1、数学试卷一.选择题（每小题5分，共60分）1.从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（ ）A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”【答案】B【解析】【分析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少
2、一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.2.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23
3、43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号为（）A. 522B. 324C. 535D. 578【答案】D【解析】【分析】根据随机抽样的定义进行判断即可【详解】第行第列开始的数为（不合适），（不合适），（不合适），（不合适），（重复
4、不合适），则满足条件的6个编号为，则第6个编号为本题正确选项：【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键3.某班有60名学生，其中男生有40人，现将男、女学生用分层抽样法抽取12人观看校演讲总决赛，则该班中被抽取观看校演讲总决赛的女生人数为（ ）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】根据男女生人数关系得男女生人数之比为，即可得出抽取的12人中男生女生各多少人.【详解】某班有60名学生，其中男生有40人，则女生20人，男女生人数之比为，抽取的12人，女生人数为人.故选：C【点睛】此题考查抽样方法，根据分层抽样求样本中各类数据.4.一元二次不
5、等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】确定相应一元二次方程的解，根据二次函数性质确定不等式的解集.【详解】原不等式可化为，解得，或.故选：A【点睛】本题考查解一元二次不等式，属于简单题.5.已知等差数列中，则该数列前9项和等于A. 4B. 8C. 36D. 72【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质及其求和公式即可得出【详解】解：由等差数列的性质可得：，则该数列前9项和故选：【点睛】本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6.某地有两个国家AAAA级旅游景区甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流
6、量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（ ）A. 甲景区月客流量的中位数为12950人B. 乙景区月客流量的中位数为12450人C. 甲景区月客流量的极差为3200人D. 乙景区月客流量的极差为3100人【答案】D【解析】【分析】分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.【详解】根据茎叶图的数据：甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.故选：【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.7.若等比数列的各
7、项均为正数，则（ ）A. B. C. 12D. 24【答案】D【解析】【分析】由，利用等比中项的性质，求出，利用等比数列的通项公式即可求出【详解】解：数列是等比数列，各项均为正数，所以，所以所以，故选D【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，正确运算是解题的关键，属于基础题8.已知变量x,y之间的线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是( )x681012y6m32A. 变量x,y之间呈现负相关关系B. 可以预测,当x=20时,y=3.7C. m=4D. 该回归直线必过点(9,4)【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项
8、进行逐一分析，即可进行选择.【详解】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系.线性回归方程为，b=0.70，故负相关.对于B：当x=20时，代入可得y=3.7对于C：根据表中数据：9.可得4即，解得：m=5.对于D：由线性回归方程一定过()，即(9，4).故选：C.【点睛】本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题.9.已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的平均数，方差分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解答：一组数据的平均数是2,方差是，另一组数据的平均数为：221=3，方差为：22=.故选A.10.在中，则等于（ ）A. B. C.
9、或D. 或【答案】D【解析】由正弦定理得，所以，又，所以，所以或选D点睛：已知三角形的两边和一边对角解三角形时，需利用正弦定理求另一边的对角，解题时要注意讨论该角的个数，这是解题的难点，应引起注意11.已知正实数满足，则的最小值（ ）A. 2B. 3C. 4D. 【答案】B【解析】【详解】，当且仅当，即，时的最小值为3.故选B.点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.12.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公
10、路北侧一山顶在西偏北（即）的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在北偏东（即）的方向上，仰角，则此山的高度（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理先求得,再求出即可.【详解】易得.由正弦定理得.故.故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的实际运用,属于中等题型.二.填空题（每小题5分，共20分）13.等比数列an中，a2=9，a5=243，则an的前4项和为_【答案】120【解析】【分析】利用等比数列的运算公式，结合已知条件，先求得的值，进而求得的值，由此求得的值.【详解】q3=27，q=3，a1=3，S4=120故答案为120【点睛】本小题主要考查等比数列
11、通项公式的基本量计算，考查等比数列前项和公式，属于基础题.14.已知的三内角，的对边分别为，若，,，则边_【答案】【解析】【分析】根据余弦定理得到关于的方程，解方程求得结果.【详解】由余弦定理得：解得：（舍）或本题正确结果：【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.15.已知等差数列中，则其前项和的最小值为_【答案】4【解析】【分析】由题意结合等差数列的通项公式可得，求出后，可得，即可得解.【详解】设等差数列的公差为，解得，当时，的最小值为故答案：.【点睛】本题考查了等差数列基本量运算与前n项和最值的求解，属于基础题.16.数列满足前项和，则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】由
12、已知中前项和，结合 ，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式【详解】数列前项和，当时，又当时， ，故， 故答案为.【点睛】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法和步骤是解答本题的关键三.解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分）17.某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照40，50），50，60），60，70），90，100分成6组，制成如图所示频率分布直方图
13、（1）求图中x的值；（2）求这组数据的中位数；（3）现从被调查的问卷满意度评分值在60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率【答案】（1）0.02；（2）75；（3）0.4【解析】【分析】（1）由面积和为1，可解得x的值；（2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；（3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率【详解】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）10=1，解得x=0.02（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）0.03
14、=0.5，解得m=75（3）可得满意度评分值在60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2 满意度评分值在70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，利用古典概型概率公式可知P（A）=04【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题18.的内角所对边分别为，已知（1）求；（2）若
15、，求的面积【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）根据正弦定理得，化简即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面积【详解】（1）因为，根据正弦定理得， 又，从而，由于，所以 （2）根据余弦定理，而，代入整理得，解得或（舍去）故的面积为【点睛】本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19.已知等差数列满足.等比数列满足.( I )求数列的通项公式;(II)设,求数列的前项和.【答案】（）；（）.【解析】【分析】(I)利用等差数列的通项公式即可求解.(II)由等比数列的通项公式求出，再由数列分组求和即可求解.【详解
16、】解: (I) 在等差数列中，由题意可知解得.(II) 在等比数列中，由题意可知解得,.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式、分组求和，此题属于基础题.20.某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入（万元）与销售收入（万元）进行了统计，得到相应数据如下表：广告投入（万元）销售收入（万元）（1）求销售收入关于广告投入的线性回归方程（2）若想要销售收入达到万元，则广告投入应至少为多少.参考公式： ，【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由表中数据计算平均数和回归系数，求出y关于x线性回归方程；（2）利用回归方程令，求出的范围即可【详解】（）由题意知，
17、关于的线性回归方程为.（）令，则，即广告投入至少为（万元）.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题21.如图，在中，点在边上，.（1）求的面积.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由余弦定理求得，再求出的面积；（2）利用正弦定理求出，再根据求解.【详解】（1）由题意，在中，由余弦定理可得，即，所以或（舍），的面积.（2）在中，由正弦定理得，代入得，由为锐角，故，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数求值，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.等比数列的公比，且是、的等差中项.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题中条件得出，求出的值，然后利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出数列的前项和.【详解】（1）由题意可得，即，解得.因此，数列的通项公式为；（2），上式下式得，因此，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，解题时要熟悉错位相减法对数列通项结构的要求，考查计算能力，属于中等题.
