1、第二节 函数的单调性与最大(小)值1.理解函数的单调性，掌握判断一些简单函数的单调性的方法2学会运用函数图象研究函数的性质，感受应用函数的单调性解决问题的优越性，提高观察、分析、推理、创新的能力1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间
2、2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值增函数减函数区间D1下列说法正确的是()A定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1x2，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数B定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2(a，b)，使得当x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数C若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1I2上也一定为增
3、函数D若f(x)在区间I上为增函数，且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，那么x1x23已知函数yf(x)是定义在R上的增函数，则f(x)0的根()A有且只有一个B有2个C至多有一个D以上均不对解析：f(x)在R上是增函数，对任意x1，x2R，若x1x2，则f(x1)f(x2)，反之亦成立故若存在f(x0)0，则x0只有一个若对任意xR都无f(x)0，则f(x)0无根答案：C热点之一 函数单调性的判定与证明用定义证明函数单调性的一般步骤：(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.(2)作差：即f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)，并通过通分、配方、因式分解等方法，
4、向有利于判断差的符号的方向变形(3)定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论(4)判断：根据定义得出结论思路探究可根据定义，先设1x1x21，然后作差、变形、定号、判断；也可以求f(x)的导函数，然后判断f(x)与零的大小关系热点之二 求函数的单调区间1求函数的单调区间(1)利用已知函数的单调性(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象给出的或者f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间2求复合函数yfg
5、(x)的单调区间的步骤(1)确定定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增或同减，则yfg(x)为增函数；若一增一减，则yfg(x)为减函数，即“同增异减”课堂记录(1)依题意，可得当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24.由二次函数的图象知，函数yx22|x|3在(，1，0,1上是增函数；在1,0，1，)上是减函数(3)f(x)3x230 x333(x11)(x1)，当x11时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x11时，f(x)0，得x1或0 x1，令g(x)1或1x0.所以g(x)
6、的单调增区间为(，1)，(0,1)；单调减区间为(1，)，(1,0)热点之三 利用函数的单调性，求参数的取值范围依据函数单调性的定义，对给定区间内的任意两个不相等的自变量对应的函数值作差(满足函数关系式的自变量必须在定义域内，这是一个容易被忽视的问题)，通过构造关于参数的不等式进行求解在求抽象函数中的参数的范围时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，得到关于参数的等量关系或不等关系热点之四 函数的最值与值域求函数最值(值域)常用的方法和思路：(1)单调性法：先定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高、最低点，求出最值(3)基本不等式法：先对解
7、析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(4)导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值(5)换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值思路探究当x1x22或2x1x2时，f(x)递增当2x1x20或0 x1x22时，f(x)递减故x2时，f(x)极大f(2)4；x2时，f(x)极小f(2)4.所求函数的值域为(，44，)函数无最值故f(x)的最小值为minf(2)，f(3)，而f(2)12(2)(2)316，f(3)123339.故函数的最小值为16.答案：(1)A(2)16函数的单调性及函数最值是高中数学函数中的重
8、要内容，是高考命题热点之一，从新课改省份的高考信息统计可以看出，考查呈以下特点：1选择题、填空题、解答题(与导数结合)三种题型都有可能出现2考查形式主要体现为利用单调性定义、导数或常见函数的单调性及重要结论判断函数单调性，利用单调性比较函数值的大小，解决求函数最值或不等式恒成立问题2(2009海南、宁夏高考)用mina，b，c表示a，b，c三个数中的最小值，设f(x)min2x，x2,10 x(x0)，则f(x)的最大值为()A4 B5C6 D7解析：由题意知函数f(x)是三个函数y12x，y2x2，y310 x中的较小者，作出三个函数在同一直角坐标系下的图象(如右图实线部分为f(x)的图象)，可知A(4,6)为函数f(x)的图象的最高点答案：C
