1、向量的数量积的概念【例1】设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题(ab)c(ca)b0；|a|b|ab|；(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中是真命题的有_【解析】对于，b与c是不共线的两个非零向量，且ab与ca不能都为零，故错误对于，由三角形的两边之差小于第三边知正确对于，由向量的数量积的运算法则，得(bc)a(ca)bc(bc)(ac)(ca)(bc)0，所以(bc)a(ca)bc，故错误对于，由于(3a2b)(3a2b)9a24b29|a|24|b|2，故正确答案：判断上述问题的关键是掌握向量的数量积的含义向量的数量积的运
2、算律不同于实数乘法的运算律例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律，即(ab)ca(bc)【变式练习1】下列命题中正确的个数是_.若ab0，则a0或b0；(ab)ca(bc)；若abbc(b0)，则ac；abba；若a与b不共线，则a与b的夹角为锐角【解析】当a0时，由ab0/b0，且对任意与a垂直的非零向量b，都有ab0，故错(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a通常并不是共线的，故错设a与b的夹角为，b与c的夹角为，则由abbc，得|a|cos|c|cos/ac，故错由于向量数量积满足交换律，故正确向量的夹角是指两向量起点相
3、同时两个方向所成的角，可为0，180范围内的角，故错答案：1向量的夹角数量积的定义和性质是解决垂直问题与夹角问题的重要方法(1)题中通过垂直的充要条件，得到|a|b|，这是本题的突破口在等式2abb2中，不能“约去b”，得出“2ab”，注意这一点与实数乘法不同(2)题中，向量的夹角范围是0，并且注意a2|a|2及夹角公式的应用同时，a与b的夹角是钝角，可以得到ab0，但这并不是a与b的夹角为钝角的充要条件因为a与b的夹角是180时也有ab0.因此第二问要排除掉a与b反向的情形想一想：若a与b的夹角是锐角时又要注意什么呢？【变式练习2】已知a和b的夹角为60，|a|10，|b|8，求：(1)|a
4、b|；(2)ab与a的夹角的余弦值向量的平行与垂直【例3】设 向 量 a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若a(b2c)，求tan()的值；(2)求|bc|的取值范围；(3)若tantan16，求证ab.【解析】(1)b2c(sin2cos，4cos8sin)，a(b2c)4cos(sin2cos)sin(4cos8sin)4sin()8cos()0.所以tan()2.向量的平行与垂直问题是高考的热门话题，要牢记向量平行与垂直的充要条件，根据已知条件灵活运用综合应用本例是向量、函数、导数应用的典型例子第(2)问中两种解法是解决向量垂直的常见方法：方法1是
5、先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；方法2是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意)第(2)问中求函数的单调区间运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用0 51两向量的夹角：如图，AOB(0180)叫做向量a与b的夹角当0时，a与b同向；当180时，a与b反向；当90时，a与b垂直，记作ab.2向量的数量积的几何意义：对于ab|a|b|cos，其中|b|cos叫向量b在a方向上的射影(为a、b的夹角)，向量的数量积ab等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos的乘积
6、当为锐角时，值为正；当为钝角时，值为负；当为直角时，值为零；当为零时，值为|a|b|；当为180时，值为|a|b|.4运用平面向量的数量积应该注意以下几个方面：(1)两个向量的夹角的取值范围为0，180；(2)两向量的数量积是一个数，而不是一个向量，并且数量积是向量间的一种乘法，与以前所学的乘法是有区别的，书写时要区分开；(3)当a0时，ab0不能推出b一定是零向量，因为当ab(a0)时，ab0；(4)用向量的数量积可解决有关长度、角度和垂直的问题；(5)对于实数abbc(b0)ac；但对于向量，由abbc不能得到ac；(6)向量的数量积只适合交换律、加法分配律、数乘向量结合律，不适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，因(ab)c表示与c共线的向量，而a(bc)表示与a共线的向量答案：2选题感悟：向量的数量积在考试说明中是“C”级要求，是每年高考的重点在填空题中多以直接应用或变用数量积公式为主，属容易题答案：8选题感悟：平面向量经常与平面图形的几何性质相联系，将向量进行转化，化为共线或垂直向量的数量积是常用手段选题感悟：平面向量的几何意义、线性运算、数量积是高考考查的热点，主要出现在解答题第一题中
