1、第 1 页 共 48 页 关于初中数学思想方法教学现状的调研报告 东莞市长安实验中学 周利宁 【摘 要】本文在调研的基础上，对初中数学思想方法教学的现状进行了分析，得出了四个结论，提出了优化初中数学思想方法教学的七点建议：1、引导教师充分认识数学思想方法的重要性；2、吃透课标和教材，胸有全局，进行数学思想方法教学的系统研究；3、在概念教学中让学生领悟数学思想方法；4、在法则、定理和公式的教学中揭示数学思想方法；5、在解题教学中激活与应用数学思想方法；6、在知识的归纳总结中概括数学思想方法；7、从数学思想方法的角度去展开小初高的数学教学衔接。【关键词】初中数学；思想方法；调研；结论；优化教学；建
2、议 1 调研的背景 由于工作的需要，我们近两年确立了一个市立项课题新课标下优化初中数学思想方法教学的研究，根据此课题研究方案的安排，我们于 2011 年 6 月和 9、10 月进行了一次初中数学思想方法教学现状的调研，试图了解初中数学思想方法教学的现状。2 调研的准备 明确对象：调研的对象是课题参与者所在的东莞市 16 所公民办初中的师生，“初中数学思想方法知多少”的问卷调查面向这 16 所学校的 1182 名九年级和八年级的学生。明确方法：问卷调查、个别访谈和测试、课堂观察 明确内容：（1）初中生知道多少数学思想方法？（2）初中生能否感知问题解决过程中的数学思想方法？（3）初中生能否运用数学
3、思想方法解题？（4）初中数学教师对数学思想的重视程度，在教学中将数学思想摆在何种地位？（5）初中数学教师能否恰当渗透数学思想方法？能这样做的教师大约占多少比重？3 调研的实施(1)2011 年 6 月，进行课堂观察，设计初中数学思想方法知多少的调查问卷；(2)2011 年暑假，审定初中数学思想方法知多少的调查问卷；(3)2011 年 9 月底，将调查问卷发至课题组 36 个成员并明确工作要求，2011年 10 月初上缴调查问卷；(4)2011 年 10 月，进行调查问卷的统计，针对师生进行个别访谈；(5)2011 年 11-12 月，撰写关于初中数学思想方法教学现状的调研报告 4 问卷调查的统
4、计分析【第 1 题】所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性和可操作性等特点。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段，因此，人们把它们合称为数学思想方法。你认为在数学学习的过程中，掌握数学思想方法是否重要？（）A、很重要 B、不重要 C、会解题就好，是否掌握可有可无 D、没想过 学生答题情况如下：第 2 页 共 48 页 第1题九年级答题选项分布87%1%7%5%选项A选项B选项C选项D 第1题八年级答题选项分布87%0%6%7%选项A选项B选项C选项D 第1题全体答题选项分布86%1%7%6%选项A选项B选项C选项D【第 2
5、至 8 题答题情况】“初中数学思想方法知多少”调查问卷统计 题 号 考查 认知 年级发放问卷 有效问卷 选 项 A 选项B 选项C 选项D 选项E 选项F 选项G 选项H 通过率（%）1 数学思想方法的重要性 九983 963 830 126952 八199 199 174 0 1213 小计1182 1162 1004128168 2 分类讨论思想 九983 963 398 8911212311617 78 100 41.3 八199 199 67 251816267 11 30 33.7 小计1182 1162 465 11413013914224 89 130 40 3 化归 思想 九9
6、83 963 187 288418255554346 370 91 26.5 八199 199 63 41112399169 52 21 19.6 小计1182 1162 250 329530294645415 422 112 25.3 4 消元思想或化归思想 九983 963 181 240330208281735 117 494 72.9 八199 199 34 25815333129 12 136 95 小计1182 1162 215 265411261314864 129 630 76.7 5 逆变换 思想 九983 963 248 207340265358256 246 527 91
7、.9 八199 199 56 3798357773 41 105 91.5 小计1182 1162 304 244438300435329 287 632 91.8 6 方程 思想 九983 963 258 234372208275772 137 326 80.2 八199 199 42 35833849142 17 61 71.4 第 3 页 共 48 页 小计1182 1162 300 269455246324914 154 387 78.7 7 统计思想或数形结合思想 九983 963 179 19327312112181 177 768 99.8 八199 199 35 5353362
8、914 30 140 97 小计1182 1162 214 24632615715095 207 908 99.3 8 数形结合思想 九983 963 257 649414318426278 273 199 67.4 八199 199 78 13389546679 37 41 66.8 小计1182 1162 335 782503372492357 310 240 67.3 第 2 题至第 8 题（见附录）都是让学生在一定的问题情境中判断运用了哪种（或哪几种）数学思想方法。有问题情境启发或提示，答题的通过率不会低，但如果让学生运用于解题，情况就会与后面的第 9 题一样。【第 9 题】由（a+b
9、)2=a2+2ab+b2,尝试展开（a+b+c)2 出题人作了提示：运用“整体思想”，即将（a+b+c)2中的（a+b)看成一个整体，再运用“类比思想”，即类比（a+b)2=a2+2ab+b2 本题是考查学生在有提示的情况下，能否运用“整体思想”和“类比思想”解决问题。答题情况如下：近 36%的学生没有作答，在作答的学生当中，有部分学生能在出题人的提示下运用“整体思想”和“类比思想”正确展开，约占全部有效答卷的 16.7%，有 5.3%的学生直接写出结果（可能曾经接触过，记住了结论），有约 2%的学生通过整式乘法得出了正确结果，约 40%的学生解错或乱解。从本题的答题情况可作出判断，大多数学生
10、尚没有运用“整体思想”和“类比思想”解题的意识和能力，在有提示的情况下尚且如此，在无提示下，情况可能更差。5 个别访谈和测试 我们利用教研活动对学生进行了个别访谈和测试，访谈和测试内容是：（1）你知道多少数学思想方法？（2）你能否感知问题解决过程中的数学思想方法？（3）你能否运用数学思想方法解题？课间我们问一些初二或初三学生，你学过哪些数学思想方法？多数学生支吾不清，个别学生怯生地说：有消元思想和数形结合吧！【案例 1】课间，我们向几个初二学生展示了以下题目的解答：解方程组=+)2(1126)1(723yxyx 解：（1）+（2）得：189=x 进而2=x 将2=x代入（1）中得726=+y
11、进而21=y =212yx 问：在这个解答过程中，你知不知道有个重要的数学思想方法，是什么？部分学生不知，部分学生答：加减法！部分学生答：加减消元法！对后一种第 4 页 共 48 页 回答，我们又追问：关键是哪两个字？部分说“加减”，部分说“消元”。我们又追问：老师说这个解答过程实质是一个“转化或化归”的思想，你理解吗？全部的学生摇头不知。【案例 2】已知一次函数1+=axy和1=bxy的图象如图，方程组=+=11bxyaxy的解是=nymx，那么以下正确的是（）A、m0 n0;B、m0 n0;C、m0;D、m0 n2，则?2=x；x+128,312xxx，并把解集在数轴上表示出来 这几年来的
12、中考试题显示，不管是选择题填空题还是 6 分的解答题，学好基础知识极其重要。因此，复习时要以课本为主，深入钻研教材。课本是知识与方法的重要载体，离开课本的复习必然是无源之水、无本之木。所以在中考复习中，引导学生深刻理解课本中的基础知识，以抓好基础知识、基本方法、基本技能为主，争取基础题人人过关，让每个层次的学生都能练有所获，这样的复习才是事半功倍。2 利用好课本上的小结，让学生形成知识网络。教师要对课本知识进行系统梳理，利用好课本上的小结，让学生形成知识网络。许多学生在复习时不是以课本为本，而是舍本逐末，沉溺于“题海战”，做过题后缺乏认真的总结和反思归纳，结果是事倍功半，遇到问题时还是捉襟见肘
13、，第 38 页 共 48 页 中考时吃了大亏。其实中考试题形式虽新，但很多题目在内容上并没有超出课本的要求，而在应用基础知识、基本技能、基本方法上要求较高。因此在复习时要注重基础，立足于课本，注意挖掘和发挥课本中例题、习题的潜在功能，从课本中寻找中考题的“影子”。要注重第一轮的复习，在这一轮的复习中，对于课本中出现的数学概念、法则、性质、公式、公理、定理及基本的运算、作图和推理都必须进行全面的复习，做到不遗漏、不含糊，使常用的结论及解题方法、技巧，能在头脑中再现。在第二轮的复习中，应打破知识之间的界限，对知识加以概括和提炼，将知识点连成线，再将这些线编成网，构建出系统的知识体系，如一元二次方程
14、与二次函数可放在一起对比复习，结合图形掌握其联系和相互转化。譬如（2011 年广东，15）已知抛物线cxxy+=221与 x 轴没有交点（1）求 c 的取值范围；（2）试确定直线1+=cxy经过的象限，并说明理由 3 挖掘课本上隐含的数学思想，数学方法。中考数学除了着重考查基础知识外，还十分重视数学思想方法的考查，如配方法、换元法及函数思想、方程思想、数形结合思想等。例如数形结合思想，近几年中考的“压轴题”都与此有关，许多同学解这类问题时往往将“数”与“形”脱节，要么只注意代数知识，要么只注意几何知识，不会将它们相互转化。为此要指导学生在课本中着重寻找一些体现数学思想方法的题目，细心体会其解题
15、规律，挖掘其隐含的数学思想，提高综合运用所学知识求解问题的能力。（新人教版八年级下册 P122/复习题 19 第 14 题）四边形 ABCD 是直角梯形，B=90,AB=80cm,AD=24cm,BC=26cm.点 P 从 A 出发，以 1cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 3cm/s 的速度向 B 运动。其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。从运动开始，经过多少时间，四边形 PQCD 成为平行四边形？成为等腰梯形？点评：该习题是一个数形结合题，也是一个动点问题，当然也有分类思想等等，我们在复习时还可以再补充一个问：从运动开始，经过多少时间，四边形PQC
16、D 成为直角梯形？如（2011 年广东，22）如图，抛物线1417452+=xy与 y 轴交于 A 点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C(3，0).（1）求直线 AB 的函数关系式；（2）动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C 移动，过点P 作 PNx 轴，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 N.设点 P 移动的时间为 t 秒，MN 的长度为 s 个单位，求 s 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点 P 与点 O，点 C 重合的情况），连接 CM，BN，当 t 为何值时，四边形
17、BCMN 为平行四边形？问对于所求的 t 值，平行四边形 BCMN 是否菱形？请说明理由.AMNB第 39 页 共 48 页 点评：该中考题是一个数形结合题，也是一个动点的问题。还用到了分类的思想。4 指导学生学好课本上的阅读与思考、实验与探究以及数学活动。在中考备考中，我们要有目的地指导学生复习好课本上的阅读与思考、实验与探究以及数学活动。在这方面的考查，其他省市历年的中考题已经有所反映，走在了前面，所以我们可以未雨绸缪，有意识地对学生进行这方面的复习指导。譬如指导学生阅读新人教版八年级上册 P157 阅读与思考杨辉三角然后对比做出下面这道中考题：（2011 四川凉山州，19，6 分）我国古
18、代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了()nab+（n 为正整数）的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应()2222abaabb+=+展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着()3322233abaa babb+=+展开式中的系数等等。（1）根据上面的规律，写出()5ab+的展开式。（2）利用上面的规律计算：543225 210 210 25 2 1+类似的还有如新人教版八年级上册 P172 观察与
19、猜想x2（pq）xpq型式子的因式分解，这个阅读材料也是不错的一个内容。像这样的例子还有好多，在复习备考时我们教师可以有目的地引导学生去阅读去理解，以便提高复习效果。5 指导学生掌握好课本上典型的例题、练习、习题以及复习题。在中考数学复习中应该紧扣课标，“吃透”课本，掌握考试要求。历年考题11 1 2 1 1 3 3 1 1（a+b）1（a+b）2（a+b）3 第 40 页 共 48 页 中，我们发现，不少题目来自于课本，有的是从课本上寻找素材，有的则是在课本习题的基础上稍作拓展。就拿 2011 年广东省数学考卷中的第 13 题，来自于新人教版八年级下学期的课本 P14/练习第 2 题。而 2
20、009 年广东省数学考卷中的第14 题，其素材来源于新人教版八年级上册课本 P66/复习题的第 14 题。（2011 年广东省，13）已知：如图，E，F 在 AC 上，AD/CB 且 AD=CB，D=B 求证：AE=CF (新人教版八年级下学期的课本 P14/练习第 2 题)如图，ABCD，AEBC，DFBC，CEBF 求证：AEDF （2009 年广东，13）如图所示，ABC是等边三角形，D 点是 AC 的中点，延长 BC 到 E，使CECD=，（1）用尺规作图的方法，过 D 点作 DMBE，垂足是 M（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BMEM=(新人教版八年级上册课本 P66/复习题
21、的第 14 题)如图所示，ABC是等边三角形，BD 是中线，延长 BC 到 E，使CECD=，求证：DBDE 所以，我们要充分挖掘和发挥课本中的例题、习题的潜在功能，对典型问题进行变式训练。要教给学生通过类比、延伸、拓展出一些新颖的变式题，对课本上的例题、习题变条件、变结论、变图形、变表达方式，并加以解决，从中归纳、题 2 图 ABDCFEA CB DE第 13 题图题 13 图 BCDAF E A C BD E第 14 题图 第 41 页 共 48 页 整理出基础知识、基本方法、基本技能，熟练掌握教材中的通性通法，达到举一反三、触类旁通。会从课本中寻找中考题的“影子”，能从课本中挖掘、深化思
22、维的灵活性，提高思维的独创性。6 注意对各个版本的课本的研究。中考数学题中的基本知识点在各个版本的课本中都有不同程度不同类型的呈现，如果我们在备考中能够对各个版本的课本都进行研究，那么肯定对我们提高复习效果很有帮助，甚至做到游刃有余。最近几年好多中考题的影子在不同版本的课本中都有呈现.譬如（2008 年广东，16）在 2008 年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15 千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15 分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地已知吉普车速度是抢修车速度的 1.5倍，求这两种车的
23、速度。这个中考题在课本中的类似题出现在不同版本的课本中：（华东师大版数学九年级上 P17/习题 21.4 第 2 题）供电局的电力维修工要到 30 千米远的郊区进行电力抢修。技术工人骑摩托车先走，15 分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达。已知抢修车的速度是摩托车的 1.5倍，求这两种车的速度。（新人教版数学八年级下册 P31/练习第 1 题）八年级学生去距学校 10 千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了 20 分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是骑车同学速度的 2 倍，求骑车同学的速度。此外，有些中考题在一个版本的课本中不明显，但在另一个版本的
24、课本却能找到很类似的题。例如 2009 年广东中考第 16 题的应用题的类似题出现在新人教版九年级下册 P45/探究 1（2009 年广东，16）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？（新人教版九年级下册 P45/探究 1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患了流感？7 注意给学生补充初高中课本中有衔接关系的知识点。近年来各
25、地的中考题特别是广东省中考数学题出现了一个注重对初高中有衔接关系的知识点的考查的趋势，譬如高中的等差数列的通项，求和，等比数列的通项，求和等等。（2011 年广东，20）如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 第 42 页 共 48 页（1）表 中 第 8 行 的 最 后 一 个 数 是 _，它 是 自 然 数_的平方，第 8 行共有_个数；（2）用含 n 的代数式表示：
26、第 n 行的第一个数是_，最后一个数是_，第 n 行共有_个数；（3）求第 n 行各数之和 此外，韦达定理，无理方程，一元二次不等式的解法，绝对值方程等等也可以进行补充学习。总之，在中考数学备考中我们要紧扣课标“吃透”课本，我们才能以不变应万变，让学生真正掌握数学的“宗”，提高复习效果。【参考文献】1课程教材研究所和中心数学课程教材研究开发中心编著.义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册.北京：人民教育出版社，2008，7 2课程教材研究所和中心数学课程教材研究开发中心编著.义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册.北京：人民教育出版社，2008，12 3课程教材研究所和中心数学课程教材研究
27、开发中心编著.义务教育课程标准实验教科书九年级数学下册.北京：人民教育出版社，2009，7 4王建磐主编.义务教育课程标准实验教科书.九年级数学上，上海：华东师范大学出版社，2006，6 培养数学反思习惯 提升数学学习能力 东莞中学松山湖学校 冯强泉 摘要：数学反思习惯对理解数学知识、培养解题能力、提高学习效率具有十分重要的作用.为推进素质教育，本文运用案例分析的方法阐述了教师应精心设计教学过程引导学生反思概念、定理、解题，同时合理实施各项举措，促进学生反思，逐渐培养反思习惯等教学策略.关键词：数学反思 培养 策略 数学反思是指学习者对自身数学学习活动的过程及活动过程中涉及的有关事物（材料、信
28、息、思维、结果等）学习特征的反向思考1.世界著名数学教育大师荷兰的弗赖登塔尔教授曾精辟指出：反思是数学思维活动的核心和动力，通过反思才能使学生的现实世界数学化，没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平.所以，数学反思对数学学习的效果至关重要.但一直以来，第 43 页 共 48 页 教师很少引导学生反思，学生也缺乏反思意识，学生普遍不会反思，这直接影响学生数学素质的提高和创新意识、创造能力的发展.为此，数学教师应加强引导学生反思，培养学生的数学反思习惯.1 精心设计教学过程，引导学生反思 学生的数学反思习惯不是天生的，需要教师在平时的教育教学中加强引导，帮助学生培养反思意识，教给学
29、生反思方法，逐渐养成学生的反思习惯.1.1 反思概念，深刻理解 概念是数学的基础，只有掌握概念，才能在头脑中建筑起数学大厦.因此，概念教学是数学教学的基础，是培养学生反思习惯的主要阵地.1.1.1 反思概念的本质特征 概念教学的本质是要使学生在头脑中形成概念表象，帮助学生建构起良好的概念图式2.概念教学中，当学生习得言语信息后，应当引导学生反思：它有哪些特征？如在平方根a 教学中，教师要提出问题：你是如何理解a 的？由此引导学生反思a，逐渐意识到：a 是一个数，是一个非负数，这个数的平方会等于非负数a 等等.1.1.2 反思相似的概念 数学中很多概念是相似的，教师应当引导学生反思，以区分相似概
30、念，深刻把握概念的本质.如在学习不等式解的概念时，应当引导学生反思：不等式的解与方程的解有何区别？学生经过反思意识到：一元一次方程的解最多只有一个，而一元一次不等式的解一般有无数个.如对于不等式 x+30，大于-3 的无数个数都是这个不等式的解，表示为 x-3，即 x-3 这个式子表明：x 是那些大于-3 的无数个数.1.2 反思定理，切实把握定理内涵 数学中很多定理都是用非常简练、严谨的语言表述的，它不利于学生初学时对定理的理解和把握,为此，教师要引导学生对定理进行反思.如定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，教师要引导学生如此反思：用你自己的话怎么表述这个定理？这个定理的题设是什么，
31、结论是什么？用几何语言怎么书写？这个定理可以用来证明什么结论？1.3 反思解题，提升能力 第 44 页 共 48 页 著名数学教育家 G波利亚把解题过程分成四个步骤：(1)理解题目;(2)拟定方案;(3)实行方案;(4)回顾3.学生得出了数学题的答案，并不意味着解题思维活动的结束，而是深度思维的开始，教师要引导学生进行解题反思，深化认识，提升能力.1.3.1 反思解题思路 学生在解完一道题后，往往就心满意足，不再思考，这就错过了提高升华的的机会.绝大部分学生在解题过程中，总在不断尝试，不断修正，解题思路并不十分清晰.为提高解题质量和效率，数学教师要经常引导学生回顾和整理解题思路，概括解题思想，
32、使解题过程清晰化、思维条理化、精确化和概括化.教师要引导学生在一个数学解题结束后尽力去回忆自己从开始到结束的每一步心理活动，反思自己做的到底对不对？哪里有疑问？一开始自己是怎么分析题意的?中间遇到了什么困惑？如何解决困惑？运用了什么知识点？涉及到哪些思想方法？解题的易错点是什么？解题的关键是什么？以后解题时应如何避免走弯路？等等.例如：如图 1，已知等腰梯形 ABCD，AB=6，CD=10，C=600，求等腰梯形 ABCD的周长.解：过点 B 作 BEAD.四边形 ABCD 是等腰梯形 ABCD，AD=BC，C=D=600 ABCD，BEAD 四边形 ABED 是平行四边形 AB=DE=6，A
33、D=BE BE=BC，EC=DC-DE=10-6=4 又C=600 BEC 是等边三角形 BC=EC=4=AD 等腰梯形 ABCD 的周长=6+10+4+4=24.学生解决问题后，教师要引导学生反思：这道题的解题思路是怎样的？体现了什么样的思想方法？以后碰到这种等腰梯形的问题可以怎么考虑？实际上，本题是等腰梯形的问题，通过作辅助线，把梯形分成一个平行四边形和一个等腰三角形，A B C DE 图 1 第 45 页 共 48 页 即把问题转化为平行四边形与等腰三角形的问题，体现了数学中把未知转化为已知的思想方法.1.3.2 反思解题方法 很多数学问题都有多种解法，寻找出多种解法，可以发开阔学生的解
34、题思路，发展学生的思维能力.因此，教师要引导学生反思：还有其他方法吗？哪种方法最优？例如：已知一条抛物线的顶点是(1,3)，还经过点（0,2），求这条抛物线的解析式.学生想出解法 1：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,因为顶点坐标公式是24(,)24bacbaa，则241,324bacbaa=，再把（0,2）代入 y=ax2+bx+c，得 a02b0c=2，组成方程组：2212434002baacbaabc=+=解得 122abc=函数解析式为 y=-x2+2x+2.在学生思考出一种解法后，引导学生反思，还有其他解法吗？学生在认真思考后想出解法 2：因为抛物线的顶点是（1,3），所以抛
35、物线的对称轴是直线 x=1，（0,2）关于直线 x=1 的对称点是（2,2），也是抛物线上的一点.设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,把（1，3）、（0,2）、（2,2）代入解析式，得到三元一次方程组，解出 a、b、c 即可.还有学生还想出解法 3：设抛物线的解析式为顶点式 y=a(x-h)2+k，则顶点坐标为(h,k).因为抛物线顶点为（1,3），则 h=1,k=3，得 y=a(x-1)2+3，再把（0,2）代入顶点式，求出 a 即可.1.3.3 反思解题规律 很多数学问题有共同特点，解题有共同的规律，找出这些规律，有利于学生看清问题本质，掌握解决方法.例如：有 n 个人，每两个人握一
36、次手，共有多少次握手？第 46 页 共 48 页 解：因为每一个人都要与其他的人握手，故每一个人要握（n-1）次手，全部人共需握手 n（n-1）次.但这种算法是重复计算了一次，故实际上全部人共握手(1)2n n 次.在解决这个问题后，教师要引导学生反思：这个问题与之前学过的哪类问题相似？从而帮助学生明白此类“握手问题”与“平面上有 n 个点，任意 3 点都不在同一条线上，则这 n 个点可以连出几条直线”、“同一条直线上的 n 个点可以形成多少条线段”、“同一个顶点出发的 n 条射线可以形成几个角”、“n 支球队两两赛一场共需赛几场”问题本质相同，与“n 边形有多少条对角线”的解法相似，因而能深
37、刻理解这一类问题的解决方法.1.3.4 反思问题的变式或推广 对数学问题进行变式或推广，既能让学生进一步深入理解题目的解法，又能促使学生根据变化了的条件进行积极思考，从而寻求解决问题的方法，培养学生的创造性思维.因此，教师应该引导学生反思问题本身，对问题进行变式或推广.例如：如图 2，三角形ABC 与DCE 是两个等边三角形，B、C、E 在同一条直线上，求证：BD=AE.在解决这个问题后，教师应当引导学生反思 1：在这个问题中，还能得出什么结论？事实上，如图 2，可证明 CF=CG；反思 2：哪个条件是否可以放宽些，使结论 BD=AE 仍然成立？怎么证明？事实上，如图 3，即使 B、C、E 不
38、在同一条直线上，结论 BD=AE 仍然成立.反思 3：在这个问题中，等边三角形是否可以更换为其他图形，结论如何？事实上，如图 4，当等边三角形更换为直角三角形后，仍然有结论 BD=AE.如图 5，当等边三角形更换为正方形后，得结论 BG=DE.A B D ABDEC图 2F G ABCD E 图3F GF ABCDG第 47 页 共 48 页 2 合理实施各项举措，促进学生反思 反思需要花费时间，含有自我质疑的成分，学生往往在内心容易产生抵制情绪，不愿意反思.所以单凭教师的的引导、示范，不足以形成反思的技能和反思的意识，教师必须要实施各项举措，促进学生反思.2.1 向学生说明反思的重要性，激发
39、内驱力 心理学研究表明，当学生知道了做一件事情的必要性，知道做了有什么作用，知道了怎么做，才会乐意去做.因此，教师应该通过讲道理，列举事例等方式，向学生说明反思的重要性.反思的益处有：反思可以促进知识的同化和迁移，有助于把握知识的本质，有助于发现新的方法和技巧，有助于提升解题能力等.另外，也要教会学生什么是反思，要反思什么，怎么反思，这样，激发学生的内在动机，变“要我学”为“我要学”，促进反思的常态化.2.2 留出时间，让学生反思、交流 传统的教学，课堂上要么老师满堂灌，要么布置很多题目给学生做，学生不能成为课堂的主人，很少有时间进行反思；课后，布置大量的解题作业，基本没有时间进行反思.这些都
40、束缚了学生的主动性，不利于学生反思.反思需要时间，故教师需要留出时间，比如在课堂上给出少量时间让学生专门进行反思，并给时间让学生交流反思所得，体验快乐.课后，布置少一些题目，留出时间让学生对解题过程进行反思.2.3 撰写数学反思记录 布置学生撰写反思记录，是促进学生反思的重要举措.反思记录可以是新课后的反思，也可以是章节结束后的反思，可以是作业错题的反思，可以是考试反思，也可以是对某一道题的反思.教师应该要求学生定期上交反思记录，督促学生进行反思.为了鼓励学生撰写反思记录，教师可以评选优秀反思记录，进行表扬激励.例如学生在学习了全等三角形的判定方法后，要求学生反思各种判定方法，撰写反思记录.一
41、位学生在在反思记录里写道：ASA、SSS、ASA、AAS 都可以作为判定方法，但两边和其中一边的对角对应相等（边边角）却不可以判定，到底为图 4 C第 48 页 共 48 页 什么呢？老师列举了一个反例，可是我发现还有很多情况下也可以说明他们全等.到底什么时候边边角可以证明全等，什么时候不能证明全等呢？我对此进行了反思，也把我的困惑和想法与其他同学进行了交流.最后发现：如果两个三角形都是直角三角形，或者两个三角形都是锐角三角形，或者两个三角形都是钝角三角形，那么边边角是可以证明全等的.2.4 运用检测评估促进反思 检测评估具有诊断、导向、激励的作用，在培养学生反思习惯的过程中，运用检测评估可以
42、促进学生反思.如教师可以通过与学生谈话，了解学生的反思情况，进行表扬鼓励或者提出批评建议；教师也可以布置一些反思性作业4.教师还可以在平时的考试中出一些考察反思情况的题目进行检测，比如题目：请你列出a 的各项属性，至少列出 3 项_.总之，教师应该多想办法,多利用各种机会，主动创造条件让学生学会反思，调动学生积极性，促进学生养成数学反思的习惯.让学生在数学反思中感悟学习数学的乐趣，在数学反思中感悟数学能力提升的成功体验，在数学反思中不断获得自身的成长！参考文献：1涂荣豹.试论数学反思性学习J.数学教育学报，2000,9（4）:17-21.2何小亚 姚静.中学数学教学设计M.北京：科学出版社，2009.3波利亚.怎样解题M.上海：上海科技教育出版社，2007.4张定强等.高中生数学反思能力培养的基本模式与实践探索J.数学教育学报，2008,17（1）:38-42.
