1、第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理最新考纲考情分析1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题1.两个计数原理一般不单独命题，常与排列、组合交汇考查2题型以选择题、填空题为主，要求相对较低.课时作业01知识梳理 诊断自测02考点探究 明晰规律01 知识梳理 诊断自测 课前热身 稳固根基 知识点 两种计数原理1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3
2、)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成()(4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共有 m1m2m3mn 种方法()(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()2小题热身(1)从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为()A6 B5 C3 D2B解析：“完成这件事”即选出 1 人当主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有 3 种选法和 2 种选法，所以共有 32
3、5 种不同的选法(2)已知某公园有 4 个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法共有()A16 种B13 种C12 种D10 种(3)小王有 70 元钱，现有面值分别为 20 元和 30 元的两种 IC 电话卡若他至少买一张，则不同的买法共有()A7 种B8 种C6 种D9 种CA解析：要完成的“一件事”是“至少买一张 IC 电话卡”，分 3 类完成：买 1 张 IC 电话卡、买 2 张 IC 电话卡、买 3 张 IC电话卡，而每一类都能独立完成“至少买一张 IC 电话卡”这件事买 1 张 IC 电话卡有 2 种方法，买 2 张 IC 电话卡有 3 种方法，买 3 张 IC 电话卡有 2 种
4、方法不同的买法共有 2327(种)(4)一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从 P 点处进，Q 点处出，沿图中线路游览 A，B，C 三个景点及沿途风景，则不同(除交汇点O 外)的游览线路有种(用数字作答)48解析：根据题意，从点 P 处进入后，参观第一个景点时，有6 个路口可以选择，从中任选一个，有 6 种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有 4 个路口可以选择，从中任选一个，有 4 种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有 2 个路口可以选择，从中任取一个，有 2 种选法由分步乘法计数原理知，共有 64248(种)不同游览线路(5)如图，从 A 城到 B 城有 3 条路；从 B
5、 城到 D 城有 4 条路；从 A城到 C 城有 4 条路，从 C 城到 D 城有 5 条路，则某旅客从 A 城到 D 城共有条不同的路线32解析：不同路线共有 344532(条)02 考点探究 明晰规律 课堂升华 强技提能 考点一 分类加法计数原理的应用【例 1】(1)已 知 椭 圆 x2a2 y2b2 1，若 a 2,4,6,8，b 1,2,3,4,5,6,7,8，这样的椭圆有_个()A12 B16C28 D32(2)我们把中间位数上的数字最大，而两边依次减小的多位数称为“凸数”如 132,341 等，那么由 1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是_C20【解析】(1
6、)解法 1：若焦点在 x 轴上，则 ab，a2 时，有 1 个；a4 时，有 3 个；a6 时，有 5 个；a8 时，有 7 个，共有 135716 个若焦点在 y 轴上，则 ba，b3 时，有 1 个；b4 时，有 1个；b5 时，有 2 个；b6 时，有 2 个；b7 时，有 3 个；b8 时，有 3 个共有 11223312 个故共有 161228 个解法 2：ab 时有 4 种情况，故椭圆个数为 48428 个(2)根据“凸数”的特点，中间的数字只能是 3,4,5，故分三类，第一类，当中间数字为“3”时，此时有 2 种(132,231)；第二类，当中间数字为“4”时，从 1,2,3 中
7、任取两个放在 4 的两边，故有 6 种；第三类，当中间数字为“5”时，从 1,2,3,4 中任取两个放在 5的两边，故有 12 种；根据分类加法计数原理，得到由 1,2,3,4,5 可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是 261220.方法技巧 1根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.2分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.1图书馆的书架有三层，第一层有 3 本不同的数学书，第二层有5 本不同的语文书，第三层有 8 本不同的英语书，现从中任取 1 本书，则不同的取法共有()A120 种 B16 种 C64 种 D39 种B解析：书架上有 35
8、816(本)书，则从中任取 1 本书，共有 16 种不同的取法故选 B.2将编号为 1,2,3,4 的小球放入编号为 1,2,3 的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有()A16 种B12 种C9 种D6 种B解析：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当 1 号与 2 号小球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；当 1 号与 3 号小球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；当 1 号与 4 号小球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；当 2 号与 3 号小球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；当 2 号与 4 号小球放在同一盒子中时，有
9、 2 种不同的放法；当 3 号与 4 号小球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法因此，由分类加法计数原理可知，不同的放球方法共有 12种故选 B.考点二 分步乘法计数原理的应用【例 2】(1)已知集合 M3，2，1,0,1,2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，则 P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为()A6B12C24D36(2)有 6 名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，三个项目都有人报，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法A120【解析】(1)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 a，由于 a0，所以有 2 种方法由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数
10、是 326.(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法，第三个项目有4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种)方法技巧 利用分步乘法计数原理解决问题的策略1利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.2分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.1.如图，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路，其中有 6 个焊接点 A，
11、B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有种63解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有 26163 种可能情况2从1,0,1,2 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)ax2bxc 的系数，则可组成个不同的二次函数，其中偶函数有个(用数字作答)18解析：一个二次函数对应着 a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有 3 种，b 的取法有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有 33218(个)二次函数若二次函数为偶函数，则 b0，同上可知共有 326(个)偶函数6考点三
12、两个计数原理的综合应用命题方向 1 计数问题【例 3】高考结束后 6 名同学游览我市包括日月湖在内的 6 个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有()AA26A45种BA2654 种CC26A45种DC2654 种D【解析】根据题意，分 2 步进行分析：先从 6 名同学中任选 2 人，去日月湖景区旅游，有 C26种方案，对于剩下的 4 名同学，每人都有 5 种选择，则这 4 人有 555554 种方案，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有 C2654 种，故选D.命题方向 2 与几何有关的问题【例 4】如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个
13、“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A48B18C24D36D【解析】第 1 类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有 21224(个)；第 2 类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有 12 个所以正方体中“正交线面对”共有 241236(个)命题方向 3 涂色问题【例 5】如图一个地区分为五个行政区域，现给该地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_种(用数字作答)72【解析】由题意可知，当选用三种颜色
14、着色时，由分步乘法计数原理得，有 C14C13C1224(种)方法，当选用四种颜色着色时，由分步乘法计数原理得，有 2C14C13C12C1148(种)方法，再据分类加法计数原理可得有 244872(种)方法方法技巧 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路1弄清完成一件事是做什么.2确定是先分类后分步，还是先分步后分类.3弄清分步、分类的标准是什么.4利用两个计数原理求解.1(方向 1)将 5 个不同的球放入 4 个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同的放法共有()A480 种B360 种C240 种D120 种C解析：根据题意，将 5 个不同的球放入 4 个不同的盒子中，每个盒子至少放
15、一个球，则必须有 2 个小球放入 1 个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分 2 步进行分析：先将 5 个小球分成 4 组，有 C2510 种分法；将分好的 4 组全排列，放入 4 个盒子，有 A4424 种情况，则不同放法有 1024240种故选 C.2(方向 2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A60B48C36D24B解析：长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”的个数为6636，另外含 4 个顶点的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为 6212，故符
16、合条件的“平行线面组”的个数是 361248.3(方向 3)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1，2，9 的9 个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1,5,9 的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种.123456789108解析：把区域分为三部分，第一部分 1,5,9，有 3 种涂法第二部分 4,7,8，当 5,7 同色时，4,8 各有 2 种涂法，共 4 种涂法；当 5,7 异色时，7 有 2 种涂法，4,8 均只有 1 种涂法，故第二部分共 426 种涂法第三部分与第二部分一样，共 6 种涂法由分步乘法计数原理，可得共有 366108 种涂法温示提馨请 做：课时作业 66PPT文稿（点击进入）
