1、20202021学年第二学期高二期末考试数学试题（理科）【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集，集合，则下图阴影部分表示的集合是（ ）A BC D2某高校统计课程的教师随机给出了选该课程的一些情况，具体数据如下：非统计专业统计专业男1310女720为了判断选修统计专业是否与性别有关，根据表中数据，的观测值，所以可以判定选修统计专业与性别有关.那么这种判断出错的可能性为( )A5%B95%C1%D99%附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246
2、.63510.8283设，则“”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知命题：“”，命题：“”，则下列为真命题的是( )A B C D5若，则（ ）A B C D6若的展开式中第四项为常数项，则()A4B5 C6 D77已知函数，则函数的大致图象为()ABCD8如图所示的电路，有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为()A B C D9如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为()A180 B240C360 D42010函数的值域
3、是()ABCD11方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用.某方舱医院医疗小组有七名护士（甲乙丙丁戊己庚)，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班.若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为()A甲B丙C戊D庚12已知定义在R上的连续奇函数的导函数为，当时，则使得成立的的取值范围是()ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13假设关于某设备的使用年限x(单位：年)和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料：x/年23456y/万元2.23.85.56.57.0若由资料可
4、知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为，其中已知，请估计是要年限为20年时，维修费用约为 （万元）.14随机变量的取值为0，1，2.若，则_.15若正数x，y满足，则的最小值为.16已知函数，若存在实数，使得成立，则实数_.三、选做题：共10分.请考生在17、18题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑17(本小题满分10分) 已知曲线C的极坐标方程为，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)A，B为曲线C上两点，若，求的值18(本小题满分10分) 已知.(1)求证
5、：；(2)若，且，求证：四、选做题：共12分.请考生在19、20题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑19（本小题满分12分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，直线的参数方程为，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1) 求直线的普通方程，曲线的直角坐标方程；(2) 设直线与曲线交于两点，点在上运动，求面积的最大值20（本小题满分12分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，其中为正实数.(1) 当时，求不等式的解集；(2) 若函数的最小值为，求的最小值五、解答题：
6、本大题共4小题，每小题12分，共48分.21(本题满分12分) 设函数(1)当时，求函数f(x)的单调区间；(2)当，时，方程在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围22(本题满分12分)某省2021年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名男生的身高服从正态分布N(170.5，16)现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组157.5，162.5)，第二组162.5，167.5)，第六组182.5，187.5下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图(1)试评估我校高三年级
7、男生在全省高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为，求的均值参考数据：若，则，.23(本题满分12分)已知函数，.(1)当，时，求函数在处的切线方程，并求函数的最大值；(2)若函数的两个零点分别为，且，求证：.24(本题满分12分)如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决定谁先登上第3个台阶.他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动
8、，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为x.(1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；(2)求x的分布列和数学期望20202021学年第二学期高二期末考试数学答案（理科）1-5 CAACA 6-10 BAADC 11-12 DC13、24.68 14、 15、 16、17.解：(1)由2得2cos292sin29，将xcos ，ysin 代入得到曲线C的直角坐标方程是y21.(2)因为2，所以sin2，由OAOB，设A(1，)，则点B的坐标可设为，所以sin
9、2cos21.18.证明：(1)；(2) ，当且仅当或时取“=”.19. 解:(1)将直线的参数方程，消去参数，得，所以直线的普通方程为将,代入，得，所以曲线的直角坐标方程为(2)由(1)可知直线：，曲线:，所以圆心到直线的距离，所以设的中点为，则当曲线上的点到直线的距离最大，即当为过点且与垂直的直线与的交点时，最大，此时 20. 解：(1)当时，当时，即，解得，所以；当时，即，不等式恒成立，所以；当时，即，解得，所以综上所述，不等式的解集为(2)因为，所以.因为的最小值为，所以，因为，当且仅当等号成立；，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以的最小值为，此时.21、解：(
10、1)依题意，知f(x)的定义域为(0，)，当ab时， f(x)ln xx2x，f (x).令f (x)0，解得x1或x2(舍去)经检验，x1是方程的根当0x0，当x1时， f (x)0，m1.要使方程f(x)mx在区间1，e2内有唯一实数解，只需m1有唯一实数解令g(x)1(x0)，g(x)(x0)由g(x)0，得0xe，由g(x)e，g(x)在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数，g(1)11，g(e2)11，g(e)11， m1或1m1.22、解：(1)由直方图，经过计算得我校高三年级男生平均身高为1600.11650.21700.31750.21800.11850.1171.5
11、，高于全省的平均值170.5.(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数为0.25010，即这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10人(3)P(170.5340)，f (x)，则f (e)1，切点为(e，e3)，故函数f(x)在xe处的切线方程为xy30. 令h(x)1ln xx2，则h(x)1ln xx2在(0，)是减函数，又h(1)0，x(0，1)时，h(x)0, f(x)0，x(1，)时，h(x)0, f (x)0, f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)是减函数，fmax(x)f(1)2.(2)证明：x1，x2是f(x)的两个零点，且x1x
12、2，不妨设x1x2，f(x1)f(x2)0，即ax1b0，ax2b0，ln x1axbx10，ln x2axbx20，相减得ln x1ln x2a(xx)b(x1x2)0a(x1x2)b0，a(x1x2)2b(x1x2)0，a()2b()0，g()g().令t，即0t1.1ln tln t0.令m(t)ln t在(0，1)上是增函数又m(1)0，t(0，1)，m(t)0，命题得证24、【解析】(1)易知对于每次划拳比赛，基本事件共有33=9(个)，其中小华赢(或输)包含三个基本事件，他们平局也包含三个基本事件.不妨设事件“第i(iN*)次划拳小华赢”为Ai，事件“第i次划拳两人平局”为Bi，
13、事件“第i次划拳小华输”为Ci，所以P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=.因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种，小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳两人平局，其概率为P1=P(B1)P(C2)P(B3)+P(C1)P(A2)P(C3)P(B4)=；第二种，小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为P2=P(B1)P(B2)P(C3)+P(A1)P(B2)P(C3)P(C4)+P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)P(C5)=.所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为P=P1+P2=+=.(2)依题意可知，X的可能取值为2，3，4，5，P(X=5)=2P(A1)P(C2)P(A3)P(C4)=24=，P(X=2)=2P(A1)P(A2)=22=，P(X=3)=2P(A1)P(B2)P(A3)+2P(B1)P(A2)P(A3)+P(B1)P(B2)P(B3)+2P(A1)P(B2)P(B3)+2P(B1)P(A2)P(B3)+2P(B1)P(B2)P(A3)+2P(C1)P(A2)P(A3)=，P(X=4)=1-P(X=5)-P(X=2)-P(X=3)=，所以X的分布列为X2345P所以X的数学期望为：E(X)=2+3+4+5=.
