1、第二十一讲三角函数的性质回归课本1.正余弦曲线的定义正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.2.周期函数对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.正弦函数余弦函数都是周期函数,2k,kZ都是它们的周期,最小正周期是2.3.正弦函数余弦函数的图象和性质如下表4.y=tanx的性质(1)定义域是x|xk+,kZ.(2)值域是R,即正切函数既无最大值,也无最小值.(
2、3)周期性:正切函数是周期函数,最小正周期是.(4)奇偶性:正切函数是奇函数.(5)单调性:正切函数在开区间kZ内都是增函数.(6)对称性:正切函数的图象关于原点对称,正切曲线是中心对称图形,其对称中心坐标是(kZ).正切函数无对称轴.5.y=tanx(xk+kZ)的图象考点陪练1.函数的定义域是()A.x|2k-x2k+,kZB.x|2kx2k+,kZC.x|2k-x2k,kZD.xR答案:D2.若的最小正周期为T,且T(1,3),则正整数的最大值是()A.5B.6C.7D.8答案:B答案:C答案:C5.函数xR是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案:B类型一
3、三角函数的定义域解题准备:求函数定义域的题型,关键是求使式子有意义的x的取值范围,将问题转化为解不等式,此题是解三角不等式,常用的方法有:利用单位圆中的三角函数线;利用三角函数的图象;利用函数单调性,一定要与相应三角函数的周期联系起来.分析先写出使函数有意义的不等式或不等式组,再利用三角函数图象或单位圆求解集.反思感悟求三角函数的定义域,既要注意一般函数的定义域的规律,又要注意三角函数本身的特有属性,如题中出现tanx,则一定有xk+,kZ.求三角函数的定义域通常使用三角函数线三角函数图象或单位圆.类型二三角函数的值域及最值问题解题准备:三角函数的值域及最值问题,实质上大多是含有三角函数的复合
4、函数的值域问题,常用的方法有:化为代数函数的值域或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用换元配方等方法求解.【典例2】求下列函数的值域:(1)y=2cos2x+2cosx;(2)y=3cosx-sinx;(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.分析先将原函数式进行等价变形,利用|sinx|1,|cosx|1,但要注意自变量的取值变化.反思感悟(1)将原函数式化为y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B型或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,利用换元法进行配方可解决问题.(2)关于y=acos2x+bcosx+c,a0(或y=asin2x+bsinx+c,a
5、0)型或可化为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题,切忌忽视函数的定义域.(3)换元法,旨在三角问题代数化,要防止破坏等价性.类型三三角函数的单调性解题准备:与三角函数单调性有关的问题1.单调区间的求法函数y=Asin(x+)(A0,0)的单调区间的确定,基本思想是把x+看作一个整体,比如:由2k-x+2k+(kZ)解出x的范围,所得区间即为增区间,由2k+x+2k+(kZ)解出x的范围,所得区间即为减区间.2.如何比较两个三角函数值的大小比较三角函数值的大小,往往是利用奇偶性或周期性转化为同一单调区间上的两个同名函数值,再利用单调性比较.反思感悟(1)求形如y=Asin(
6、x+)或y=Acos(x+)(其中A0,0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:把“x+(0)”视为一个“整体”;A0(A0,所以函数y的周期与函数y2=1+|sin2x|的周期相同,而y2=1+|sin2x|的周期为所以函数y=|sinx|+|cosx|的周期为评析求三角函数的最小正周期主要有三种方法:一是根据定义,但要注意体现最小;二是利用三角函数的图象;三是公式法,即函数y=Asin(x+)+B,y=Acos(x+)+B,y=Atan(x+)+B(0)的最小正周期分别为错源四利用正切函数图象求解方程根作图有误而致错剖析产生错解的原因是对y=sinx与y=ta
7、nx的图象的性质认识不清.答案A技法求函数周期的若干策略一数形结合当一个函数的周期不容易求得时,画出它的图象是行之有效的好方法.【典例1】已知函数指出函数的最小正周期.显然函数的最小正周期为T=2.二转化与化归形如“y=tanx+cotx”、“y=tanx-cotx”类型的正切函数可以通过化简转换成单一函数名称的三角函数,然后再求周期.【典例2】求函数y=tanx+cotx的周期.解 故周期为.方法与技巧形如“y=tanpx+tankx(kp)”类型的正切函数,应分别求两个函数的最小正周期,然后求这两个正周期中分母的最小公倍数和分子的最大公约数.三回归定义【典例3】求函数y=|tanx|+|cotx|的最小正周期.方法与技巧若盲目套用y=|tanx|、y=|cotx|的周期分别为T=,则会得出错误结论.
