1、第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第二节 排列与组合最新考纲考情分析1.理解排列组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能利用排列组合知识解决简单的实际问题.1.以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力2以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律03微突破 提升素养01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点一 排列1排列的定义从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列2排列数从 n 个不同元
2、素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn表示3排列数公式Amn(n，mN*，且 mn)4全排列n 个不同元素全部取出的一个排列，叫 n 个不同元素的一个全排列这时 Annn(n1)(n2)321n！，规定 0！1.排列问题关键是看选出的元素具有顺序性n(n1)(n2)(nm1)n！nm！知识点二 组合1组合的定义从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素合成一组，叫从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合2组合数从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合
3、数，用符号 Cmn表示3组合数的计算公式CmnAmnAmm(n，mN*，且 mn)；Cmnn！m！nm！(m，nN*，且 mn)4组合数的性质性质 1：CmnCnmn；性质 2：CmnCm1nCm1n1.组合问题关键是看选出的元素不具有顺序性nn1n2nm1m！知识点三 有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题大致分四种类型1某元素不在某个位置上问题，可从位置考虑用其他元素占上该位置；可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；可间接计算，即从排列总数中减去不符合条件的排列个数一般原则是谁“特殊”谁优先2某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)，然后与其他元素排列3某些元素互不
4、相邻，可将其他剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)4某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其他元素，这些有顺序要求的元素也就一种排法具体求解时，首先确定分类与分步的主体，然后建立恰当的分类标准与分步顺序，最后根据排列知识与两个计数原理确定方法总数(1)一般地，若某个位置受到的限制少，则以这个位置的元素选择作为分类的依据；若某个元素受到的限制少，则以这个元素的位置选择作为分类的依据(2)解决元素与位置的对应问题时，首先要辩证看待“元素”与“位置”排列、组合的问题中元素与位置没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况
5、而定1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)若组合式 CxnCmn，则 xm 成立()(4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了()(1)从 3,5,7,11 这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为 a，b，共可得到 lgalgb 的不同值的个数是()A6 B8C12D16C解析：由于 lgalgblgab，从 3,5,7,11 中取出两个不同的数分别赋值给 a 和 b 共有 A2412
6、 种，所以得到不同的值有 12个(2)若 4 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有 1 个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A4 种B8 种C12 种D24 种B解析：将 4 个人重排，恰有 1 个人站在自己原来的位置，有 C14种站法，剩下 3 人不站原来位置有 2 种站法，所以共有C1428 种站法，故选 B.(3)用数字 1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A8B24C48D120C解析：因为末位数字排法有 A12种，其他位置排法有 A34种，共有 A12A3448(种)排法，所以偶数的个数为 48.(4)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对
7、方写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言(用数字作答)1 560解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A24040391 560(条)毕业留言(5)将 7 个不同的小球全部放入编号为 2 和 3 的两个小盒子里，使得每个小盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有种(用数字作答)91解析：分类即可，共有 C27C37C4721353591(种)放法02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 排列问题【例 1】有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选 5 人排成一排；(2)排成前后两
8、排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻【解】(1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57765432 520(种)(2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A37种方法，余下 4 人站后排，有 A44种方法，共有 A37A445 040(种)(3)解法 1：(特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6人有 A66种排列方法，共有 5A663 600(种)解法 2：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，有 A26种排法，其他有 A55种排法，共有 A26A553 600(
9、种)(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有 A44种方法，共有 A44A44576(种)(5)(插空法)先排女生，有 A44种方法，再在女生之间及首尾 5个空位中任选 3 个空位安排男生，有 A35种方法，共有 A44A351 440(种)方法技巧 求解排列应用问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列1六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192 种B216 种C240 种D288
10、 种B解析：第一类：甲在最左端，有 A5554321120(种)方法；第二类：乙在最左端，有 4A444432196(种)方法所以共有 12096216(种)方法2把 5 件不同产品摆成一排若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A与产品 C 不相邻，则不同的摆法有种36解析：记其余两种产品为 D，E.A，B 相邻视为一个元素，先与 D，E 排列，有 A22A33种方法；再将 C 插入，仅有 3 个空位可选，共有 A22A33C1326336 种不同的摆法考点二 组合问题【例 2】(1)(2020长沙市统考)为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设 A，B，C，D，E，F，共 6 门选修课程
11、，学校规定每个学生必须从这 6 门课程中选 3 门，且 A，B 两门课程至少要选 1 门，则学生甲共有_种不同的选法(2)(2020安徽省五校联盟质量检测)某地环保部门召集 6 家企业的负责人座谈，其中甲企业有 2 人到会，其余 5 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则发言的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为_1630【解析】(1)解法 1：根据题意，可分三类完成：选 A 课程不选 B 课程，有 C24种不同的选法；选 B 课程不选 A 课程，有 C24种不同的选法；同时选 A 和 B 课程，有 C14种不同的选法根据分类加法计数原理，得 C24C24C1466416(种
12、)，故学生甲共有 16 种不同的选法解法 2：从 6 门课程中选 3 门的不同选法有 C36种，而 A 和 B两门课程都不选的选法有 C34种，则学生甲不同的选法共有 C36C3420416(种)(2)解法 1：甲企业有 2 人，其余 5 家企业各有 1 人，共有 7人，所以从 7 人中任选 3 人共有 C37种情况，发言的 3 人来自 2 家企业的情况有 C22C15种，所以发言的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况共有 C37C22C1530(种)解法 2：发言的 3 人来自 3 家不同企业且含甲企业的人的情况有 C12C2520(种)；发言的 3 人来自 3 家不同企业且不含甲企业的人
13、的情况有 C3510(种)所以发言的 3 人来自 3 家不同企业的可能情况共有 201030(种)方法技巧 有限制条件的组合问题的解法组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型.“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.2“至少”或“最多”含有几个元素的题型.考虑逆向思维，用间接法处理.1某学校为了迎接市春季运动会，从 5 名男生和 4 名女生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法
14、种数为()A85 B86 C91 D90B解析：法 1：(直接法)由题意，可分三类考虑：第 1 类，男生甲入选，女生乙不入选的方法种数为：C13C24C23C14C3331；第 2 类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为：C14C23C24C13C3434；第 3 类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为：C23C14C13C2421.所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31342186.法 2：(间接法)从 5 名男生和 4 名女生中任意选出 4 人，男、女生都有的选法有 C49C45C44120 种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有 C47C4434 种所以男
15、生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 1203486.2现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为种472解析：第一类，含有 1 张红色卡片，不同的取法 C14C212264 种第二类，不含有红色卡片，不同的取法 C3123C3422012208 种由分类加法计数原理知，不同的取法共有 264208472 种考点三 分组、分配问题命题方向 1 整体均分问题【例 3】数学活动小组由 12 名同学组成，现将这 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，
16、并要求每组选出 1 名组长，则不同的分配方案有()A.C312C39C36A33A44种B34C312C39C36种C.C312C39C36A4443 种D43C312C39C36种B【解析】方法 1：首先将 12 名同学平均分成四组，有C312C39C36A44种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有 A44种分法，并在各组中选出 1 名组长，有 34 种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同的分配方案有C312C39C36A44A443434C312C39C36(种)，故选 B.方法 2：根据题意可知，第一组分 3 名同学有 C312种分法，第二组分 3 名同学有 C39种分
17、法，第三组分 3 名同学有 C36种分法，第四组分 3 名同学有 C33种分法第一组选 1 名组长有 3 种选法，第二组选 1 名组长有 3 种选法，第三组选 1 名组长有 3 种选法，第四组选 1 名组长有 3 种选法根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同的分配方案有 C312C39C36C333434C312C39C36(种)，故选B.命题方向 2 部分均分问题【例 4】为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派 5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编，则每种题型至少指派 1 名教师的不同分派方法种数为()A150B180C200D280A【解析】由题设可分如下两
18、类：若分成 1,1,3 的情况，则有 C35A3360(种)分派方法；若分成 1,2,2 的情况，则有C25C23A22 A3390(种)分派方法由分类加法计数原理可得共有 6090150(种)分派方法故选 A.命题方向 3 不等分问题【例 5】若将 6 名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有_种不同的分法360【解析】将 6 名教师分组，分三步完成：第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种取法；第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种取法；第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C33种取法根据分步乘法
19、计数原理，共有 C16C25C3360 种取法再将这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A336 种分法，故共有 606360 种不同的分法方法技巧 看个性例 3 是整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n 为均分的组数)，避免重复计数例 4 是部分均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m 组元素个数相等，则分组时应除以 m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几的全排列数例 5 是不等分问题，解题时需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数1(方向 1)某公司有五个不同部门
20、，现有四名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为()A60B40C120D240A解析：由题意得，先将四名大学生平均分为两组，共有C24C22A223(种)不同的分法，再将这两组安排到该公司的两个部门，有 A25种安排方式，故共有 3A2560(种)不同的安排方案故选 A.2(方向 2)甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借 A，B，C，D 四类课外书(每类课外书均有若干本)，已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲借阅了 A 类课外书，则不同的借阅方案种数为()A48B54C60D72C解析：五位同学借四类书，要保证每类书
21、均有人借阅，则必有两位同学借书的种类相同若 A 类书有两人借阅，则有 A4424(种)借阅方案；若 A 类书只有甲借，则剩下的四人中有两人借阅同类书，即把剩下的四人分成三组，一组两人，另外两组各一人，再将这三组全排列，则有C24C12C11A22A3336(种)借阅方案故共有 60 种不同的借阅方案3(方向 3)为发展国外孔子学院，教育部选派 6 名中文教师到泰国、马亚西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去 1 人，则不同的选派方案种数为.540解析：依题意，选派方案分为三类：一个国家派 4 名，另两个国家各派 1 名，有C46C12C11A22A3390(种)选派方案；一个国家派 3 名，一个
22、国家派 2 名，一个国家派 1 名，有 C36C23C11A33360(种)选派方案；每个国家各派 2名，有C26C24C22A33A3390(种)选派方案故不同的选派方案种数为 9036090540.03 微突破 提升素养 突破重点 开阔视野 排列与组合应用题的常见策略类型一 特殊元素(位置)优先法对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后再排列其他一般元素或位置【典例 1】(1)5 名学生进行知识竞赛笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们 5 人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”根据以上信息，这 5 人的笔试名次的所有可能的种数是
23、()A54B72C78D96C(2)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则可供考生选择的选考方法种数为()A6B12C18D24C【解析】(1)由题得，甲不是第一，乙不是最后先排乙：乙得第一，共有 A4424(种)可能；乙没得第一，有 3 种可能，再排甲也有 3 种可能，余下的 3 人有 A336(种)可能，共有 63354(种)可能所以共有 245478(种)可能(2)利用间接法求解从六科中选考三科的选法有 C36种，其中包括了没选物理、化学、生物三
24、科中任意一科与没选政治、历史、地理三科中任意一科，这两种选法均有 C33种，因此选考方法有C362C3318(种)类型二 相邻问题捆绑法在特定条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整个问题排好之后再考虑它们“内部”的排列数，它主要用于解决相邻问题【典例 2】(2020武汉调研)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A72B144C240D288D【解析】第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素 A，有 C13A226 种排法；第二步，再选一对夫妻，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素 B，有 C12A22C
25、128 种排法；第三步，将复合元素 A，B 和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有 A336 种排法，由分步计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有 686288(种)，故选 D.类型三 不相邻问题插空法先把不受限制的元素排列好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中【典例 3】在高三某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为_60【解析】不相邻问题插空法.2 位男生不能连续出场的排法共有 N1A33A2472(种)，女生甲排第一个且 2 位男生不连续出场的排
26、法共有 N2A22A2312(种)，所以出场顺序的排法种数为 NN1N260.类型四 定序问题消序法甲、乙、丙顺序一定，采用消序法，即除法，用总排列数除以顺序一定的排列数【典例 4】10 名同学合影，站成了前排 3 人，后排 7 人，现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为_420【解析】方法 1：首先从后排 7 人中抽取 2 人，有 C27种方法；再插入前排有A55A33种方法，由分步计数原理知共有 C27A55A33420 种方法 2：首先从后排的 7 人中抽 2 人，有 C27种方法；再把 2 个人在 5 个位置中选 2 个位置进行排列有
27、A25种由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是 C27A25420 种类型五 元素相同隔板法若把 n 个不加区分的相同元素分成 m 组，每组不空，可通过 n 个相同元素排成一排，在元素之间插入 m1 块隔板来完成分组，此法适用于同元素分组问题【典例 5】(2020天津和平检测)把 8 个相同的小球全部放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中，每个盒子不空，则不同的放法种数为_35【解析】把 8 个小球排成一列，在 7 个空中排入 3 个板，有 C3735 种方法若上述问题中允许有空盒呢？【解析】把 8 个小球与 3 个板排成 1 列，有 11 个位置，其中 3 个位置放板，则把小球分成了 4 部分，有 C311165 种分法【答案】165温示提馨请 做：课时作业 67PPT文稿（点击进入）
