1、奥数拓展第五讲：圆综合-数学六年级上册人教版一、选择题1下列各图中，空白部分与阴影部分的面积之比不等于13的是（）。ABCD2如下图，大正方形内有一个最大的圆，圆内有一个最大的正方形。那么，大正方形面积与小正方形面积的比是（）。A4B41C2D213一辆拖拉机前轮直径80厘米，后轮直径120厘米。行驶前，两个轮胎的位置如下图所示，当后轮转动5周时，前轮的位置是（）图。ABCD4下面三张正方形的纸边长都是12cm。按下面的剪法，它们的余料相比，（）。A第一张最多B第二张最多C第三张最多D同样多5要剪一个面积是12.56cm2的圆形纸片，至少需要面积是（）的正方形纸片。A12.56cm2B14cm
2、2C16cm2D20cm26如下图所示，圆的面积与长方形面积相等，则阴影部分的周长与圆周长的比是（）。A54B11C34D45二、填空题7如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。8如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。9如图，在一个长方形中画有两个一样大的圆。已知长方形的周长是18厘米，那么一个圆的面积是( )平方厘米。10小明周日下午参加体育锻炼起止时间如图所示，分针长8
3、厘米，分针扫过的面积占阴影部分圆面积的( )%；分针针尖走过的路程是( )厘米。11下图是由两个相同的半圆叠拼而成的。已知ABC是一个等腰直角三角形，ABBC10分米。图中涂色部分的面积是( )平方分米。12运用转化思想推导圆的面积的方法：如图，把半径为r的圆沿半径剪开，分成了16等份，拼成了一个近似的梯形，在这个转化过程中，两个图形的（）相等，梯形的上下底之和相当于圆的（），梯形的高相当于圆的（），梯形的面积，所以圆的面积：S（）。13把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，周长比原来增加了12cm，这个圆的面积是( )cm2，拼成的长方形的周长是( )cm。14如图，把一个半径是
4、的圆沿半径分成若干份，拼成近似的平行四边形，这个平行四边形的底大约是( )，平行四边形的面积大约是( )。三、解答题15将一个边长为3厘米的等边三角形沿水平线滚动，B点从位置到位置所经过的路线总长度是多少厘米？16如图所示，AB是圆O的直径，ABBC，B为垂足。线段AC与圆O相交于点D，ABBC8厘米。（1）求AOD的度数（2）求阴影部分的面积（取3.14）17中国建筑中经常能见到“外方内圆”的设计（如图）。请你按下列要求分步作图，再计算。（1）在正方形中画一个最大的圆；（2）在所画圆中，画两条互相垂直的直径；（3）依次连接这两条直径的四个端点，得到一个小正方形；（4）这个圆的面积是（）平方厘
5、米，小正方形的面积是（）平方厘米。182022年10月25日，国家林业和草原局等部门联合下发了“十四五”乡村绿化美化行动方案。方案持续推进乡村绿化美化，改善提升农村人居环境，建设生态宜居美丽乡村。（1）幸福新村修建了一个周长是37.68米的圆形花坛，在花坛周围铺了一条2米宽的石子路，石子路的面积是多少平方米？（2）幸福新村把一些树苗分给三个绿化队来栽种，第一队栽种的棵数是总数的，第二队栽种的棵数是总数的，第三队栽种了500棵。这批树苗一共有多少棵？19一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？20如图，一枚半
6、径是1厘米的游戏币沿着边长是4厘米的等边三角形的边绕一圈，它扫过的面积是多少平方厘米？参考答案：1C【分析】A根据分数的意义，把整个图形看作单位“1”，平均分成4份，空白部分占其中的1份，阴影部分占其中的3份；B从图中可以看出，所有的三角形的高都相等，那么空白部分与阴影部分的面积之比等于它们的底边之比；C设每个小正方形的边长是1，整个图形是一个长为4、宽为2的大长方形，根据长方形的面积长宽求解；空白部分是一个底为3、高为2的三角形，根据三角形的面积底高2求解；阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的面积；D空白部分是一个半径为1的圆，根据圆的面积公式Sr2求解；阴影部分是一个圆环，根据圆环的面积
7、公式S环（R2r2）求解；最后根据比的意义分别写出四个选项中空白部分与阴影部分的面积之比，并化简，找出空白部分与阴影部分的面积之比不等于13的选项。【详解】A把整个图形平均分成4份，阴影部分占其中的3份，空白部分与阴影部分的面积之比是13，不符合题意；B空白部分的底边是1，阴影部分的底边是213，空白部分与阴影部分的面积之比是13，不符合题意；C设每个小正方形的边长是1；大长方形的面积：428空白部分的面积：3223阴影部分的面积：835空白部分与阴影部分的面积之比是35；空白部分与阴影部分的面积之比不等于13，符合题意；D空白部分的面积：12阴影部分的面积：（2212）（41）3空白部分与阴
8、影部分的面积之比是313；不符合题意。故答案为：C【点睛】先根据分数的意义、三角形与长方形的面积计算、圆与圆环的面积计算等，分别求出空白部分与阴影部分的面积，再利用比的意义和化简比解答。2D【分析】根据题意，大正方形内有一个最大的圆，则圆的直径与大正方形的边长相等，设大正方形的边长是2，则圆的直径是2；根据正方形面积边长边长，求出大正方形的面积。小正方形是圆内的最大正方形，可以用对角线把它平均分成2个一样的三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积底高2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是小正方形的面积。最后根据比的意义，写出大正方形面积与小正方形面积的比，再化简比即可。
9、【详解】如图：设大正方形的边长是2，则圆的直径是2。大正方形的面积：224圆的半径：221小正方形的面积：21222大正方形面积与小正方形面积的比是4221故答案为：D【点睛】运用赋值法，直接计算出大、小正方形的面积，再求出它们的比；把小正方形的面积转化成两个一样的三角形的面积，是求小正方形面积的关键。3B【分析】先根据圆的周长求出前、后轮的周长；再用后轮的周长5求出后轮转动5周前进的路程；根据前、后轮前进的路程相等可知前轮前进的路程；再用前轮前进的路程前轮的周长求出前轮转的周数；最后根据前轮最初的位置确定转动后的位置。【详解】前轮的周长：3.1480251.2（厘米）后轮的周长：3.1412
10、0376.8（厘米）后轮转动5周前进的路程：376.851884（厘米）前轮转动的周数：1884251.27.5（周）前轮转7周时，前轮的位置和最初的位置相同，再转动半周，前轮的位置是。故答案为：B【点睛】明确前、后轮前进的路程相等是解决此题的关键。4D【分析】观察图形可知，第一张余料面积正方形的面积圆的面积，第二张余料面积正方形的面积4个圆的面积，第三张余料面积正方形的面积16个圆的面积；其中第一张圆的直径等于正方形的边长，第二张2个圆的直径等于正方形的边长，第三张4个圆的直径等于正方形的边长，据此求出每张图中圆的半径；然后根据正方形的面积公式Sa2，圆的面积公式Sr2，代入数据计算，分别求
11、出三张图的余料面积，最后比较大小，得出结论。【详解】第一张余料面积：12123.14（122）21443.1436144113.0430.96（cm2）第二张余料面积：12123.14（1222）241443.1494144113.0430.96（cm2）第三张余料面积：12123.14（1242）2161443.142.2516144113.0430.96（cm2）综上所述，它们的余料同样多。故答案为：D【点睛】本题考查组合图形面积的计算，掌握正方形的面积、圆的面积公式是解题的关键。5C【分析】根据题意可知，这是一个外方内圆的图形，即在正方形内剪一个最大的圆，那么圆的直径等于正方形的边长；已
12、知圆的面积是12.56cm2，根据圆的面积公式Sr2，求出圆的半径的平方，进而求出圆的半径，半径乘2即是圆的直径，也就是正方形的边长；最后根据正方形的面积边长边长，求出这个正方形纸片的面积。【详解】12.563.144（cm2）因为422，所以圆的半径是2cm；圆的直径（正方形的边长）：224（cm）正方形的面积：4416（cm2）至少需要面积是16cm2的正方形纸片。故答案为：C【点睛】本题考查圆的面积、正方形的面积公式的灵活运用，明白在正方形内剪一个最大的圆，圆的直径与正方形边长的关系是解题的关键。6A【分析】观察图形可知，假设圆的半径是2，长方形的宽和圆的半径相等，同时面积也相等，所以长
13、方形的长是圆周长的一半。根据圆的周长公式，先求出圆周长，再除以2，求出长方形的长。用圆的周长除以4，求出阴影部分的弧长。最后，利用加法将组成阴影部分的各边（弧）相加，求出它的周长，进而求出阴影部分的周长与圆周长的比。【详解】假设圆的半径是2，3.14（22）23.144212.5626.283.14（22）43.144412.5643.146.282（6.282）3.148.284.283.1412.563.1415.715.73.14（22）15.712.56（15.7100）（12.56100）15701256（1570314）（1256314）54则阴影部分的周长与圆周长的比是54。故答
14、案为：A【点睛】此题主要考查长方形的面积公式、圆的面积公式、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。71.14【分析】根据题意，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长，根据圆的面积公式Sr2，求出这个圆的面积；在圆里画一个最大的正方形，如下图，用正方形的一条对角线把这个正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积Sah2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是这个最大正方形的面积；最后用圆的面积减去最大正方形的面积，即是阴影部分的面积。【详解】圆的半径：221（cm）圆的面积：3.14113.14（cm2）圆内最大正方
15、形的面积：21222（cm2）阴影部分的面积：3.1421.14（cm2）阴影部分的面积是1.14cm2。【点睛】本题考查圆的面积、三角形面积公式的运用，关键是把圆内最大正方形的面积转化成两个完全一样的三角形的面积求解。8 21 21 41 75.36【分析】根据圆的直径d2r，圆的周长C2r，圆的面积Sr2，可知两个圆的直径之比、周长之比等于它们的半径之比，两个圆的面积之比等于它们的半径的平方比。从图中可知，小圆的圆心移动的长度是以（84）厘米为半径的圆的周长，根据圆的周长C2r，代入数据计算即可求解。【详解】大圆与小圆的直径之比是84（84）（44）21；大圆与小圆的周长之比是84（84）
16、（44）21；大圆与小圆的面积之比是82426416（6416）（1616）41；23.14（84）23.141275.36（厘米）小圆的圆心移动的长度是75.36厘米。【点睛】本题考查圆的直径、周长、面积公式的运用以及比的意义、比的化简。97.065【分析】观察图形可知，长方形的长等于圆的直径的2倍，宽等于圆的直径；设圆的直径是d厘米，则长是2d厘米，宽是d厘米；根据长方形的周长（长宽）2，列出方程，求出圆的直径；进而求出圆的半径，然后根据圆的面积公式Sr2，代入数据计算，求出一个圆的面积。【详解】解：设圆的直径是d厘米。（2dd）2183d2186d18d186d3圆的半径：321.5（厘
17、米）圆的面积：3.141.523.142.257.065（平方厘米）一个圆的面积是7.065平方厘米。【点睛】本题考查圆的面积公式的运用，找出长方形的长、宽与圆的直径的关系，然后根据长方形的周长公式求出圆的直径是解题的关键。10 75 37.68【分析】从图中可知，小明开始锻炼的时刻是3时5时，结束的时刻是3时50分，那么小明参加体育锻炼的时间是45分钟；因为分针转一圈是60分钟，用除法求出45分钟占60分钟的百分之几，即是分针扫过的面积占阴影部分圆面积的百分之几；已知分针长8厘米，即圆的半径是8厘米；由上一题可知，经过45分钟，分针针尖走过的路程是圆周长的75%，先根据圆的周长公式C2r，求
18、出圆的周长，再乘75%即可得解。【详解】3时50分3时5分45（分钟）4560100%0.75100%75%3.148275%3.141637.68（厘米）分针扫过的面积占阴影部分圆面积的75%；分针针尖走过的路程是37.68厘米。【点睛】本题考查经过时间的计算、百分数的应用以及圆周长公式的运用，明确求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算。1128.5【分析】观察图形可知，2个半圆可以组合成一个圆，涂色部分的面积圆的面积直角三角形的面积；根据圆的面积公式Sr2，三角形的面积公式Sah2，代入数据计算即可。【详解】圆的面积：3.14（102）23.142578.5（平方分米）三角形的面积：10
19、102100250（平方分米）涂色部分的面积：78.55028.5（平方分米）图中涂色部分的面积是28.5平方分米。【点睛】本题考查圆的面积、三角形面积公式的运用，关键是找出涂色部分的面积是由哪些图形面积相加或相减得到，再运用图形的面积公式解答。12面积；周长的一半；直径；r；2r；r2【分析】根据题意，把圆沿半径r剪开，分成了16等份，拼成了一个近似的梯形，两个图形的面积相等。从图中可知，圆的周长平均分成了16等份，拼成梯形的上底占3份，下底占5份，一共占8份，可得梯形上下底之和相当于圆周长的一半，即r；梯形的高相当于半径的2倍，即2r；据此把含有字母的式子代入梯形的面积公式中，推导出圆的面
20、积公式。【详解】运用转化思想推导圆的面积的方法：如图，把半径为r的圆沿半径剪开，分成了16等份，拼成了一个近似的梯形，在这个转化过程中，两个图形的面积相等，梯形的上下底之和相当于圆的周长的一半，梯形的高相当于圆的直径，梯形的面积，所以圆的面积：Sr2。【点睛】本题考查运用转化思想推导圆的面积的方法。13 113.04 49.68【分析】把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，长方形的面积等于圆的面积，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；那么长方形的2条长等于圆的周长，根据长方形的周长（长宽）2可知，拼成的长方形的周长比原来圆的周长增加了2条宽的长度，即增加了2个半径的长度，
21、用增加的周长除以2，求出宽，也就是圆的半径；然后根据圆的面积公式Sr2，求出这个圆的面积；根据圆的周长公式C2r，求出圆的周长，再加上12cm，即是拼成的长方形的周长。【详解】圆的半径：1226（cm）圆的面积：3.14623.1436113.04（cm2）圆的周长：23.1466.28637.68（cm）长方形的周长：37.681249.68（cm）这个圆的面积是113.04cm2，拼成的长方形的周长是49.68cm。【点睛】本题考查圆的面积公式推导过程的应用，明确把圆剪拼成近似长方形时，长方形的的面积等于圆的面积，长方形的周长比圆的周长多了2个半径的长度。14 18.84 113.04【分
22、析】将圆沿半径分成若干份，拼成近似的平行四边形，这个平行四边形的底就是圆周长的一半，高就是圆的半径，再利用平行四边形面积等于底乘高，得解。【详解】底：3.1462218.842237.68218.84（厘米）平行四边形的高就是圆的半径6厘米。平行四边形的面积：18.846113.04（平方厘米）【点睛】解答本题的关键是知道拼成的近似平行四边形与圆之间的关系，进而解决问题。1512.56厘米【分析】等边三角形的三个内角都是60，由图可知，等边三角形从位置到位置B点经过的路线长度是半径为3厘米，圆心角为120扇形的弧长，从位置到位置B点经过的路线长度等于从位置到位置B点经过的路线长度，圆心角为12
23、0扇形的弧长等于整个圆周长的，利用“”求出B点经过的路线总长度，据此解答。【详解】60212012036023.14323.142233.14（22）（3）3.144112.56（厘米）答：B点从位置到位置所经过的路线总长度是12.56厘米。【点睛】本题主要考查圆的周长公式的应用，理解B点经过的路线长度的一半是整个圆周长的是解答题目的关键。16（1）90（2）20.56平方厘米【分析】（1）观察图形可知，三角形AOD是等腰直角三角形，由此判断AOD的度数。（2）观察图形可知，阴影部分的面积圆的面积梯形DOBC的面积三角形OBC的面积；根据圆的面积Sr2，梯形的面积（上底下底）高2，三角形的面积
24、底高2，代入数据计算求解。【详解】（1）线段AOOD，且ODOA，所以AOD90。答：AOD的度数是90。（2）圆的半径：824（厘米）圆的面积：3.14423.141612.56（平方厘米）梯形的面积：（48）42124224（平方厘米）三角形的面积：48232216（平方厘米）阴影部分的面积：12.56241620.56（平方厘米）答：阴影部分的面积是20.56平方厘米。【点睛】本题考查组合图形面积的求法，分析组合图形是由哪些基本图形组成，然后看是求几种图形的面积和还是求面积差，根据图形面积公式解答。17（1）见详解（2）见详解（3）见详解（4）28.26；18【分析】（1）从图中可知，正
25、方形的边长是6厘米，在正方形中画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长6厘米；先找到正方形的中心，以此为所画圆的圆心，以正方形边长的一半为圆的半径，即可画出这个最大的圆。（2）在所画圆中，过圆心画两条互相垂直的直径即可。（3）依次连接这两条直径的四个端点，得到一个小正方形。（4）已知圆的直径是6厘米，根据圆的面积公式Sr2，代入数据计算即可求出这个圆的面积；小正方形的1条对角线把小正方形平均分成两个小三角形，小三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径；根据三角形的面积公式Sah2，求出一个小三角形的面积，再乘2，即是这个小正方形的面积。【详解】（1）（2）（3）如图：（4）圆的面积：3.
26、14（62）23.14928.26（平方厘米）小正方形的面积：6（62）22632218（平方厘米）这个圆的面积是28.26平方厘米，小正方形的面积是18平方厘米。（答案不唯一）【点睛】本题考查在正方形内画最大的圆、在圆内画小正方形的作图方法，圆的面积公式的运用，以及利用转化思想，把小正方形的面积转化成两个小三角形的面积之和求解。18（1）87.92平方米（2）1200棵【分析】（1）已知圆形的花坛的周长是37.68米，根据圆的周长公式C2r可知，rC2，由此求出圆形花坛的半径；已知在花坛周围铺了一条2米宽的石子路，求石子路的面积，就是求圆环的面积，用圆形花坛的半径r加上2米，即是外圆的半径R
27、；然后根据圆环的面积公式S环（R2r2），代入数据计算即可求解。（2）把这批树苗的总数看作单位“1”，已知第一队、第二队栽种的棵数分别占总数的、，那么第三队栽种的500棵树占总数的（1），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出这批树苗的总数。【详解】（1）37.683.1421226（米）628（米）3.14（8262）3.14（6436）3.142887.92（平方米）答：石子路的面积是87.92平方米。（2）500（1）500（1）5005001200（棵）答：这批树苗一共有1200棵。【点睛】（1）本题考查圆的周长、圆环的面积公式的灵活运用，求出圆环的内圆半径、外
28、圆半径是解题的关键。（2）本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。19（1）76.93平方米（2）23.55平方米【分析】（1）根据题意，已知半圆形花坛一周的长是35.98米，也就是半圆周长为35.98米；根据半圆周长圆周长的一半直径，即C半圆r2r，可知：圆的半径rC半圆（2），由此求出半圆形花坛的半径；然后根据圆的面积公式Sr2，求出一个圆的面积，再除以2，即是这个的花坛的面积。（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，求花坛面积增大多少，就是求半圆环的面积；由上一题可知内圆的半径是7米，则外圆的半径是（71）米；根据圆环的面积公式S环（R2r2），求
29、出一个圆环的面积，再除以2，即可得解。【详解】（1）半圆的半径：35.98（3.142）35.985.147（米）半圆的面积：3.147223.14492153.86276.93（平方米）答：这个花坛的面积是76.93平方米。（2）718（米）3.14（8272）23.14（6449）23.1415247.1223.55（平方米）答：花坛的面积增大23.55平方米。【点睛】本题考查半圆周长计算方法的灵活运用以及圆环面积公式的应用。2036.56平方厘米【分析】如图，它扫过的面积是3个边长4厘米，宽12厘米的长方形和一个圆的面积，长方形面积长宽，圆的面积r2，据此列式解答。【详解】122（厘米）2433.1422243.1442412.5636.56（平方厘米）答：它扫过的面积是36.56平方厘米。【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用长方形和圆的面积公式。
