1、第二章函数、导数及其应用第十二节导数的应用(一)抓 基 础明 考 向提 能 力教 你 一 招我 来 演 练备考方向要明了考 什 么1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).怎 么 考1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.一、函数的单调性与导数1函数f(x)在某个区间(a，b)内
2、的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若，则f(x)在这个区间内是常数f(x)0f(x)0或f(x)0，f(x)在(0,2)上递增答案：A3函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个B2个C3个D4个解析：若f(x)0，则f(x)单调递增；若f(x)0，则f(x)单调递减极小值点应有先减后增的特点，即f(x)0.由图象可知只有1个极小值点答案：A4(教材习题改编)函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_解析：
3、f(x)3x230 x333(x11)(x1)，当1x11时，f(x)0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_解析：f(x)3x2a在x1，)上f(x)0，则f(1)0a3.答案：31f(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件2可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件例如函数yx3在x0处有y|x00，但x0不是极值点此外，函数不可导的点也可
4、能是函数的极值点例1(2011天津高考改编)已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.(1)当t1时，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)当t0时，求f(x)的单调区间巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！)1(2012舟山模拟)已知函数f(x)x23x2ln x，则函数f(x)的单调减区间为_2(2011丽水一模)已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调递减函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对
5、xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立ex0，x2(a2)xa0对xR都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在R上单调递减冲关锦囊求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)，令f(x)0，求出它们在定义域内的一切实数根(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R
6、上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，因此4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知00,2a3x，2a6.a3.即a的取值范围是3，)冲关锦囊求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格(4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.精析考题例3(2012兰州调研)已知实数a0，函数f(x)ax(x2)2(xR)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求实数a的值巧练模拟(课堂突破保分
7、题，分分必保！)5(2012台州调研)f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能是图中的()答案：A解析：x(，2)(0，)时f(x)0，在(，2)和(0，)上f(x)是减函数，排除B、C、D.因为f(x)的定义域为x|x1，所以有：x(，3)3(3，1)(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以，f(x)的单调递增区间是(，3)，(1，)，单调递减区间是(3，1)，(1,1)冲关锦囊1求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能2如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“”连接，只能用“，”或“和”字隔开解题样板 导数应用问题的规范解答高手点拨在解答本题时，易误点是：一是求导后不会因式分解；二是由增函数得出3ax23ax10；三是对a的值不加讨论；四是当a0时，不会求a的范围在解答解答题时，要注意以下几点：(1)审题的规范性：明确条件，分析条件与目标的联系，确定解题思路(2)语言叙述的规范性：要注意解题的步骤清楚，正确完整，不要漏掉必要的说明及出现跳步严重的现象(3)答案的规范性：解完题目要准确写出答案，特别对分类讨论问题一定要将答案整合点击此图进入
