1、奥数拓展第六讲：多边形的面积综合-数学五年级上册人教版一、选择题1比较下面阴影部分的面积，（）是错误的。 A图中阴影部分的面积等于图中阴影部分的面积B图中阴影部分的面积等于图中阴影部分的面积C图中阴影部分的面积不等于图中阴影部分的面积2一个等腰直角三角形的斜边长为a厘米（如图），则这个三角形的面积是（）平方厘米。AaBa2CaDa23一个用木条钉成的长方形，用手将长方形拉成平行四边形，如图所示。关于面积的变化，下面说法正确的是（）。A面积变大B面积变小C面积不变D无法确定4七巧板起源于我国先秦时期，古算书周髀算经中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，把一幅七巧板按如图所示进行17编号，
2、17号分别对应着七巧板的七块。图所示的“天鹅”是由这幅七巧板拼成的，“天鹅”头颈由3号和6号块构成，其面积为3，则图大正方形的边长为（）。A8B6C4D25将一个梯形割补成一个三角形（如图所示），面积和原来相比（），周长与原来相比（）。A不变；变大B不变；变小C变小；变大D无法确定6如图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，阴影部分的面积是（）平方厘米。A20B18C16D22二、填空题7下图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，其中几个三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是( )平方厘米。8图中ABCD为正方形，E为AB的中点，阴影部分的面积是21cm2，正方形ABCD的
3、面积是( )cm2。 9如图，在三角形ABC中，D是边AB的中点，可知ADBD，则三角形BCD与三角形ACD的面积相等。(1)如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB和AC两边的中点。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。(2)如图，在三角形ABC中，把AB边三等分、AC边四等分。已知三角形ADE的面积是2cm2，则三角形ABC的面积是( )cm2。(3)如图，在平行四边形ABCD中，把AB边五等分、AD边六等分。已知平行四边形ABCD的面积是15cm2，则三角形AEF的面积是( )cm2。10如图，在ABC中，BC3BE，AC4CD。已知ADE的面积是36cm
4、2，那么，ABC的面积是( )cm2。11直角三角形ACD中，阴影部分的面积为（如图）。已知，AC长( )cm。12一个直角梯形，如果把下底减少4dm，这个梯形就变成一个边长是8dm的正方形。这个梯形的面积是( )dm2。13下图中，长方形ABCF与长方形ACDE部分重叠。(1)AE长( )cm。(2)如果三角形的面积是8.64，那么三角形的面积是( )。14下图是一个直角梯形，如果把上底延长4厘米，就变成了一个长方形，这样，直角梯形的面积就增加了12平方厘米。原来的这个直角梯形的面积是( )平方厘米。三、解答题15按要求画一画、填一填、算一算。（每个小方格的边长是1cm）三角形ABC是一个轴
5、对称图形，请你补全这个三角形，并标出点C。在图上用数对表示三角形顶点B和C的位置，观察它们的数对，你发现了什么？_图中三角形ABC的面积是（）cm2，在方格纸上画一个和这个三角形面积相等的平行四边形。16如图，三角形ABC中，底和高都是6厘米，点A和点C同时以0.5厘米/秒的速度向右平移，形成一个梯形，经过几秒后，梯形的面积达到42平方厘米？17如图，是长方形ADEF和直角梯形ABCD组成的组合图形，已知长方形AFED的面积是90平方厘米，求阴影部分面积。18如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你说明理由这两个平行四边形的面积相等。19将一个平行四边形分成一个三角形和一个梯形（
6、如下图），两部分的面积相差40平方厘米，求线段EC的长度。20如图（单位：cm），同一直线上的直角梯形和长方形相距10cm，直角梯形的上底是2cm，下底是4cm，长方形的长是20cm，宽6cm。现在直角梯形按每秒2cm的速度匀速向右平移。（1）画出直角梯形平移6秒后的位置，这时它与长方形重叠部分的面积是多少平方厘米？（2）在直角梯形平移的过程中，整个直角梯形与长方形完全重叠的时间维持了几秒？参考答案：1B【分析】设大、小正方形的边长分别为a和b，分别用a和b表示出每个图形中阴影部分的面积，再逐项判断即可。【详解】设大、小正方形的边长分别为a和b，中阴影部分的面积为：ab；中阴影部分的面积为：a
7、b；中阴影部分的面积为：a2；中阴影部分的面积为：b2；A.图中阴影部分的面积等于图中阴影部分的面积，说法正确；B.图中阴影部分的面积不等于图中阴影部分的面积，原说法错误；C.图中阴影部分的面积不等于图中阴影部分的面积，说法正确。故答案为：B【点睛】分别用a和b表示出每个图形中阴影部分的面积，是解答此题的关键。2D【分析】以直角顶点为中心，用四个一样的等腰直角三角形能够拼成边长为a的正方形，正方形面积是a2，所以每个等腰直角三角形的面积是a2的四分之一，据此解答。【详解】如图，四个一样的等腰直角三角形拼成一个边长是a的正方形，正方形面积是a2，所以一个等腰直角三角形的面积是a2。故答案为：D【
8、点睛】此题应用三角形面积公式无法计算出这个等腰三角形的面积，利用平面图形的拼接组合，得到我们熟悉的正方形，从而得以解决。割补和分割都是计算平面几何图形面积常用的数学方法。3B【分析】把一个用木条钉成的长方形框架拉成一个平行四边形后，每条边的长度都不变，但是高变小了，于是由平行四边形和长方形的面积公式可知，它的面积变小了，据此解答。【详解】把一个用木条钉成的长方形框架拉成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高小于长方形的宽，所以面积变小了。故答案为：B【点睛】本题考查的平行四边形、长方形周长和面积，关键是明确：把长方形拉成平行四边形后，平行四边形的高小于长方形的宽。4C
9、【分析】由七巧板可知，6号块的面积是3号块面积的2倍，已知“天鹅”头颈由3号和6号块构成，其面积为3，则3号块的面积是1，6号块的面积是2；由此推出5号块面积是1，4号块和7号块的面积是2；可得出3、4、5、6、7号块的面积一共是（12122）；它们的面积和正好是图大正方形面积的一半，由此求出正方形的面积；然后根据正方形的面积边长边长，推出正方形的边长。【详解】已知“天鹅”头颈由3号和6号块构成，其面积为3，则3号块的面积是1，6号块的面积是2；3、4、5、6、7号块的面积一共是121228；正方形的面积是：8216因为1644，所以图大正方形的边长为4。故答案为：C【点睛】发现七巧板各部分之
10、间的面积关系是解题的关键。5A【分析】如图所示，三角形ABE和三角形FCE形状相同面积相等，梯形ABCD的面积三角形ABE的面积四边形AECD的面积，三角形ADF的面积三角形FCE的面积四边形AECD的面积，将一个梯形割补成一个三角形面积不变；梯形ABCD的周长ABBCCDAD，三角形ADF的周长AFCFCDAD，比较AF和BC的大小，求出两个图形周长的大小关系，据此解答。【详解】面积：三角形ABE的面积三角形FCE的面积梯形ABCD的面积三角形ABE的面积四边形AECD的面积三角形ADF的面积三角形FCE的面积四边形AECD的面积所以，梯形ABCD的面积三角形ADF的面积周长：梯形ABCD的
11、周长ABBCCDAD三角形ADF的周长AFCFCDAD由图可知，ABCF，则梯形ABCD的周长ABBCCDADBCCFCDAD。因为AFBC，则AFCFCDADBCCFCDAD，所以三角形ADF的周长梯形ABCD的周长。由上可知，将一个梯形割补成一个三角形，面积和原来相比不变，周长与原来相比变大。故答案为：A【点睛】理解用割补法把梯形转化为三角形后面积不变，分析图形找出周长的变化情况是解答题目的关键。6B【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积之和，再加上右上方底为4厘米、高为（64）厘米的阴影小三角形的面积；根据正方形的面积边长边长，三角形的面积底
12、高2，代入数据计算即可。【详解】两个正方形的面积：6636（平方厘米）4416（平方厘米）两个空白三角形的面积：66236218（平方厘米）（64）42104240220（平方厘米）右上方阴影小三角形的面积：4（64）2422824（平方厘米）阴影部分的面积：（3616）（1820）45238414418（平方厘米）阴影部分的面积是18平方厘米。故答案为：B【点睛】本题考查阴影部分面积的计算，关键是分析出阴影部分的面积是由哪些图形的面积相加或相减得到，利用图形的面积公式求解。75【分析】如下图，先设AC与DE相交于点F，连接AE。先求出平行四边形ABED的面积，观察图形可知，三角形ADE与平行
13、四边形ABED等底等高，得出三角形ADE的面积是平行四边形面积的一半；从图中可知，三角形ADC和三角形ADE等底等高，则三角形ADC的面积等于三角形ADE的面积，再减去三角形ADF的面积，即是阴影部分的面积。【详解】如图：设AC与DE相交于点F，连接AE。平行四边形ABED的面积：18826（平方厘米）三角形ADE与平行四边形ABED等底等高，则三角形ADE的面积是：26213（平方厘米）三角形ADC和三角形ADE等底等高，则三角形ADC的面积是13平方厘米；那么三角形CDF的面积：1385（平方厘米）所以，阴影部分的面积是5平方厘米。【点睛】明确等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，
14、等底等高的两个三角形的面积相等是解题的关键。856【分析】如下图，把阴影部分分割成3个完全一样的小三角形，用阴影部分的面积除以3，求出一个小三角形的面积，然后乘4，即是正方形面积的一半，再乘2，求出正方形的面积。【详解】如图：2137（cm2）74228256（cm2）正方形ABCD的面积是56cm2。【点睛】把求正方形的面积转化到求三角形的面积上，把阴影部分平均分成3个小三角形，而正方形的一半是4个同样的小三角形，求出一个小三角形的面积是解题的关键。9(1)8(2)24(3)0.25【分析】（1）根据题意，推理出因为E是AC边的中点，所以三角形ADE的面积等于三角形CDE的面积。又因为D是A
15、B边的中点，所以三角形BCD与三角形ACD的面积相等。那么用三角形ADE的面积乘2，先求出三角形ACD的面积。再将三角形ACD的面积乘2，即可求出三角形ABC的面积；（2）同理（1）可推出，把AC边四等分，那么三角形ADE的面积是三角形ACD面积的四分之一。把AB边三等分，那么三角形ACD是三角形ABC的三分之一。据此，将三角形ADE的面积先乘4，求出三角形ACD的面积。再将三角形ACD的面积乘3，求出三角形ABC的面积；（3）将平行四边形的面积除以2，先求出三角形ABD的面积。再将三角形ABD面积除以5，求出三角形ADE的面积。最后再将三角形ADE的面积除以6，即可求出三角形AEF的面积。【
16、详解】（1）222428（cm2）所以，此时三角形ABC的面积是8cm2。（2）2438324（cm2）所以，此时三角形ABC的面积是24cm2。（3）152567.5561.560.25（cm2）所以，此时三角形AEF的面积是0.25cm2。【点睛】本题考查了三角形的面积，解答本题的关键是理解题干中的理论，应用新方法去求三角形的面积。1072【分析】因为AC4CD，所以AD3DC，又因为ADE和EDC等高，所以EDC面积是36312（cm2），AEC的面积是361248（cm2）。又因为BC3BE，所以EC2BE，因为AEC和ABE等高，所以ABE的面积是48224（cm2），那么ABC的面
17、积是244872（cm2）。【详解】BC3BE，即EC2BE，；AC4CD，即AD3CD，而，所以，72（）。【点睛】本题考查图形面积计算。解题关键是掌握两个等高三角形，面积的倍数关系与底的倍数关系一致。1116【分析】DEEC，三角形BDE和三角形CBE的高相等，根据三角形的面积底高2，三角形BDE和三角形CBE的面积相等，ABBC，三角形CBD和三角形ABD的高相等，所以三角形CBD和三角形ABD的面积相等，而三角形ACD的面积三角形CBD面积三角形ABD的面积，可求出三角形ACD的面积，再根据三角形的面积公式，代入数据，即可求出AC的长度。【详解】根据分析得，三角形BDE面积三角形CBE
18、面积15（cm2）三角形ABD的面积三角形CBD三角形BDE面积三角形CBE面积151530（cm2）三角形ACD的面积三角形CBD面积三角形ABD的面积303060（cm2）AC三角形ACD的面积2AD6027.51207.516（cm）即AC长16cm。【点睛】此题的解题关键是灵活运用三角形的面积公式，根据等底等高的两个三角形面积相等，从而解决问题。1280【分析】根据题意，直角梯形的下底减少4dm，这个梯形就变成一个边长是8dm的正方形，根据正方形的四条边相等的特征，得出这个直角梯形的上底是8dm，下底是（84）dm，高是8dm，根据梯形的面积（上底下底）高2，代入数据计算即可求出这个梯
19、形的面积。【详解】8412（dm）（128）822082160280（dm2）这个梯形的面积是80dm2。【点睛】本题考查梯形面积公式的运用，根据正方形的特征推出梯形的上底、下底和高是解题的关键。13(1)4.8(2)15.36【分析】（1）观察图形可知，长方形ABCF的长为8cm，宽为6cm，根据长方形的面积公式：Sab，据此求出该长方形的面积，三角形AFC的面积是该长方形的面积的一半，据此求出三角形AFC的面积，进而求出三角形AFC的高，也就是AE的长；（2）由（1）可知三角形AFC的面积，长方形的面积是三角形AFC的面积的2倍，用该长方形的面积减去三角形和三角形的面积即可求解。【详解】（
20、1）8622104822102421048104.8（cm）则AE长4.8cm。（2）86248224（cm2）2428.6424488.642439.362415.36（cm2）则三角形的面积是15.36。【点睛】本题考查长方形和三角形的面积，熟记公式是解题的关键。1442【分析】根据题意可知，增加部分的面积是一个底为4厘米的三角形的面积，根据三角形的高三角形的面积2底，求出三角形的高，也是原来直角梯形的高；又已知把上底延长4厘米，就变成一个长方形，根据长方形对边相等的特点，则梯形的上底是（94）厘米；最后根据梯形的面积（上底下底）高2，代入数据计算即可求出原来的这个直角梯形的面积。【详解】
21、三角形的高（梯形的高）：12242446（厘米）梯形的上底：945（厘米）梯形的面积：（59）62146284242（平方厘米）原来的这个直角梯形的面积是42平方厘米。【点睛】本题考查三角形、梯形面积公式的灵活运用，求出梯形的上底和高是解题的关键。15（1）见详解（2）（3，2），（9，2）；我发现B点和C点在同一行（3）15；图见详解【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左图的关键对称点，依次连接，再标上C点即可。（2）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可用数对表示出B、C点的位置；再根
22、据两点的位置写出自己的发现。（3）根据三角形面积公式：三角形面积底高2求出图中三角形的面积；要画的平行四边形的面积与三角形的面积相等，根据平行四边形的面积底高，确定平行四边形的底和高，据此画出这个平行四边形。【详解】（1）补全这个三角形（如下图）。（2）在图上用数对表示三角形顶点B和C的位置（如下图）；我发现B点和C点在同一行。（答案不唯一）（3）三角形的面积是：65230215（cm2）因为1553，可以画一个底为5cm，高为3cm的平行四边形，如图所示：（平行四边形的画法不唯一）【点睛】此题考查的知识有：数对与位置、作轴对称图形，三角形的面积和平行四边形的面积；注意画平行四边形时，要保证面
23、积与三角形的面积相等，形状不唯一。168秒【分析】由图可知，梯形的面积三角形的面积平行四边形的面积，利用“三角形的面积底高2”求出三角形ABC的面积，平行四边形的面积梯形的面积三角形的面积，平行四边形的高等于三角形的高，利用“底平行四边形的面积高”求出平行四边形的底，即点A和点C平移的距离，最后根据“时间路程速度”求出点A和点C平移的时间，据此解答。【详解】42662421824（平方厘米）2464（厘米）40.58（秒）答：经过8秒后，梯形的面积达到42平方厘米。【点睛】把梯形的面积分割为三角形的面积与平行四边形的面积之和，并求出平行四边形的面积和平行四边形的底是解答题目的关键。1745平方
24、厘米【分析】利用等积变换思想，将所求阴影部分面积转化成一个规则的易求的几何图形的面积。首先，GCD的面积等于GDB的面积，而BDE的面积等于DEF的面积。【详解】如图，连接BD，FD。因为ADBC所以SGCDSGDB因为FEAD，所以SBDESDEF9045（平方厘米）答：阴影部分面积是45平方厘米。【点睛】本题主要考查了三角形面积的等积变换，难度不大，但却是一道经典好题。巧妙地将所求阴影部分的面积转化成EFD的面积是解决本题的关键。18见详解【分析】根据等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半，连接BE，三角形ABE的面积是平行四边形的一半。据此解答即可。【详解】如图：连接BE，因为三角
25、形ABE的面积是平行四边形ABCD面积的一半，三角形ABE也是平行四边形AEGF面积的一半，所以两个平行四边形的面积相等。【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的三角形与平行四边形面积之间的关系及应用。195厘米【分析】从图中可知，三角形、梯形、平行四边形的高都是8厘米；先根据三角形的面积底高2，求出三角形的面积，再加上40平方厘米，就是梯形的面积；用梯形的面积加上三角形的面积，求出平行四边形的面积；根据平行四边形的底平行四边形的面积高，即可求出BC的长度，减去BE的长度，即是EC的长度。【详解】三角形的面积：158260（平方厘米）梯形的面积：6040100（平方厘米）平行四边形的面积：1
26、0060160（平方厘米）平行四边形的底：160820（厘米）EC长：20155（厘米）答：线段EC长5厘米。【点睛】本题考查平行四边形、三角形、梯形面积公式的灵活运用，求出平行四边形的底边长是解题的关键。20（1）图见详解；6平方厘米（2）8秒【分析】（1）用梯形的移动速度乘移动时间，求出直角梯形向右平移了多少厘米。据此，画出平移后的直角梯形。看图，平移后的图形和长方形的重叠部分是三角形，它的底是2厘米，高是6厘米，据此利用三角形的面积公式，列式计算出重叠部分的面积；（2）用长方形的长减去梯形的下底4厘米，再将其除以梯形的移动速度，求出整个直角梯形与长方形完全重叠的时间维持了几秒。【详解】（1）2612（厘米），所以直角梯形向右平移了12厘米，平移后，如下图： 重叠部分的面积：2626（平方厘米）答：重叠部分的面积是6平方厘米。（2）1628（秒）答：整个直角梯形与长方形完全重叠的时间维持了8秒。【点睛】本题考查了平移和三角形的面积公式。
