1、北京市第六十六中学2021届高三数学上学期期中试题（含解析）选择题(每小题4分，共40分)1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由集合的表示可得，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2. （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由两角差的余弦函数，可得，故选3. 下列函数中，值域为的偶函数是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为
2、偶函数，但，不满足条件，故选C考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域4. 已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为数列的公差为2的等差数列所以，因为，成等比数列所以，即，解得故答案选考点：1等差数列的通项公式；2等比数列中项5. 设函数的图象为，下面结论中正确的是（ ）A. 函数的最小正周期是B. 图象关于点对称C. 图象向右平移个单位后关于原点对称D. 函数在区间上是增函数【答案】B【解析】【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项的正误；利用代入检验法可判断B选项的正误；求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的基本性质可判
3、断C选项的正误；由可求出的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，函数最小正周期为，A选项错误；对于B选项，所以，图象关于点对称，B选项正确；对于C选项，将图象向右平移个单位后所得函数的解析式为，函数不是奇函数，C选项错误；对于D选项，当时，所以，函数在区间上不单调，D选项错误.故选：B.【点睛】对于正弦型函数在区间上单调性的判断，一般先由计算出的取值范围，再结合正弦函数的单调性来进行判断.6. 已知向量，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为，所以,选C.【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解
4、能力，属基础题.7. 已知，满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将转化为是函数的零点问题，再根据零点存在性定理即可得的范围，进而得答案.【详解】解：因为函数在上单调递减，所以；因为满足，即是方程的实数根，所以是函数的零点，易知函数f(x)在定义域内是减函数，因为，所以函数有唯一零点，即.所以.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将满足转化为是函数的零点，进而根据零点存在性定理即可得的范围.8. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将绝对值符号去掉，将函数写成分段
5、函数形式，即可判断函数图象；【详解】解：因为当时，当时，所以，故排除AC；当时，故排除D；故选：B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9. 函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】，恒有解，或，当时，（舍去），或，故选10. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数
6、关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点都在函数的图象上，所以，解得，所以，因为，所以当时，取最大值，故此时t=分钟为最佳加工时间，故选B.考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.二填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分)11. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点在第二象限，则点的坐标为_【答案】【
7、解析】，故答案为12. 在中，、所对的边分别为、，已知三个内角度数之比，那么三边长之比等于_【答案】【解析】，故答案为13. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数，则的表达式为_【答案】【解析】，向右平移个单位，故答案为14. 数列的前项和满足，则数列的通项公式_【答案】【解析】，故答案为15. 若函数f(x)= (且)有两个零点，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：令，则，当时，为减函数，为增函数，至多只有一个交点，不符合题意.当时，的图像显然有两个交点，故.考点：函数的单调性，函数图象与性质.【思路点晴】与指数函数有关的试题，大都以其性质及图象为依托，结合推理、运算来解决，往往
8、指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论比较两个对数值的大小，若同底数，考虑应用函数的单调性；若底数不同，首先化同底数.对数函数的定义域、值域问题，要考虑底数大于零且不为，真数大于零数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的应用，是本题的一突出特点三解答题(本题共6小题，共85分)16. 等差数列满足，.（1）求的通项公式.（2）设等比数列满足，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算，从而求出，利用等比数列前项和公式即可求出.【详解】解：()是等差数列，解出，.()，是等比数列，b1=417. 已知
9、等差数列的首项，公差，前项和为，且（）求数列的通项公式；（）求证：【答案】（）；（）证明见解析【解析】试题分析：（）已知等差数列的首项，公差，由等差数列的前项和公式即可求得数列前项和为，再由，进而求得数列的通项公式；（）由（）知，利用裂项求和法，即可求得，最后放缩即可得证试题解析：（）因为数列是首项，公差的等差数列所以由等差数列的前项和公式得，数列前项和为由，得（）由（）知所以又，所以考点：1等差数列的求和公式；2数列的求和方法18. 已知函数，是的一个极值点，求：（1）实数a的值；（2）在区间上的最大值和最小值【答案】（1）；（2）最大值是2，最小值是【解析】【分析】（1）根据解得；（2）令
10、，得，列出当x变化时，的变化情况表，根据表格可得答案.【详解】（1）因为，在处有极值，所以，即，所以经检验时，在时取得极小值，所以.（2）由（1）知，所以，令，得，当x变化时，变化情况如下表：x02300单调递增2单调递减单调递增2由上表可知在区间上的最大值是2，最小值是【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了利用导数求函数的最值，属于基础题.19. 已知向量，.（1）若，求；（2）设，求的单调减区间；【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，解得，由的取值范围即可解出；（2）化简得，令即可求出单调递减区间.【详解】解：（1）若，则，即，又，或，或；（2），令，得，的单调减
11、区间是.20. 设函数（）求数的最小正周期和对称轴方程（）锐角的三个顶点，所对边分别为，若，求及边（）若中，求的取值范围【答案】（）对称轴方程：（），（） 【解析】试题分析：（1）利用诱导公式、和差化积公式、积化和差公式进行计算得到，据此求得其最小正周期和单调区间；（2）利用（1）的结论得到，易得，由正弦定理得到：sinB=，结合角B的取值范围和特殊角的三角函数值推知角B的大小，利用三角形内角和定理可以求得角C的大小，所以由余弦定理来求c的值即可（3），或，在中，化简，解出A的范围再求出原式的范围.试题解析：（）,最小正周期，对称轴方程：，（），又是锐角三角形，又，解出或又由正弦定理，在锐角中
12、，在中，综上，（），或，在中，又,令，原式,在中，且，代入不等式，解出，所以原式的取值范围是.点睛：本题考查了正弦定理、余弦定理，三角函数的周期性和单调性，函数y=Asin（x+），xR及函数y=Acos（x+）；xR（其中A、为常数，且A0，0）的周期T=2，解题时注意题干中限制为锐角三角形.21. 已知关于的函数（）当时，求函数在点处的切线方程（）设，讨论函数的单调区间（）若函数没有零点，求实数的取值范围【答案】（）（）在单调递增，在单调递减（）【解析】试题分析：（1）a=-1时，求函数f（x）的导数，求出切线的斜率，点斜式写出在处的切线方程（2），分类讨论当时，当时的单调性（3）求F（x）的导数，利用导数判定F（x）的单调性与极值，从而确定使F（x）没有零点时a的取值试题解析：（）当时，即在处的切线方程为（），当时，在上恒成立，在单调递增，当时，令，解得，令，解得，在单调递增，在单调递减（）没有零点，即无解，与两图象无交点，设两图象相切于点，两图象无交点，点睛：研究函数零点的问题，转化为方程的根的问题，再对式子进行变形处理可以转化为两个函数图像交点的问题，利用导数分别研究函数的单调性，对于直线与曲线的位置关系里相切状态是临界.
