唯一）,出函数的图像.（3）借助于函数图像与性质使问题转化为解一般的不等式组,这里函数图关键作腻（l）转化为2si六,测2驯吉的图像,探求交点的特确地画出函数的图像.像起到征.）了又冗吕（l解:（1）工百3cos设-延和-3c。s（崇）,画出两函数的草图从图上直观地看到有五个交点（如图2u所以该方程解的个数是5.加勺）附至八营【丁O489U-3卜厂3cos借x）图22图21（1;匹（2）方程变形为工slnrcos工即工徊sin4）设-烫和mn（上）.画出两圈数的草图（如图22）,显然可得该方程实根的个数是1.（3）由函数（工）的图像（如图23）可知满足（1工2）（2工）
5、分两种情况:l堑鸳0,（1工20叫x0,0 x:】L（x0,（工01r22x综上可知:1r面Lv州）匡xal）步O图24图2336第二聋毅形搪合伪恩慈（l）由题易得鞭l,原方程可等价转化为2si-古在同平面直角坐标系中作出这两个碉数y2鼠i驯六的图像（如图2 4）这两个啊数阁像儿有s个公共点且两两关于点（1,0）对称故原不等式的所有解之和为工l工2工8428.皿（1）已知函数（x）r21g（x）拉.若方程（工）g（r）有两个不相等的实根则实数陀的取值范围是（）.A（0,）且（,l）c（,2）D.（2,）（2）函数y2堑工2的图像大致是（）.寸O厂ABCD（3）若直线y工b与曲线y3J万F有公共
6、点,则b的取值范围是（）.A.12】,12】B.1面3C.112面D12】3解题策略:（1）利用图像结合函数g（Z）hr的动态过程求解;（2）通过对函数性质的分析把问题转化为函数y2延与）工2有几个交点问题;（3）考查直线与曲线有公共点的处理方法,体现数形结合思想方法的技巧性.解:（1）方程（工）g（工）有两个不相等的实根,等价于函数（工）工21与g（工）虹的图像有两个不同的交点在同坐标系内分别作出其图像,如图25所示,当直线g（恋）粒介于直线上,虹之间时符合题意,隐的取值范围是（1）,故选Eyvx.x-2l尸O图2-5小卯O24xx0图2-6图2-7（2）如图26所示,画出函数y2正与y工2
7、的图像显见有3个交点,说明函数y2露37漆正妥高中魁管解题方帧令工2的零点有3个,故排除B、C,当工工0时有工22延成立.即y0,排除D故选A.（3）y3I王王丁变形为（工2）2（y3）24（0工41y3）,表示以（2,3）为圆心2为半径的下半圆,如图27所示.若直线y工6与曲线y3I云云百有公共点只需直线y工b在图中两直线之间（包括图中两条直线）,当y工6与下半圆相切时,圆心到直线y工b的距离为腆 2b-解膊b2幅或l2帽（舍鹰）,所以取值范围为:陋b3故选D匝关于虹的二次方程工22怂3k0分别就下列情形,求实数卢的取值范围.（1）个根小于1,另个根大于3;（2）两个根均在1和3之间.解题策
8、赂:本例由已知方程根的范围探究参数的取值范围.从解方程角度考虑免不了较为复杂的运算所以求解含参数方程的一个有效手段是借助图形,把方程问题转化为函数问题,通过函数图像的“走向”寻求解题思略,依据图像简化运算这种运算比直接解显然要容易.解:构造函数（工）工22垃3k其图像为开口向上的抛物线（如图28）.（l）由图像可见.只要（l）0l2隐3隐0,所以96肉3彪0（3）0所以虎1.0虎3或陀01陀33陶1乌所以所以1虎（）.l）（3）0,k陀1.图28（2）第二节数形转化和知识极块之闯的转化相文融T哀的最大值.2工陋求函数解题策赂:本例给出的函数解析式较为复杂（既含偶次根式又是分式）,若拘泥于代数方
9、法解必然产生心理障碍所以分析习题必须深入一步、有意识地从数和形两个方面进行感知活动,促使数与形之间的转化.可以借助三角换元法发现所给函数的几何意义.可以是定点与动点之间的斜率即运用直线与半圆的位置关系（相切）求得y的最大值,当然数与形的转化方法也不是唯一的读者可以从不同的角度想一想、试一试.38第二苹毅形搪合的思慈解;-丛岳霄由定义知鞭:0且:墅0.所以1r1故可设工coS00e0冗ysin0sin0（）可看作是动点M（cos0sin0）,（0则有y二二cos02cos0（2）-2-lOl巨0,冗）与定点A（2,0）连线的斜率而动点M的轨迹方程二默,匡0,硫,即鞭斗曾山匡0.l晨蛔咽2,1ys
10、in00亡O,冗,陨工厂y1y亡O,运尸四（只固乙3图29设切线为ATT为切点 OT1 AO2所以隐Ar-上,所以0鹿AM33陋敖摘倘域为.罕故最人值为等囤关于碰的二次方程r:zLr逼20中z、z2、m都是复数,且勇韶4屠21620l设这个方程的两个根、满足27求!的最大值和最小值.解题策赂:求复数问题可以转化为向量的运算来解也可以转化为复数方程的几何意义来解这就是代数问题几何化的解题策咯它的优点是直观避免了繁杂冗长的计算与推理.本例中根据、是关于工的二次方程Z2zLr乏2加0两根的条件,结合zl与Z2的关系,把27转化为关于m的方程,利用方程的几何意义求 的最大值与最小值解法既直观又简捷.解
11、;由韦达定理得“重 则 2（）24尾4z2庭2m4m4m（z4乏2）28.因为Z;4z21620i所以4加（1620i）28,m（45i）7.如图210所示复数m的对应点M在以（4,5）为圆心7为半径的圆上.所以 max7IT,mmin7IT.q-全贞图210第三节以数辅形三火法宝（代数法、解析法、句量法）陋设线段AB两端点在抛物线y2工上移动,M为线段AB的中点,AB（为大于零的常数）.求M到y轴的最短距离39曹正磐高中魁檬解题方腋令少刁早解题策赂:本例解题时易走入如下误区:如图211所示设F为抛物线A.少的焦点分别过A、B、M向抛物线的准线引垂线垂足分别为AlBl、Ml.则由AFBFAB,
12、结合抛物线的定义及梯形中位线的性质得MMlM肥所以M!的最小值为.从漏M到为士且上述解法是错误的.所给的图形并不能反映问题的本质.这是因为过抛物图2-11线焦点的最短弦是抛物线的通径只有在1时,才符合以上的解法.而当01时结合图形已无法判断需妥方程知识来解决可见图形并不一定能彻底解决问题,必须辅以代数运算.解:设AB:工D,与）2工联立得）2y0当!24（）时yly2加,所以工lr2（Ol）（D2）设M到轴的距离为则刨延堑-答叭222义因为AE-所以（咖;l）（帅4）-醛:得（而兰I枷:）所以感-（愈咖）-（咖,ll）,设!-砸l,则叫-（千问l）当0l时腮刨-（千!）在e函）上是增啊数,所以
13、2当t 1时mm 41故当01时,点M到N轴的最短距离为;当l时.点M到勤轴的最短距离为:刁萨叶l万前匡庐二匹士二坪而】b】、广!,M丁yw、丁、绒P4阀如图212所示在四棱锥PABCD中PA平面ABCDAC上ADABBC,BAC45。PAAD2,AC1.（1）证明PCAD;（2）求二面角APCD的正弦值;（3）设E为棱PA上的点满足异面直线BE与CD所成的角为30。,求AE的长.CD图2-12解题策赂:本例主妥考查空间中两条直线的位置关系点间的距离可以用“几何法”求解也可以用“向量法”求解.的特征,发现乎行、垂直等几何关系中的数量关系,经历“作、二面角、异面直线所成的角、空间两“几何法”在于
14、由“形”出发观察“数”证求,的思维转化过程体会“几何法,中所蕴含的数形结合思想.向量法”也由“形出发把相关的点、线“坐标化“向量化”空间图形“向量化归根结底就是点、线段“向量化”体会“向量法,中所蕴含的数形结合思想.实践证明通过建立坐标系,将几何对象坐标化,进一步利用向量运算的几何意义是解决空间几何体中求距离、夹角的好方法.40第二章魁形桔今的思想-解:（1）如图213所示以AD、AC、AP为工、J、惠正半轴方向建立空间直角坐标系八甄霍,则D（2,0,0）C（0.,0）、B（,0）、P（00,2入-PC（012）AD（2,0,0）因为PCAD0,所以PC上AD.（2）如图213所示,作AHLP
15、C,垂足为H,联结DH.由（1）知PC平面ADH,AHD即为二面角APCD的平面角,记为0.在RtPAC中,求得PC百H旦,在RtDAH中求得DH-5楞.sM-罕厂二面角APCD的正弦值为竿图2-13（,h）（3）设E（00l）则BE-,CD（2,1,0）,3-2cosBECD cos30。怀十-窖解得-俘.故八E的长为拌在直角坐标系工Oy中,已知点A（1,1）、B（23）、c（3,2）,点P（工y）在ABc三边围成的区域（含边界）上-（1）若PAPBPC0,求OP;-一（2）设OP!ABAC（!巨R）用工、）表示!,并求的最大值.陋解题策赂:乎面向量是数形结合体现得最为完美的数学知识之一第（
16、2）问先由向量的坐标运算将问题转化为线性规划问题,通过对图形的分析可得到多种以形助教、以数辅形的解法.-.-解:（1）因为PAPBPC0,且PAPBPC（1工,1y）（2工3y）（3工,2y）（63工（）,-一解得工2y2.即OP（22）.故OP2Z（6ar,63）所以63y.-（2）因为OP加ABAC,A3（工m2,所以（工J）（m22）所以（y2加.两式相减得my工,令y工r,如图214所示由图知当直线y工t过点B（23）时t取得最大值1.故的最大值为1.】勺畔勺么墨21441曹正妥葛中瓤誉解题方腋令第叼节以形助教的蜀火抓手（利用函数图像思想、利用几何意义思想）顾（l）求珊-钨器的最大值、
17、最小值;（2）已知延y4,且甄0.求串的最大值与最小值工巴且吕尸厂司臼亏莹蒜y2y解题策略:第（1）问据）解题策略;第（1）问据和隐.形式上的特点构造动点A（sm工,工2工15simr）定点B（32）,则原问题求y的最值转化为求虎AB的最值这就是通常所说的“图形的构造”,是数形结合思想的抓手之一.第（2）问,露4（工0）袁示半圆域铝哀示半圆域上的动点P（甄测）与定点A（14）连线的斜率.问题迎刃而解.解:（1）据斜率公式虎y2l（1）据斜率公式虎 构造两个点即A（sin工5sin工）、B（32）.工2工1把点A（sin工5sin工）视为直角坐标平面仍内的个动点,这时（骂磊由此叮得-鼠（l嘲D如
18、图215所示,b5（11）的图像是线段AlA2端点Al、A2的坐标分别是（15）、（1,5）点A在线段AlA2上移动直线A阀的斜率为脚!凰辑-;直线A刨阀的斜率为脚253314.y即为直线AB的斜率所以的最大值为勺凰-;,最小值为勾:厕-T3（2）如图216所示不等式工2y24（工0）表示半圆域.设114工1-悠铝表示半圆域上的点（工,捌）与点（l.4）连线的斜率,B（32-）图215（队2）y皿）州钳（有寸日）（占过线直当当直线在切线位置时陀值最小.由点（）0）到切线的距离等于半A（l径得羌二r:.隐0,所以（错）翻厂竿互图21642第二聋魁彤搪合伪思想陋（1）若不等式F龙（工2）面的解集为
19、区间,b,且b2则陶;（2）已知平面向量r（百0,而）满足1,且页与商的夹角为120。则而的取值范围是解题策赂:第（1）问设y盂了（J0）与y卢（工2）百显见直线y克（Z2）面过点A（2,）且陀（）,借助图形容易得出结果.第（2）问易知C点在圆弧上运动且ACB60,在ABC中结合正弦定理及正弦函数的有界性可得r的取值范围.解;（1）如图217所示设yF（y0）与y虎（r2）z直线y虎（jr2）面过点A（2,面）.不等式豆虎（工2）百的解集就是图中直线在半圆上方的部分所对应的Z的集合,这个集合为,b,且b2故直线不可能是图中的m,这由2（3）2所决定所以直线就是图中的.在y万百中,当r1时,y2
20、百所以点B的坐标为把二七代人）亿-（2）如图218所示数形结合知AB,百AC,AB1,C点在圆弧上运动丝ACB-6旷,设二ABC-由正弦雄埋知蒜揣所以酋-半m竿.当0-,旷时取最大值v早A图217C60o60o0BA所以瓦（.竿（工4y30馋疟墨218陋o设惠4工3y,求霉的最大值;设乏丛求z的最小值;设z工2y2求Z的r取值范围（2）已知实数工、y同时满足下列条件:2工y20工2y403x30.那么工2y2在工、为何值时取得最大值和最小值?最大值、最小值各是多少?解题策略:挖掘代数式4工3、坠及工2y:及工2y2的几何意义完成符号语言与图形语言的转r了域是关键体现了数形结合的思想方法.化以数
21、思形以形辅数,准确作出可行43参正普高中毅檬解题方腋令解:（1）可行域如图219阴影部分所示.小厂扑二34.q l3x5250川熬删鳃-“解得A（1芋）由l,解得C（11）.工4y3（）,图219巾豺湛!解得B（5,2）.o由簿4鞭枷得-寺求童-4鞭:的最大值,相当于求宵线测寺的纵截距;的最小值平移直线-虹知,洲直线jr过点B时.最小,置最大所以之453214.冈为垦-昌.所以的值即足可行域中的点与原点o连线的斜率砚察图形叫2知Zmin陀OB百.z工2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知可行域上的点到原点的距离中创min（X面maxOB丽.所以2z29.（2）由线性约
22、束条件下确定可行域,设P（工y）利用几何意义z2y2Op 2 数形结合不难求出工2y2的最大（小）值撼框I黔蹦点为圆心作圆显然当圆过点A时圆的半径最大;当圆与直斗叉头勺蚁爬砌刁刃线2工y20相切时,圆的半径最小.图2-203工V30,解方程组（得A点坐标为（2,3）;易得原点到直（工2y40,线2堑2-的距离d-是,并求得切点凋的坐标为（4,）故当墅-:,-3时.堑:驯有最大值,并且最大值为oA,-l3;当蚁告,皿-时.延:取最小值,并且u最小值为刨;-设函数（r）工sin工（工R）.（1）证明:（r2贞冗）（工）2龙冗sn工,其中卢为整数;阳44第二聋魁形籍合崎墨鱼（:设蜒为厩的个极值点,测
23、;f（跳）-曲;（3）设（工）在（0）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为l 2,证明缠叶!鹏厕（-,2儿解题策赂:第（1）问利用三解函数的周期性证明;第（2）问将方程根的问题转化为两函数图像的交点问题;第（3）问,满足（Z）0的正根工0都为（工）的极值点然后再作差l求范围.证明:（1）由函数（工）的定义对任意整数卢有（工2虎冗）（工）（工2卢冗）sin（工2虎冗）rsin工（r2k冗）sin工工sinr2龙冗siILr.（2）函数（r）在定义域R上可导,（工）sin工工cos工O令（工）0,得sin工工coS工0.显然对于满足上述方程的工有cosr0上述方程化简为工tan工.如图221所示此
24、方程定有解（工）取极值时的Z0定满足tanr0工0.s1n.rtan2工0且Sin2工Sin2工COS2.jr1tan2工,同已厂小X墨2-21tan白又?）因此（工0）2工;Sin2工0工;2工0Z;工61tan2工.01Z;1工;.（3）设工00是（r）0的任意正实根,即工0tan工0则存在个非负整数虎使健e（晋隐冗.厕隐派）.即堑在第二或第四象限内由o式（塑）-.（Z）在第二象限或第四象限中的符号可列表如下:）（昔隐厕,2、（工0,陀7r）.rr炎为奇数龙为偶数口亏符的）工（所以满足（工）0的正根工0都为（r）的极值点.由题设条件,l 2,为方程工tanr的全部正实根且满足l2那么对于l
25、12,l（tan厕ltan）（1tanl.tan）.tan（厕l）.矿、由于晋（）冗（D沉,吾沉疆十!冗厕沉,则子什厕乎,臼由于tan1.tan0,由式知tan（l）0.由此可知l必在第二象限即十l冗.45参正妥高中幽檬解题方膛令综上所述.晋什,狐第五节动态过程中以形助数的应用阳关于m的方程JF拉2只有个实根求龙的取值范围.解题策赂:本例转化为两函数yI二王r和yhr2的图像只有一个交点的问题.由于函数虹2是过定点（0,2）且绕定点（02）转动的直线与半圆有一个交点时斜率虎的范围很直观.解:设原题等价于yI歹与y粒2的图像只有个交点时陀的取值范围函数yI万百即r2y24（y0）,它的图像是以原
26、点为圆心,2为半径的上半圆而y粒2是过定点（0,2）且斜率虎在变化的直线,也就是说直线绕（）,2）点转动.因为（02）点在半圆上所以动直线不可能与半圆再有其他交点（如图222所示）.所以虎0或虎1或走1.仙椭圆等平-l的焦点为F!、F:点P为其上的动点,当么F椭侧-l的焦点为F1、F,点P为其上的动点,当么FR0可三引引虎-lR-l图222PF:为钝角时,求点横坐标的取值范围解题策略:当FlPF2为直角时,即作以原点为圆心 OF2 为半径的圆若该圆与已知椭圆相交则圆内的椭圆弧所对应的工的取值范围就是所求点P横坐标的取值范围.解;-l的焦点为F1（百,0）.F:（百0）,以原点为圆心,百为半径作
27、圆与椭圆相交于A、B、C、D四点,显然此时FlAF2、FlBF2、乙FlCF2、乙FlDF2都为直角显然当角的顶点P在圆内部的椭圆弧上时,FlPF2为钝角.由椭圆和圆都关于坐标轴对称,汁汕鹏得出点P横坐标的取值范阔是（竿.平）（如图223几图223第六节数形兼硕、相互补充例已知022bC20bC2 试比较实数、b、C的大小关系.46第二聋愁形搪合伪恩慈解题策略:本例可转化为函数图像与不等式表示的区域,以形助教.然而光靠图形尚不能比较、b、C的大小,还需妥作差比较即以数辅形.数形结合的思想方法的实质是将抽象的数学语言和直观图形结合起来,通过对图形的处理发挥直观对抽象的支柱作用;通过对数与式的变换
28、和运算将图像的特征及几何关系刻画得更准确、吏精细.这样就可以使拈象概念和具体形象相互联系、相互补充、相互转化、相互作用求得问题的解决.解由2凰b0b六:,则点（.b）是抛物线防恋,:上的点,由bc:可知（b）是x2上方的点,故满足“:2bf,-0.的点（Cb）应为阴影内的抛物线上除去（）的bC2xO图2-24点所以c,b.这就是数形的结果（如图224）.而b、C的大小关系要用代数的方法解决,b-六:c-贡（c2哑）赤（）:0,所以bC所以bC.顾已知集合A（工,y）b2rLryeR）B（r,y）4:r22工2y50工R）c（zy）y拉b工y后R）是否存在正整数卢和b使得（AOB）c?若存在,求
29、出陀和b的值;若不存在,请说明理由.解题策赂:数形结合的思想简言之就是代数问题几何化、几何问题代数化,充分体现图形的直观性、代数推理的合理性.解题时注意不能用图形的直观代替严密的逻辑推理,本例的解题策略归结起来就是数形兼顾求参数值.解:画出4工22工2y50和y2工1的图像它们分别与y轴正半轴相交于点（0,;）和（0D（如图2251要使（AOB）c就是要直线y拉6与上述两条抛物线均无交点.这时be（l,:）,因为0eN.所以6-a且震细1）鸿土删（I）-垃2,（4r22工2y50均无实数解把o代人得虎2工2（4虎1）r30把代入图碍2延:十（l您）工十-队yA望2-2547漆正兴高中幽檬解题方
30、膛令湖漂所以肉1.因此存在正整数虎1b2满足（AOB）C.皿已知（工）是定义在区间（）上以2为周期的函数对鹿Z用I表示区间（2卢12虎1已知当r巨I0时（工）工2.（1）求（工）在I废上的解析式;（2）对自然数虎求集合M隐使方程（工）工在I废上有两个不相等的实数根）.解题策略:在求出工I隐的函数解析式（Z）（r2k）2之后把问题转化为求函数Jl（工2虎）2,工eI腮 庞N与y2工有两个交点时即直线工的斜率的取值范围.解:（1）因为2是（工）的周期当卢Z时2走也是（r）的周期.又因为当工巨I膛时,（工2k）eI0所以（工）（r2此）（工2肉）2 即对虎Z当r巨I晦时,（工）（x2龙）2.（2）方
31、程（Z）r即对（工2炎）2工有两个All（x-2k）2xl此N（）图226不等实根令yl（工2卢）2 工eI彪,kNy2Z.如图226所示在同坐标系中分别作出yl、y2的图像y2的图像是过原点斜率为的直线方程有两个不等实根的充要条件是两图像有两个不同交点.由图像226可知骂0岿（隐eN）时两图像有两个不冈交点从原方程有两个不等实根时M隆-0冲匝过抛物线工22（户0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A、B两点.A、B在工轴上的正射影分别为C、D,若梯形ABDC的面积为12徊则户解题策赂:本例是典型的圆锥曲线焦点弦问题,可以直接运用代数的方法解即联立方程组与韦达定理结合,但是也可以数形结合这是
32、因为焦点弦问题必须考虑圆锥曲线的几何特征借助几何法解题较为简 单可起到事半功倍的效采.解;解法;直线八B方程为则;,设八（酒,）、B（l由鳃-则十,得.迈鹰2户雁胸-0所以叼鞭-2:-:工2刃.敞s-扣.卜墅-（差差）墅藤:48第二章魁形秸合伪思想-盂（鞭r:）,.（臃恋:）-3:,因为S12】所以3】户212】且户0,所以户2.解法二:如图227所示.由几何关系设直线AB倾斜角为0,根据抛物线定义AF-浚AFsin0所以八F-l;n0BF-BF瓢n,所以BF-l:m0.2户所以ABAFBFCOS20.义因为S-（八CBD）.CD-（AF:BF;）.AB.c。愚0（AB沙）.Bc。s0,且直线
33、AB斜率为,所以-苛将0-f代入得s-（）.粤COD门二勺凸尸图227.芋3-2徊又2因为P0所以户2.厕山口寥）六删.曰,训蜒沁您（.（z工e（0,1有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是（）.（O（凰（号,O（c（;.2）O（0,:n（0（0.:（2）若方程（。g延的解为瑟 方程（）墅。gr的解为恋.则恋堑的取俏范围为解题策赂:第（1）问函数g（工）（工）mr!的零点个数问题就是曲线（正）和动直线y（Z1）的交点个数问题需要画出函数图像利用数形结合思想直观判断出交点个数.而y（工）是分段函数要注意自变量的取值范围.在函数的定义域内画图,再利用直线m（工1）过定点（10）通过转动直线判
34、断何时有两个交点,利用分界点处直线的斜率求解范凰第（2）问,数N-（）夏,测（）.及醚的图像输定工、涎:的取值范虱进而求工l工2的取值范围.解:（1）g（工）（工）rn在（11内有且仅有两个不同的零点就是函数y（工）的图像与函49弯正妥葛中瓤管解题方膛公数y（工1）的图像有两个交点,在同直角坐标系内作出函擞（墅）-孟:.e（l,和函数-獭（墅）的圈（工工巨（011像如图228所示.当直线ym（工1）与y王干I3,r巨（10和删-虹,雾巨（0,1都相交时0当直线-狮节图228ym（工1）,1啡六刷j阮恫太（工1）与y王干I3Z（1,（）有两个交点时由方程m（r1）,即l（工1）23（r1）10化
35、简得2Jr2（2!3）工!20当94p-0.即枷-,直线狮（r1）与驯-太3相切当直线-顺（恋l）过点（02）时枷-:,所以e（,i综上实数咖的取值范围是（,0（0,故选A.（2）由已知得（丫-!.（-在同鹏标系中画出啊数驯（,驯-（）及N-的图像,图220所示,观察图像可知撕10鞭:l.所以0（）（广.即01,两式相加得lOg2工llOg2工20,所以lOg2（工Ljr2）0即0工l工21.Aj-lO尸图2-29第七节数形结合的桥梁构造法陋已知、均为锐角且COS2COS2COS21.求证:tantantan3Z解题策略:由于题设正是长方体的一个重要性质:若长方体的一条体对角线与从一端点出发的
36、三条棱所成角为、则cos2coS2cos21,所以构造长方体运用三角比的定义结合基本不等式问题迎刃而解.证明:由已知条件作长方体ABCI）AlBlClD1,使么ClAD,ClABClAAl（如图230）.50第二聋幽形揩合的思想b2C22b2tanc22设ADAB6AAlC,则tan6,tanC工V2Cl脚于瑟馏:（署）;-（堑卫）0.所以蜒,M（署）所以墅:测署（甄铡0）.从丽存62C2C222b2tantantan十b十CB7q、Dl电FB沪AD墨2-30郴仰十仰十冲哑六（;）（）（;）苇（22:）-3徊当且仅当bC时取等号故tantantan3】.囤试求圈数（堑）-堑3延2工5堑幽寺六的
37、最小值解题策略:数形结合思想的核心是“以形助数以数解形”使复杂问题简单化抽象问题具体化从而找到解题思略使问题得到解决.以形助数常用的有:借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法、向量知识.以数解形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结采与几何定理的结合.本例粗看似乎无从着子若能构造出抛物线方程使问题转化为抛物线上动点到两个定点的距离之和利用抛物线的定义结合乎面上两点距离的线段为最短则问题可顺畅解出.正如宋朝诗人杨万里的诗匀:“莫问早行奇绝处四方八面野香来.一旦掌握了数与形之间的辩证关系就会消除解题过程中的心理障碍不断提高心理素质和解题能力.d（l2）2解;（甄）-（
38、题）（鞭2）,堑鸳（酣哩）构造动点P（工工2）则P的轨迹方程为y工2设A（1.2）,F（0,）,则F正好为抛物线工2y的焦点抛物线准线方程为;鲤（如图23D,过点P作PH上于H过A作AH0上于H0交抛物线于P0.故有（堑）-PAPF-PA十PHAH-2（pl们HHb图231日）当目仅当P在P处时（鞭）取得鼓小值例j对于具有相同定义域D的函数（Z）和g（工）若存在函数!（工）hrb（克b为常数）对任给51h毛C曹正兴高中魁檬解题方膛公.总有0（工）h（堑）.则称直0h（工）g（工）m,的正数加,存在相应的Z0D使得当工后D且工Z0时线:y陀工6为曲线y（工）与g（工）的“分渐近线,给出定义域均为
39、D工工1）的四组函数如下:o（r）工2,g（r）了;（r）10墅2g（工）丝二旦.r图（甄）-g（堑卢l哺;函（堑）-判,凰）-2（堑l喧 叭2司.r其中,曲线y（工）与yg（Z）存在“分渐近线的是（）.A.OB.CD解题策赂:本例是新概念题主妥考查对新概念的理解以及函数的图像与性质.直接运用新概念中的不等式组解难度较大借助于图像是解决问题的最好方法,同时考查学生思维能力及创新意识.本例突出了数形结合的思想,在运用图像之前对解析式应作些变形,使之朝基本函数靠近,从而使函数图像容易作出.解:由题意知工时（工）与g（r）有相同的渐近线且（r）与g（工）图像分别在渐近线的两侧.由o（工）工2g（工）
40、万的图像（如图232）知,当工1时,两图像无渐近线不合题意由（延）（六2,g（）-2的图像（如图233）知,（工）与g（工）有相同的渐近线h（工）2且（r）与g（工）分别在渐近线两边符合题意由o（堑）-罕,凰（堑）黑l堑亡的图像（图2驯）知当工1时（工）与g（Z）的图像有共同的渐近线yr但（工）与g（工）的图像在渐近线同侧（如图234）不合题意由翻j（工）第-2 堑1卜六凰（甄）-2（堑l）的图像（如图235）知当时,0.所以g（）的渐近线为型-2（孤u由图像知（工）与g（工）有共同的渐近线h（工）2（工1）且（工）与g（工）的图像分别在渐近线两侧,符合题意故选C.）力（x）A、孟雨炯一A（力
41、货夕、岁飞3（x）-估）蹦2-7二力（x）22l 砾hox）旷号翘尸义4xOl图235图234图 2-32图2-3352第二素魁形楷合的思想专题训练二:数形结合的思想-、填空题 lgZ1L设定义域为R的函数（扩）0,有7个不同实数解的充要条件是.rl,则关于工的方程2（工）b（工）C（）工1,2.已知方程工2是.工30（）有两个不相等的实数根则实数的取值范围3.已知方程元（I元丁工40有两个不相等的实数根则实数的取值范围是4.若圆工2y24工4y10（）上至少有三个不同的点到直线:工by0的距离为2】则直线的倾斜角的取值范围是.5.方程工22“的解的个数为方程工2sin工的解的个数为.6巳知函
42、数删-子广的图像与函数y-粒的图像恰有两个交点则实数的取值范围是7.设、走是实数且存在唯的03）使得243虎0则陀的取值范围是8.已知曲线M:（工1）2（y3）2（工4）2（y1）2丽,CD是其上的两点则-CD的最大值是9.已知函数y（工）的反函数为yl（工）且方程（工）r20与l（r）工20的实数解分别为与,则的值为.10.设eR,若0时均有（1）工1（r2工1）（）则11.设工e0,2冗关于工的方程sin工2sin工陀2内0有四个实根则实数h的取值范围是。l2啊数删-j旱罢羔 的最大值是;最小值是二选择题13.设抛物线y22工的焦点为F过点M（百0）的直线与抛物线相交于A、B两点与抛物线的
43、准线相父于点C,B-2则BcF与ACF的面帜之比羔-（1ABCD14.不等式工3工1 23对任何工恒成立,则实数的取值范围是（）.53.净正妥葛中魁眷解题方膛令A.（1O4）C.1,2B.（,2O5,。）D.（,1（2。）则:;的最小值为（）八爷BC.早D4O16.在等腰直角三角形ABC中,ABAC4点P在边AB上异于A、B的点.光线从点P出发,经BC、CA反射后又回到原点P（如图所示）.若光线QR经过ABC的重心,则AP等于（）.A。2CBD三解答题2217若椭圆莆背-l与抛物线酗-工狮有四个公共点,试探讨、6匝CA有四个公共点试探讨、6、m应P第16题图B满足的关系与一皿陌占中为18.如图所示在RtABC中,已知BC若长为2的线段PQ以点A一-的夹角0取何值时BPCQ的值最大?并求出这个最大值CB么4第18题图54第二素愁形猪合伪恩想已铡网数（露（2篮kr2）qrl）延L（1）设（Z）2,求工的取值范围;（2）设g（工）（工）lg且方程g（工）0有四个不同的实根,求实数的取值范围19。20.（1）设非空集合A工2工）B（yy2工3且z巨A）,C乏z工2,且工巨A）.若C二B求实数的取值范围（2）设工、ze（0,1）求证:工（1y）y（1逼）z（1工）1.55。
