1、第二节等差数列1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系.1等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为(nN*，d为常数)第二项差an1and3等差数列的性质(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则有，特别地，当mn2p时，.注：此性质常和前n项和Sn结合使用(2)等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列(3)等差数列的单调性：若公差d0，则数列为；若d0，则数列为；若d0，则数列为
2、amanapaqaman2ap递增数列递减数列常数列1已知等差数列an中a1a24，a7a828，则数列的通项公式an为()A2nB2n1C2n1 D2n2解析：由已知得：(a7a8)(a1a2)12d24，d2，a1a1d4，a11，ana1(n1)d1(n1)22n1.答案：C3已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项的和S10等于()A138 B135C95 D23解析：a2a44，a3a510，(a5a4)(a3a2)2d6.5已知等差数列an其前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.解析：S10，S20S10，S30S20成等差数列，2(S20S10
3、)S10S30S20，4010S3030，S3060.答案：60例1等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050.(1)求通项an；(2)若Sn242，求n.即时训练设an是一个公差为d(d0)的等差数列，它的前10项和S10110且a1，a2，a4成等比数列(1)证明：a1d；(2)求公差d的值和数列an的通项公式(1)证明：因a1，a2，a4成等比数列，故a22a1a4.而an是等差数列，有a2a1d，a4a13d.于是(a1d)2a1(a13d)，即a122a1dd2a123a1d.化简得a1d.热点之二 等差数列的判定与证明证明一个数列an是等差数列的基本方法有两种：一是
4、利用等差数列的定义法，即证明an1and(nN*)，二是利用等差中项法，即证明：an2an2an1(nN*)在选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则利用定义法，否则，可以利用等差中项法即时训练 已知数列an的通项公式为anpn2qn(p、q为常数)，(1)当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列；(2)求证：对任意实数p、q，数列an1an是等差数列解：(1)设数列an是等差数列，则an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq，应是一个与n无关的常数，所以有2p0，即p0，qR.(2)因为an1anp(n1)2q(n1)(pn2qn)2pnpq，an2a
5、n12p(n1)pq，所以(an2an1)(an1an)2p(n1)pq(2pnpq)2p(常数)，所以，数列an1an是等差数列热点之三 等差数列的性质及应用等差数列的简单性质：已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)若mnpq，则amanapaq.特别：若mn2p，则aman2ap.(2)am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列即时训练(1)设等差数列an的前n项和为Sn.若S972，则a2a4a9_.(2)等差数列an的前n项和为Sn，若S22，S410，则S6等于()A12 B18C24 D42例4在等差数
6、列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值思路探究此题可有多种解法，一般可先求出通项公式，利用不等式组确定正负转折项，或者利用性质确定正负转折项，然后求其和的最值12n13，nN*，当n12或13时，Sn有最大值，S12S13130.解法二：由a120，S10S15，解得公差d，S10S15，S15S10a11a12a13a14a150，a11a15a12a142a13，a130.d0，a1，a2，a11，a12均为正数，而a14及以后的各项均为负数当n12或13时，Sn有最大值，S12S13130.思维拓展求等差数列前n项和的最值，
7、常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；利用等差数列的前n项和SnAn2Bn(A、B为常数)为二次函数，利用二次函数的性质求最值即时训练已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699.又Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是()A21 B20C19 D18解析：an为等差数列，a1a3a5105a335，a2a4a699a433，da4a333352，等差数列知识在高考中属必考内容，通常直接考查等差数列的通项公式，前n项和公式的题目为容易题，常以选择题、填空题形式出现，而与其他知识(函数、不等式、解析几何等)相结合的综合题一般为解答题，难易程度为中档题分析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键对(1)可直接根据定义求解；(2)采用裂项求和即可解决1(2010福建高考)设等差数列an的前n项和为Sn.若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于()A6 B7C8 D92(2010浙江高考)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和Sn，满足S5S6150，则d的取值范围是_
