1、第 2 讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1理解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义基础自查1命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题 .否命题 .逆否命题.判断真假若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系相同3充分条件与
2、必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的；(2)如果pq且qp，则p是q的.联动思考想一想：否命题是命题的否定吗？答案：不是命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论必要条件充要条件联动体验1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B“若一个数的平方是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案：B2(2010陕西卷)“a0”是“|a|0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要解析：若a0，则|a|a0，故
3、|a|0，但|a|0时，如a1，则a0不成立，故选A.答案：A3命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()A“若xy，则x2y2”B“若xy，则x2y2”C“若xy，则x2y2”D“若xy，则x2y2”答案：C4已知a，b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：当a0且b0时，一定有ab0且ab0.反之，当ab0且ab0时，一定有a0，b0.故“a0且b0”是“ab0且ab0”的充要条件答案：C5“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是_解析：其中原命题和逆否命
4、题为真命题，逆命题和否命题为假命题答案：2考向一 四种命题及其相互关系【例1】(2010天津卷)命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是()A若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数B若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数C若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数D若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是B选项答案：B反思感悟：善于总结，养成习惯1对于命题“若A，则B”，其否命题是“若綈A，则綈B”，逆命题是“若B，则A”，逆否命题是“若綈B，则綈A”2“f(x)是奇函数”的否定
5、是“f(x)不是奇函数”，而不是“f(x)是偶函数”，因为函数按照奇偶性分类除了奇函数和偶函数外，还有其他的非奇非偶函数迁移发散1命题“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是()A若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数B若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数C若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数D若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数解析：由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2
6、0，则函数f(x)logax(a0，a1，在其定义域内不是减函数答案：A考向二 四种命题的真假判断【例2】已知命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”，则下列结论正确的是()A否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1”，是真命题B逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”，是假命题C逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”，是真命题D逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”，是真命题解析：f(x)exm0在(0)上恒成立，即mex在(0，)上恒成立，故m1，这说明原命题正确，反之若m1，
7、则f(x)0在(0，)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D.答案：D反思感悟：善于总结，养成习惯判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假迁移发散2已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)f(x)g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析：由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)f(x)g(x)为偶函数，反之
8、则不成立，如h(x)x2是偶函数，但函数f(x)，g(x)ex都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确答案：C考向三 充要条件的判断【例3】指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)(1)在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；(2)对于实数x、y，p：xy8，q：x2或y6；(3)非空集合A、B中，p：xAB，q：xB；(4)已知x、yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.反思感悟：善于总结，养成习惯判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是
9、由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题迁移发散3(2010山东卷)设an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：a1a2且a10，则a1(1q)0，a10且q1，则数列an递增；反之亦然答案：C课堂提升 感悟总结1当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，
10、在写其它三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提2数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的，命题有真假之分，而定理都是真的3命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”、“若q，则p”的真假(2)等价法：即利用AB与綈B綈A；BA与綈A綈B；AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件4集合与充要条件的关系记法Ax|p(x)，Bx|q(x)关系A BB AABA B且B A图示结论P是q的充分不必要条件P是q的必要不充分条件
11、P是q的充要条件 P是q的既不充分也不必要条件注意：这里的集合A、B分别是使命题p和q为真命题的对象所组成的集合问 题症 结数学概念中的每一个含义、术语、符号乃至习惯用语，都有明确具体的含义，对于概念理解不透，内涵、外延把握不准都是导致概念型题目出错的主要原因案 例命题甲：x1 005或y1 006；命题乙：xy2 011，则()A.甲是乙的充分非必要条件B.甲是乙的必要非充分条件C.甲是乙的充分必要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件错因分析两个命题都是否定性的命题，从正面入手较为困难，考虑到原命题与逆否命题的等价性，可以转化为判断其逆否命题是否正确学 生抽 样纠错笔记赏 析感 悟 本题虽然看上去是一个基本的不等量关系，但实质上逻辑性很强，容易出错解本题的关键：一是从反面入手，利用原命题与逆否命题的等价性；二是要对逻辑联结词“且”、“或”深刻理解与领悟，认识命题的四种形式及其相互关系，如原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假，利用这种关系可压缩思维长度，简化解题的思路.单击此处进入 限时规范训练
