1、第十八讲两角和与差及二倍角公式回归课本1.C(-)cos(-)=coscos+sinsinC(+)cos(+)=coscos-sinsinS(+)sin(+)=sincos+cossinS(-)sin(-)=sincos-cossinT(+)tan(+)=(,+k+,kZ)T(-)tan(-)=(,-k+,kZ).注意:(1)注意公式的适用范围:在T()中,都不等于k+(kZ).即保证tantantan()都有意义.(2)对公式tan(+)=,下面的四种变式在以后的解题中经常用到:=tan(+)(逆用);1-tantan=tan+tan=tan(+)(1-tantan);tantantan(+
2、)=tan(+)-tan-tan.2.在和角公式S(+)C(+)T(+)中,当=时就可得到二倍角的三角函数公式S2C2T2.sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2,tan2=3.余弦二倍角公式有三种形式,即cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,由此可得变形公式sin2=,cos2=,它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂的作用.4.asin+bcos=sin(+),其中cos=,sin=,tan=.的终边所在象限由点(a,b)来确定.注意:(1)公式成立的条件:在公式中,只有当公式的等号两端都有意义时,公式才成立.(2)公式应用要讲究一个“活”字,即正用
3、逆用变形用,还要创造条件用公式,如拆角配角技巧:=(+)-,2=(+)+(-)等.注意切化弦通分等方法的使用,充分利用三角函数值的变式,如1=tan45,-1=tan135,=tan60,=cos60或=sin30,sinx+cosx=2sin 学会灵活地运用公式.(3)当角,中有一个角为90的整数倍时,使用诱导公式较为简便,诱导公式是两角和与差的三角函数公式的特例.(4)搞清公式的来龙去脉,C(-)是基础,其他公式都是用代换法及诱导公式得到的推论,即(5)二倍角公式的正用逆用及变形用是公式的三种主要使用方法,特别是变形用有时恰是解题思路的关键.如:2sincos=sin2,sincos=si
4、n2,cos=cos2-sin2=cos2,=tan2,1sin2=sin2+cos22sincos=(sincos)2,1+cos2=2cos2,1-cos2=2sin2.考点陪练1.sin15cos75+cos15sin105等于()解析:sin15cos75+cos15sin105=sin15cos75+cos15sin75=sin90=1.答案:D答案:A答案:B4.下列各式中,值为的是()A.2sin15cos15 B.cos215-sin215C.2sin215-1 D.sin215+cos215答案:B答案:A类型一两角和与差的三角函数解题准备:利用和差公式对三角函数式进行化简与
5、求值,是每年高考必考内容,纵观近几年的高考试题,对本考点的内容一是直接考查,二是以和差公式为角的变换工具,与向量函数不等式等知识相结合的综合题.分析 先将条件等式展开,联立方程组求得sincos与cossin的值,再将待求式子化简即可.反思感悟 已知三角函数值,求三角函数式的值,往往要对待求式进行化简.像本题通过化简发现必须先求的值,而已知条件为正弦函数值,因此由求转化为求的值,从而容易想到将两个条件等式展开,再联立方程组即可.类型二二倍角的三角函数解题准备:本考点的考查基本上是以二倍角公式或变形公式为工具,对角或函数名称进行恰当变换,以化简求值为主,在具体问题中,必须熟练准确地运用公式.反思
6、感悟二倍角的余弦公式的正用是化倍角为单角,相应三角函数式项的次数翻倍(即升幂);其逆用则是化二次式为一次式(即降幂),单角变倍角,求解中注意倍角与单角的相对性.类型三辅助角公式的应用解题准备:1.由S(+),我们可以得出辅助角公式,即asinx+bcosx=sin(x+)(其中角的终边所在象限由a,b的符号确定,角满足cos=,sin=,这是经常用到的一个公式,它可把含sinx、cosx的一次式的三角函数式化为Asin(x+)的形式,从而进一步探索三角函数的性质.错源一使用公式时不注意使用条件剖析这是一道热点测试题,上述解法执行了“标准”答案选A.题设条件中的m(0,1),事实上,如当=2k+
7、(kZ)时,1-2m2=0,tan2失掉意义,若题设条件中限制m ,则应当选A.答案D错源二求角时对角的范围讨论不准确【典例2】若tan(-)=,tan=,且,(0,),求2-的值.剖析上述解法就是犯了对角的讨论不正确而错误确定了所求角的取值范围.技法一构造斜率【典例1】求值:解设A(cos40,sin40),B(cos20,sin20),于是所求是AB两点连线的斜率kAB,而AB两点都在单位圆x2+y2=1上.设直线AB与x轴交于C点,作ODAB垂足为D.易知xOB=20,xOA=40,BOA=20,BOD=10,于是在RtCOD中,COD=30,DCO=60,于是直线AB的倾斜角xCD=1
8、20,所以kAB=tan120=技法二巧用两角和与差公式解题一巧变角1.巧凑角【典例2】若锐角、满足cos=,cos(+)=,求sin的值.解注意到=(+)-,sin=sin(+)-=sin(+)cos-cos(+)sin为锐角且cos=,sin=2.巧拆角【典例3】求的值.解题切入点该题为非特殊角三角函数求值,不能直接进行,注意拆角向特殊靠拢易求值.二巧变公式结构【典例4】求tan25+tan35+tan25tan35的值.解注意到25+35=60,故用两角和正切变形公式.原式=tan(25+35)(1-tan25tan35)+tan25tan35=(1-tan25tan35)+tan25tan35=三巧引参数【典例5】已知锐角、满足条件求证+=.解题切入点若注意到已知条件满足公式sin2+cos2=1时,可引进参数,进行三角代换.证明由已知可设=cos,=sin,则有sin2=coscos,cos2=sinsin+得sin2+cos2=coscos+sinsin即1=cos(-).-=2k(kZ),=2k+(kZ).sin2=coscos=cos2,cos2=sinsin=sin2.又为锐角,sin=cos=又=-,故+=
