1、第 4 讲 轨迹与方程求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：直接利用条件建立 x、y 之间的关系 F(x，y)0.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(4)代入转移法：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用 x、y 的代数式表示 x0、y0，再将 x0、y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程(5)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可
2、考虑将 x、y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程1动圆 M 经过点 A(3,0)且与直线 l：x3 相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是()AAy212xBy26xCy23x Dy224xCA上半部分C左半部分B下半部分D右半部分C的中点 M 的轨迹方程是()A(x3)2y24B(x3)2y21C(2x3)24y213动点 A 在圆 x2y21 上移动时，它与定点 B(3,0)连线，yOPOA4.则点 P 的轨迹方程是解析：设点 M 的坐标是(x，y)，点 A 的坐标是(x0，y0)由于点 B 的坐标是(3,0)且 M 是线段 AB 的中心，所以xx032y002，于
3、是有 x02x3，y02y.4已知两定点 A(2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于.45直角坐标平面 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足 .x2y40考点 1直接法求轨迹方程图 1242例 1：如图 1242，过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1、l2.若 l1 交 x 轴于 A，l2 交 y 轴于 B，求线段 AB 中点 M 的轨迹方程解析：设点 M 的坐标为(x，y)，M 是线段 AB 的中点，A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y)即 x2y50.线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x
4、2y50.1.考点 2定义法求轨迹方程例 2：一动圆与已知圆 O1：(x3)2y21 外切，与圆 O2：(x3)2y281 内切，试求动圆圆心的轨迹方程故动圆圆心的轨迹方程为x225y216解析：两定圆的圆心和半径分别为 O1(3,0)，r11；O2(3,0)，r29.设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，则由题设条件可得|MO1|1R，|MO2|9R.|MO1|MO2|10.由椭圆的定义知：M 在以 O1、O2为焦点的椭圆上，且 a5，c3.b2a2c225916，【互动探究】2已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2相外切，求动圆
5、圆心 M 的轨迹方程图 1243解：如图 1243，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点 A 和点 B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.(1)求此双曲线的渐近线 l1、l2 的方程；(2)若 A、B 分别为 l1、l2 上的动点，且 2|AB|5|F1F2|，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线【互动探究】3如图 1244，已知 P(4,0)是圆 x2y236 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB90，求矩形 APBQ 的顶点Q 的轨迹方程图 1244错源：利用参数法求轨迹方程时忽略了特殊情况例 4：如图 124
6、5，已知点 C 的坐标是(2,2)，过点 C 的直线 CA 与 x 轴交于点 A，过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB与 y 轴交于点 B.设点 M 是线段 AB 的中点，求点 M 的轨迹方程图 1245消去参数 k 得到 xy20(x1)，点 M(1,1)在直线 xy20 上，综上所述，所求轨迹方程为 xy20.方法二(直接法)：设 M(x，y)，依题意 A 点坐标为(2x,0)，B点坐标为(0,2y)化简得 xy20.方法三(定义法)：依题意|MA|MC|MO|，即：|MC|MO|，动点 M 是线段 OC 的中垂线，故由点斜式方程得到：xy20.【互动探究】例 5：矩形 ABCD 的
7、两条对角线相交于点 M(2,0)，AB 边所在直线的方程为 x3y60，点 T(1,1)在 AD 边所在直线上(1)求 AD 边所在直线的方程；(2)求矩形 ABCD 外接圆的方程；(3)若动圆 P 过点 N(2,0)，且与矩形 ABCD 的外接圆外切，求动圆 P 的圆心的轨迹方程解析：(1)因为 AB 边所在直线的方程为 x3y60，且AD 与 AB 垂直，所以直线 AD 的斜率为3.又因为点 T(1,1)在直线 AD 上，所以 AD 边所在直线的方程为 y13(x1)即 3xy20.求曲线的轨迹方程常用的方法有直接法、定义法、代入法(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程的点，已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 P 为椭圆 C 的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上|OP|OM|e(e 为椭圆 C 的离心率)，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线
