1、滨海新区大港油田第三中学2020-2021学年高二期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题6分，共60分）1. 若向量a=(2,0，-1)，向量b=(0,1，-2)，则2a-b=()A. (-4,1，-4)B. (-4,1，0)C. (4,-1,0)D. (4,-1,-4)2. 抛物线y2=-8x的准线方程为()A. x=-2 B. x=-1 C. y=1D. x=23. 双曲线4x2-9y2=36的渐近线方程是()A. y=32x B. y=23xC. y=94xD. y=49x4. 已知向量a=(-1,2，4)，b=(x,-1,-2)，并且ab，则实数x的值为()A. 10 B. -
2、10 C. 12 D. -125. 焦距是10，虚轴长是8，经过点(32,4)的双曲线的标准方程是()A x29-y216=1B. y29-x216=1C. x236-y264=1D. y236-x264=16. 若动点 满足方程，则动点M 的轨迹方程（ ） A B C D 7. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若AB=a，AA1=c，BC=b，则BM可表示为()A. -12a+12b+c B. 12a+12b+c C. -12a-12b+c D. 12a-12b+c8. 已知双曲线C1：x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2.若抛物 线C2:x2=2py(
3、p0) 的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )A. x2=833y B. x2=1633y C. x2=8y D. x2=16y9. 已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( )A. 2B. 3C. 115D. 371610. 设图F1、F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|PF2|=94ab，则该双曲线的离心率为()A. 43 B. 53 C. 94 D. 3二、填空题（本题共6个小题，每题7分
4、，共42分）11. 若向量a=(x,-1,3)，向量b=(2,y，6)，且a/b，则x=_，y=_12. 若双曲线x29-y216=1上一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离是_13. 若方程x25-m+y2m-1=1表示焦点在y轴的椭圆，则实数m的取值范围是_14. 在空间直角坐标系O-xyz中，A(1,2，-1)，B(0,1，2)，C(1,1，1)，则异面直线OA与BC所成角的余弦值为_ 15. 圆与圆的公共弦长为 16. 如图，直三棱柱ABC一A1B1C1中，侧棱长为2，AC=BC=1，ACB=90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1平面C1
5、DF，则线段B1F的长为_ 三、解答题（本题共3题，每题16分，共48分） 17.已知圆C的圆心在x轴上，且经过点A(-1,0)，B(1,2)()求线段AB的垂直平分线方程；()求圆C的标准方程；()过点P(0,2)的直线l与圆C相交于M、N两点，且|MN|=23，求直线l的方程18. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，ACBC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点()求证：C1MB1D；()求二面角B-B1E-D的正弦值；()求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值19.已知椭圆C的中心在原点，离心率等
6、于12，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2,3)，Q(2,-3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；当A，B运动时，满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由1. 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于12，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2,3)，Q(2,-3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；当A，B运动时，满足APQ=BPQ
7、，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由【答案】解：(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，抛物线的焦点为(0,23).b=23由ca=12，a2=c2+b2，得a=4，椭圆C的方程为x216+y212=1(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2).设直线AB的方程为y=12x+t，代入x216+y212=1，得x2+tx+t2-12=0，由0，解得，x1+x2=-t，x1x2=t2-12，|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=t2-4(t2-12)=48-3t2四边形APBQ的面积S=126|x1-x2|=348-3t2当t=0时，S取得最大值，且Smax=123若
8、APQ=BPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，直线PA的方程为y-3=k(x-2)，由y-3=k(x-2),x216+y212=1消去y，得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0，x1+2=8k(2k-3)3+4k2，将k换成-k可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2，x1+x2=16k2-123+4k2，x1-x2=-48k3+4k2，kAB=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2=k(x1+x2)-4kx1-x2=12，直线AB的斜率为定值12【解析
9、】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键(1)根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线x2=83y的焦点，离心率等于12.由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为y=12x+t，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系求得四边形APBQ的面积，从而解决问题设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k(x-2)将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系求得x1+2，同理
10、PB的直线方程为y-3=-k(x-2)，可得x2+2，从而求出，即可得出AB的斜率为定值122. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，ACBC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点()求证：C1MB1D；()求二面角B-B1E-D的正弦值；()求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值【答案】解：根据题意，以C为原点，CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C1(0,0，3)，A1(2,0，3)，B1(0,2，3)
11、，D(2,0，1)，E(0,0，2)，M(1,1，3)，()证明：依题意，C1M=(1,1，0)，B1D=(2,-2,-2)，C1MB1D=2-2+0=0，C1MB1D，即C1MB1D；()依题意，CA=(2,0，0)是平面BB1E的一个法向量，EB1=(0,2，1)，ED=(2,0，-1)，设n=(x,y，z)为平面DB1E的法向量，则nEB1=0nED=0，即2y+z=02x-z=0，不妨设x=1，则n=(1,-1,2)，cos=CAn|CA|n|=66，sin=1-16=306，二面角B-B1E-D的正弦值为306；()依题意，AB=(-2,2，0)，由()知，n=(1,-1,2)为平面
12、DB1E的一个法向量，cos=ABn|AB|n|=-33，直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为33【解析】本题考查了空间向量在几何中的应用，线线垂直的证明、二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题()建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；()先求得平面DB1E的法向量n，而CA是平面BB1E的一个法向量，再根据向量的夹角公式求解；()求出cos值，即可求出直线AB与平面DB1E所成角的正弦值3. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过点A(-1,0)，B(1,2)()求线段AB的垂直平分线方程；()求圆C的标准方程；()过点P(0,2)的直线l与
13、圆C相交于M、N两点，且|MN|=23，求直线l的方程【答案】解：()设AB的中点为D，则D(0,1)由圆的性质，得，所以kCDkAB=-1，kAB=2-01+1=1，得kCD=-1所以线段AB的垂直平分线CD的方程是y=-x+1. ()设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2，其中C(a,0)，半径为r(r0).由圆的性质，圆心C(a,0)在直线CD上，化简得a=1所以圆心C(1,0)，r=|CA|=1+12=2，所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4;()由(1)设F为MN中点，则CFl，得|FM|=|FN|=3圆心C到直线的距离d=|CF|=4-(3)2=1当l的斜率不存在时，l:
14、x=0，此时|CF|=1，符合题意.当l的斜率存在时，设l:y=kx+2，即kx-y+2=0，由题意得d=|k1+2|k2+1=1，解得：k=-34故直线l的方程为y=-34x+2，即3x+4y-8=0综上直线l的方程x=0或3x+4y-8=0【解析】本题考查直线与圆的有关问题，考查推理能力和计算能力，属于中档题圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长一半、弦心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系()利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；()设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=r2，结合第一问可得结果；()由题意可知：圆心C到直线的距离为1，分类讨论可得结果
