1、第二节 平面向量的基本定理及坐标表示基础梳理1.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,一对实数1,2,使a=.其中,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=1e1+2e2的形式,我们称它为向量a的分解.当e1,e2所在直线时,这种分解称为向量a的正交分解.不共线有且只有1e1+2e2不共线的向量e1,e2互相垂直(3)平面向量的坐标表示一般地,对于向量a,当它的起点移至原点O时,其终点的坐标(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作.若分别取与x
2、轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,则a=x i+y j.2.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量aba+baba坐标(x1,y1)(x2,y2)a=(x,y)（x1+x2,y1+y2)（x1-x2,y1-y2）(x1,y1)(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2x1,y2y1),即一个向量的坐标等于该向量的坐标减去的坐标.(3)平面向量中平行(共线)向量的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a0,则a与b共线b=,.终点始点ax1y2-x2y1=0基础达标1.(必修4P73练习5改编)已知A(2,3),B(5,3),a=
3、(x+1,x-2y)与相等，则实数x,y的值分别是.2.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b=.3.(2011湖南雅礼中学月考)已知点G是ABC的重心，(,R),那么+=.4.(必修4P75练习1改编)向量a=(2,5)与b=(x,-15)平行,则x=.5.(必修4P73练习2改编)已知O是坐标原点，点A在第一象限，,xOA=60,则的坐标为.2，1(5，14)6经典例题题型一平面向量基本定理【例1】如图,在OAB中,AD与BC交于点M,设=a,=b,以a、b为基底表示.分析：本题可用待定系数法,设=ma+nb(m,nR),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值
4、.解：设=m a+n b(m,nR),则=(m-1)a+n b,.因为A,M,D三点共线,所以,即m+2n=1.而,又因为C,M,B三点共线,所以,即4m+n=1.由,解得,所以.变式1-1如图所示，OADB是以向量=a,=b为边的平行四边形，点C为对角线AB、OD的交点，又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示,.又题型二平面向量的坐标运算【例2】已知点A(-1,2),B(2,8)以及,求点C、D的坐标和CD的坐标.分析：根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式列方程组,求出坐标.解：设点C、D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意得AC=(x1+1,y1-2),A
5、B=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为,所以有和解得和所以点C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而=(-2,-4).变式2-1（2010山东改编）定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的 a=(m,n),b=(p,q)，令ab=mqnp，则下面说法错误的有.（写出所有错误说法的序号）若a与b共线，则ab=0;ab=ba;对任意的R，有(a)b=(ab).若a与b共线，则有ab=mq-np=0，故正确；因为ba=pn-qm，而ab=mq-np,所以abba，故错误；易证正确.故应该填.解析：题型三平面向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(
6、3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若(a+k c)(2b-a),求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b),且|d-c|=1,求d.分析：(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.(2)由两向量平行及|d-c|=1得出关于x,y的两个方程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d.解：(1)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=.(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,解得变式3-1已知梯形ABCD中，,
7、A(1,1),B(3,2),C(3,7),若,求D点坐标.解：设D点坐标为(x,y),则=(x-1,y-1),=(2,-3),=(x+3,y+7),=(-6,-5),2(y+7)+3(x+3)=0,即3x+2y+23=0,又,(x-1)+10(y-1)=0即x+10y-11=0,由,得D点坐标为(-9,2).题型四 向量的综合应用问题【例4】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及 ,试问:(1)t为何值时,点P在x轴上?在y轴上?点P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.分析：利用向量相等，建立点P(x，y)与已知向量之间的关系，
8、表示出P点的坐标，然后根据实际问题确定P点坐标的符号特征，从而解决问题解：(1)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，(1,2)，(3,3)，(13t,23t)若点P在x轴上，则23t0，解得t=；若点P在y轴上，则13t0，解得t；若P在第二象限，则解得 t.(2)(1,2)，(33t，33t)，若四边形OABP为平行四边形，则，而无解，故四边形OABP不能成为平行四边形变式4-1如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.解析：方法一：设P(x，y)，则(x，y)，(4,4)，共线，4x4y0.又(x2，y6)，(2，6)，且向量、共线，6(x2
9、)2(6y)0.解由组成的方程组，得x3，y3点P的坐标为(3,3)方法二：设t(4,4)(4t,4t)，则(4t,4t)(4,0)(4t4,4t)，又(2,6)(4,0)(2,6)，由，共线的充要条件知(4t4)64t(2)0，解得t，(4t,4t)(3,3)，P点坐标为(3,3)易错警示【例】已知点A(1,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为.错解 由A(1,2),B(3,6)知 ,.错解分析 与 共线有两种情况:一是同向共线,一是反向共线,“错解”中忽略了反向共线这一情况.正解解析：与同向时为，与反向时为.链接高考（2010陕西）已知向量a=(2,1)，b=(1,m),c=(1,2),若(a+b)c，则m=.知识准备：1.会进行向量的加法运算；2.知道向量平行的充要条件（平行向量的坐标表示）.解析：ab(1，m1)，c(1,2)，由(ab)c，得12(1)(m1)0m1.
