1、高三数学（文科）第 1 页共 6 页20192020 学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）数学（文科）试题参考答案一、填空题：1.0 x x(或(0)，)；2.1；3.27；4.14；5.20；6.(2)，；7.31；8.9 34；9.825；10.22(2)(2)2xy；11.(21)，；12.4 243；13.2516；14.522，二、解答题：15.解：(1)因为2()13cos22sin()3cos2cos(2)42f xxxxx sin 23cos22sin(2)3xxx，-2 分所以，()f x 的最小正周期22T.-4 分由 32 22 232kxkkZ，得 71212kxk
2、kZ，.所以，()f x 的单调递减区间为 7()1212kkkZ，.-6 分(2)由题意知，函数()yf x在区间 4，上的图象与直线 ym有两个不同的交点由(1)知，函数()f x 在 7412，上单调递减，在 712，上单调递增，所以min7()()212f xf ，又()14f，()3f，-10 分所以，当 21m 时，函数()yf x在区间 4，上的图象与直线 ym有两个不同的交点，即方程()0f xm在区间 4，上有两个不同的实数解所以，实数 m 的取值范围为(2 1，-14 分16.(1)证明：因为底面 ABCD 是矩形，所以/ABCD，又因为 ABPCD 平面，CDPCD 平面
3、，所以/ABPCD平面，-3 分又因为 ABEF，四点共面，且ABEFPCDEF平面平面，所以/ABEF.-6 分(2)证明：在矩形 ABCD 中，CDAD，又 PACD，PAADA，PAADPAD，平面，所以，CD 平面 PAD，而 AF 平面 PAD，所以 AFCD.-8 分由(1)可知，/AB EF，又因为/ABCD，所以/CDEF，而点 E 是棱 PC 中点，所以点 F 是棱 PD中点，-10 分高三数学（文科）第 2 页共 6 页又 PAD中 PAAD，所以 AFPD，因为 PDCDD，PDCDPCD，平面，所以，AF 平面 PCD-14 分17.解：(1)设椭圆C 的焦距为 2c，
4、则222cab，由离心率12cea得：222314bea ，又椭圆C 过点3(1)2，所以221914ab，由、解得：2243ab，所以，椭圆C 的方程为22143xy.-6 分(2)由(1)知，右焦点 F 坐标(1 0)，椭圆C 的右准线l 方程为4x，点 P 坐标(4 0)，.当直线 AB 的斜率不存在时，直线OM 与线段 AB 交点 D 即为右焦点 F，此时点 D 为线段 AB 的中点.-8 分又由 MFAB知，直线 AB 的斜率不为 0，故设直线 AB 的方程为1xmy，从而，直线 MF 的方程为(1)ym x，令4x 得，M 点坐标为(43)m，故直线OM 的方程为34myx.-10
5、 分联立方程组221143xmyxy，消去 y 得：22(34)690mymy，设1122()()A xyB xy，则21 2236134mmym，即122634myym，122934yym，从而，线段 AB 的中点2243()3434mNmm，.又线段 AB 的中点 N 的坐标满足方程34myx，所以，直线OM 与线段 AB 交点 D 为 N 点，即点 D 为线段 AB 的中点.综上可知，点 D 为线段 AB 的中点.-14 分18.解：(1)设OPx，OQy，(单位：千米)在 OPQ中，由余弦定理得：2222cosPQOPOQOP OQPOQ，因为6PQ，23POQ，OPx，OQy，所以，
6、222262cos233xyxyxyxyxy，故12xy，当且仅当2 3xy时取得等号，-4 分此时，123sin3 3234OPQSxyxy(平方千米).-6 分所以，当 PQ，两点距离O 点都为 2 3 千米时，OPQ的面积最大，最大面积为 3 3(平方千米).-8 分高三数学（文科）第 3 页共 6 页(2)由(1)知，要求四边形 MPOQ面积的最大值，只需求 MPQ面积的最大值.方法一：在 MPQ中，106MPMQPQ，所以点 M 的轨迹是以 PQ，为焦点，长轴长10 的椭圆(夹在两海岸线OAOB，区域内的曲线)，-10 分以 PQ 所在直线为 x 轴，PQ 的垂直平分线为 y 轴建立
7、平面直角坐标系，设点 M 所在的椭圆方程为22221(0)xyabab，焦距为 2c，由5a，3c 得：22216bac，所以点 M 所在的椭圆方程为2212516xy.-12 分设00(,)M xy，则000116322MPQSPQ yyy，因为04y，所以0312MPQSy(平方千米)，当且仅当5MPMQ(千米)时取得等号.-14 分所以，四边形 MPOQ面积的最大值为123 3(平方千米).-16 分方法二：在 MPQ中，设 MPm，MQn(单位：千米)，PMQ，则10mn，由余弦定理得：2222cosPQMPMQMP MQ，即2222262cos()2(1cos)102(1cos)mn
8、mnmnmnmn，故232()251cos2mnmn，从而7cos25，当且仅当5mn时取得等号.-12 分所以，MPQ的面积116sin1cos2sin1616121cos1cos1cosSmn，令7cos25t ，则21611St，因为21611St 关于t 单调递减，所以当7cos25 时，MPQ的面积取得最大值，最大值为221653122 (平方千米)，-14 分所以，四边形 MPOQ面积的最大值为123 3(平方千米).-16 分19.解：(1)因为数列 na的前 n 项和nS 满足*23(1)()nnSanN，所以当2n 时，1123(1)nnSa，两式相减得：1233nnnaaa
9、，即13nnaa(2)n，-2 分又1n 时，1123(1)Sa，解得：130a，所以数列 na是以3为首项，3为公比的等比数列，从而3nna.-4 分(2)由(1)知：1113111()(1)(1)(31)(31)2 3131nnnnnnnnnabaa，-6 分所以，12122311111111()()()2313131313131nnnnTbbb111 1111()2 23142(31)nn，-8 分高三数学（文科）第 4 页共 6 页因为对任意的*nN，1102(31)n，所以，*1()4nTnN.-10 分(3)由(1)知：3232nnnnnaca，假设存在互不相等的正整数 mst，满
10、足条件，则有22,(1)(1)(1).smtmtsccc 由332nnnc 与2(1)(1)(1)smtccc得2333(1)(1)(1)323232smtsmt，即232 32 334 3m tmtss 因为2mts，所以332 3mts-14 分因为332 32 3mtm ts，当且仅当 mt 时等号成立，这与 mst，互不相等矛盾所以不存在互不相等的正整数 mst，满足条件-16 分或：由332 3mts及2mts 得：2332 3m tmt，即222(33)0mt，所以，mt，这与 mt矛盾，所以不存在互不相等的正整数 mst，满足条件20.解：(1)当2a 时，333321,2()2
11、32325,.2xxxf xxxxxx 当32x 时，2()32fxx，由()0fx得：6633xx 或，又32x，所以，663332xx 或，即()yf x在6()3，和6 3()32，上单调递增；又32x 时，2()320fxx恒成立，故()yf x在 3)2，上单调递增；综上可知，函数()yf x的单调递增区间为6()3，和6()3，.-4 分(2)33331,()3235,.xaxxaf xxaxxaxxa 当3xa时，2()3fxxa，因为0a，所以()0fx恒成立，即函数()yf x在 3)a ，上单调递增；高三数学（文科）第 5 页共 6 页当3xa时，2()3fxxa，因为0a
12、，由()0fx得3ax ，若33aa，即 03a时，函数()yf x在()3a，上单调递增，在()33aa，单调递减，在()3a，上单调递增.-6 分因为函数()yf x只有一个零点，且2()10333aaaf ，所以只要2()10333aaaf ，解得33 202a.-8 分若33aa，即3a 时，函数()yf x在()3a，上单调递增，在3()3aa，单调递减，在 3()a，上单调递增.因为2()10333aaaf ，3327()20f aa，所以函数()yf x有两个零点，不合题意.综上可知，实数 a 的取值范围是33 2(0)2，.-10 分(3)当3xa时，设切点为3000(5)xx
13、ax，因为切线的斜率200()3kfxxa，所以320000532xaxxax，化简得320026520 xxa.令32()2652g xxxa，则2()6126(2)g xxxx x，因为 01a，所以 33a，从而函数()g x 在 3()a，上单调递增，又3354(1)()520agaaa，此时函数()g x 在 3)a，没有零点，即没有符合题意的切线.-12 分当3xa时，同理可得：320026210 xxa.令32()2621h xxxa，则2()6126(2)h xxxx x，因为 33a，所以函数()h x 在(0)，单调递增，在(02)，单调递减，在3(2)a，单调递增，因为(
14、0)21ha，(2)27ha，3354(1)()21ahaaa，又由 01a 知，(2)270ha，所以，当102a时，(0)210ha，3354(1)()210ahaaa，故函数()h x 只有1个零点，即符合题意的切线只有1条；当12a 时，(0)210ha，3354(1)()210ahaaa，故函数()h x 有 2 个零点，高三数学（文科）第 6 页共 6 页即符合题意的切线有 2 条；当 112a 时，(0)210ha，3354(1)()210ahaaa，故函数()h x 有 3 个零点，即符合题意的切线只有 3条；综上可知，当102a时，过点(2 0)P，有1条直线与曲线()yf x相切；当12a 时，过点(2 0)P，有 2 条直线与曲线()yf x相切；当 112a 时，过点(2 0)P，有3条直线与曲线()yf x相切.-16 分
