1、第二章 第二节一、选择题1(文)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是()Aylog2x Byx13Cy(12)x Dy1x答案 D解析 ylog2x 在(0，)上为增函数；yx13在(0，)上是增函数；y(12)x 在(0，)上是减函数，y(12)x 在(0，)上是增函数；y1x在(0，)上是减函数，故 y1x在(0,1)上是减函数故选 D(理)(2014东营模拟)下列函数在(0，)上是增函数的是()Ayln(x2)By xCyxx1 Dy(12)|x|答案 C解析 当 x1 时，yln(x2)无意义；y x在0，)上单调递减；y(12)|x|在0，)上单调递减，选 C2(文)(20
2、14山西运城模拟)已知函数 f(x)log2x，x1，xc，x1，4a2x2 x1是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为()A(1，)B4,8)C(4,8)D(1,8)答案 B解析 由 yax(x1)单调增知 a1；由 y(4a2)x2(x1)单调增知，4a20，a8；又 f(x)在 R 上单调增，a(4a2)2，a4，综上知，4a4f(2)，排除 A、Da4 时，f(x)4x x1，2x2 x1.在 R 上单调递增，排除 C，故选 B3(文)(2014贵州贵阳质检)定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x2 对称，且 f(x)在(，2)上是增函数，则()Af(1)f(3)
3、Cf(1)f(3)Df(0)f(3)答案 A解析 f(x)的图象关于直线 x2 对称，f(3)f(1)，f(x)在(，2)上是增函数，f(1)f(1)f(3)(理)(2014厦门模拟)定义在 R 上的函数 f(x)在区间(，2)上是增函数，且 f(x2)的图象关于直线 x0 对称，则()Af(1)f(3)Cf(1)f(3)Df(0)f(3)答案 A解析 f(x2)的图象关于直线 x0 对称，f(x)的图象关于直线 x2 对称，f(3)f(21)f(21)f(1)，又 f(x)在(，2)上为增函数，f(1)f(0)0，则由 f(x)0 得 x 2a，当 x 2a时，f(x)0，f(x)单调增，当
4、 2ax 2a时，f(x)单调减，f(x)的单调减区间为(2a，2a)，从而 2a2，a2.点评 f(x)的单调递减区间是(2,2)和 f(x)在(2，2)上单调递减是不同的，应加以区分本例亦可用 x2 是方程 f(x)3x26a0 的两根解得 a2.5(文)已知 a21.2，b(12)0.8，c2log52，则 a、b、c 的大小关系为()Acba BcabCbac Dbc212，b(12)0.820.8201，c2log52log522log54log551，所以 cbbc BacbCcab Dbca答案 A分析 b 与 c 有相同底数 0.4，故可用指数函数 y0.4x 的单调性比较大小
5、，且可知 b 与c 都小于 1，又知 a1，即可获解解析 y0.4x 为减函数，00.20.40.20.40.6，1bc；又 y2x 为增函数，0.20，20.2201，a1，abc.6(文)(2014安徽省“江南十校”联考)函数 ylog2(|x|1)的图象大致是()答案 B解析 首先判断定义域为 R.又 f(x)f(x)，所以函数 ylog2(|x|1)为偶函数，当 x0 时，ylog2(x1)由对数函数的图象特征知排除 A、C，又 x1 时，y1，排除 D，故选 B(理)(2013阜阳月考)函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 ylog12f(x)的图象大致是()答案 A解析 由 f(
6、x)的图象知 f(x)1，ylog12f(x)0，故选 A二、填空题7(文)(2013柳州月考)定义在 R 上的奇函数 yf(x)在0，)上递增，且 f(12)0，则满足 f(log19x)0 的 x 的集合为_答案 x|0 x13，或 1x0，得 log19x12或12log19x0，解得 0 x13或 1x3.所以满足条件的 x 的取值集合为x|0 x13，或 1x0 的解集是_答案(0，12)(2，)解析 由 f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数，可得 f(x)在(，0)上是减函数，f(log4x)0f(log4x)f(12)log4x12，解得 0 x2.8(文)已知函数 f(x)e
7、x2，x0，2ax1，x0，(a 是常数且 a0)对于下列命题：函数 f(x)的最小值是1；函数 f(x)在 R 上是单调函数；若 f(x)0 在12，)上恒成立，则 a 的取值范围是 a1；对任意的 x10，x20 且 x1x2，恒有 f(x1x22)0 在12，)上恒成立，则 2a1210，a1，故正确；由图象可知对任意的 x10，x20 且 x1x2，恒有 f(x1x22)0 的 m的取值范围为_答案(2，)解析 因为 f(x)3xsinx 的定义域 R 关于原点对称，且满足 f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数又因为 f(x)3cosx0，所以函数 f(x)在 R 上单调递增，则
8、 f(2m1)f(3m)0 等价于 f(2m1)f(3m)，即 f(2m1)f(m3)，故 2m1m3，解得 m2.三、解答题10(文)(2014济南模拟)已知定义域为 R 的函数 f(x)3xb3x1a是奇函数(1)求 a，b 的值；(2)证明函数 f(x)的单调性解析(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，3xb3x1a3xb3x1a，此式对xR 都成立，x0 时等式成立，b1.又 x1 时此等式成立，a3.(2)f(x)3x13x1313233x1，易证 f(x)为减函数(理)经市场调查，某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t(天)的函数，且日销售量近似地满足 g(t)1
9、3t1123(1t100，tN)前 40 天价格为 f(t)14t22(1t40，tN)，后 60 天价格为 f(t)12t52(41t100，tN)，试求该商品的日销售额 S(t)的最大值和最小值解析 当 1t40，tN 时，S(t)g(t)f(t)(13t1123)(14t22)112t22t112223 112(t12)225003，所以 768S(40)S(t)S(12)1122231225003.当 41t100，tN 时，S(t)g(t)f(t)(13t1123)(12t52)16t236t11252316(t108)283，所以 8S(100)S(t)S(41)14912.所以，
10、S(t)的最大值为25003，最小值为 8.点评 求函数值域与最值的基本方法与思路：单调性法，图象法，基本不等式法，换元法，导数法，判别式法等(1)单调性法若函数 f(x)x22xm 在3，)上的最小值为 1，则实数 m 的值为()A3 B2C1 D1答案 B解析 f(x)(x1)2m1 在3，)上是增加的，且 f(x)在3，)上的最小值为1，f(3)1，即 22m11，m2.选 B函数 y x1 x1的最大值为()A2 2 B 2C1 D4答案 B解析 y2x1 x1，又 x1，则 y 是 x 的减函数，当 x1 时，ymax 2.已知函数 f(x)x22xax，x1，)(1)当 a4 时，
11、求 f(x)的最小值；(2)当 a12时，求 f(x)的最小值；(3)若 a 为正常数，求 f(x)的最小值分析 在解决该类型函数的最值时，首先考虑到应用均值不等式求解，但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件，若条件不具备，应从函数单调性的角度考虑解析(1)当 a4 时，f(x)x4x2，易知 f(x)在1,2上是减少的，在2，)上是增加的f(x)minf(2)6.(2)当 a12时，f(x)x 12x2，易知 f(x)在1，)上为增加的，f(x)minf(1)72.(3)函数 f(x)xax2 在(0，a上是减少的，在 a，)上是增加的若 a1，即 a1 时，f(x)在区间1，)上先减后增，
12、f(x)minf(a)2 a2；若 a1，即 0a1 时，f(x)在区间 1，)上是增加的f(x)minf(1)a3.综上所述，f(x)mina301.(2)图象法设 a，bR，定义 maxa，ba abb ab，函数 f(x)max|x1|，|x2|(xR)，则 f(x)的最小值是_答案 32解析 令 y1|x1|，y2|x2|，在同一坐标系中分别作出其图象，如图所示，根据条件知函数 f(x)的图象为图中的射线 PA，PB 构成，由yx2yx1，解得 y32.即为函数 f(x)的最小值(3)反函数法函数 y1x21x2的值域为_答案(1,1解析 解法 1：(反函数法)由 y1x21x2得x2
13、1y1y0，解得1y1.解法 2：(分离常数法)y1x21x2x212x2112x21.x211，02x212，10，x22x，x0的值域为()AR B(，12，)C1,2 D(，12，)答案 B分析 先分别求出函数在每一段上的取值，当 x0 时，可化简函数解析式，利用基本不等式求解函数的最值，进而确定其取值范围；当 x0 时，可利用配方法求解其取值范围，最后把两个取值范围取并集，即得函数的值域解析 当 x0 时，f(x)x22x4xx4x2，由基本不等式可得 x4x2x4x4(当且仅当 x4x，即 x2 时等号成立)，所以 f(x)x4x2422，即此时 f(x)2，)当 x0 时，f(x)
14、x22x(x1)21，因为当 x1 时，f(x)取得最大值 1，所以此时 f(x)(，1综上，f(x)的值域为(，12，)，故选 B(6)导数法函数 y2x33x212x5 在0,3上的最大值、最小值分别是()A5；15 B5；4C4；15 D5；16答案 A解析 y6x26x12，令 y0 x1(舍去)或 x2.x0 时 y5；x2 时 y15；x3 时 y4.ymax5，ymin15.故选 A设 f(x)13x312x22ax.(1)若 f(x)在(23，)上存在单调递增区间，求 a 的取值范围；(2)当 0a0，得 a19所以，当 a19时，f(x)在(23，)上存在单调递增区间即 f(
15、x)在(23，)上存在单调递增区间时，a 的取值范围是(19，)(2)令 f(x)0，得两根 x11 18a2，x21 18a2.所以 f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当 0a2 时，有 x11x24，所以 f(x)在1,4上的最大值为 f(x2)，又 f(4)f(1)272 6a0，即 f(4)f(1)所以 f(x)在1,4上的最小值为 f(4)8a403 163，得 a1，x22，从而 f(x)在1,4上的最大值为 f(2)103.一、选择题11(2014吉林长春调研)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)0，且在(，0)上单调递增，
16、如果 x1x20 且 x1x20，则 f(x1)f(x2)的值()A可能为 0 B恒大于 0C恒小于 0 D可正可负答案 C解析 f(x)f(x)0，f(x)为奇函数，x1x20，x1x20，x1x20 或 x2x10，f(x)在(，0)上单调递增，f(x1)f(x2)或 f(x2)f(x1)又 f(x)为奇函数，f(x1)f(x2)0，且 a1)是减函数，那么函数 f(x)loga1x1的图象大致是()答案 C解析 解法一：由函数 yax(a0，且 a1)是减函数知 a1，01a1，x0 时，f(x)x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac答案 D解析 x2
17、x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)f(52)f(3)，即 bac.14(文)(2014浙江省名校联考)设 f(x)在(0，)上是单调递增函数，当 nN*时，f(n)N*，且 ff(n)2n1，则()Af(1)3，f(2)4 Bf(1)2，f(2)3Cf(2)4，f(4)5 Df(2)3，f(3)4答案 B解析 由 ff(n)2n1，得 ff(1)3，ff(2)5.当 nN*时，f(n)N*，若 f(1)3，则由 ff(1)3 得，f(3)3，与 f(x)在(0，)上单调递增矛盾，故选项 A 错误；若 f(2)4，则 f(4)5,4f(3)5，与 f(3)N*矛盾，故选项 C 错；若
18、f(2)3，则由 ff(2)5 得 f(3)5，故选项 D 错(理)当 0 x12时，4xlogax，则 a 的取值范围是()A(0，22)B(22，1)C(1，2)D(2，2)答案 B解析 04x0，0a4122logaa2，a1，a212，或0a12，a 22，排除 A，选 B二、填空题15(文)若函数 f(x)x22ax 与 g(x)ax1在区间1,2上都是减函数，则 a 的取值范围是_答案(0,1解析 由 f(x)x22ax 得函数对称轴为 xa，又在区间1,2上是减函数，所以 a1，又 g(x)ax1在1,2上减函数，所以 a0，综上 a 的取值范围为(0,1(理)若函数 f(x)x
19、22xalnx 在(0,1)上单调递减，则实数 a 的取值范围是_答案 a4解析 函数 f(x)x22xalnx 在(0,1)上单调递减，当 x(0,1)时，f(x)2x2ax2x22xax0，g(x)2x22xa0 在 x(0,1)时恒成立，g(x)的对称轴 x12，x(0,1)，g(1)0，即 a4.16(2014福建厦门质检)函数 f(x)(13)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_答案 3解析 由于 y(13)x 在 R 上递减，ylog2(x2)在1,1上递增，所以 f(x)在1,1上单调递减，故 f(x)在1,1上的最大值为 f(1)3.三、解答题17(文)已知函数 f(x
20、)loga(x1)loga(1x)，a0 且 a1.(1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)当 a1 时，求使 f(x)0 的 x 的取值范围解析(1)要使 f(x)loga(x1)loga(1x)有意义，则x10，1x0.解得1x1.故所求定义域为x|1x1(2)由(1)知 f(x)的定义域为x|1x1 时，f(x)在定义域x|1x0 x11x1.解得 0 x0 的 x 的取值范围是x|0 x0，fx x0.(1)若 f(1)0，曲线 yf(x)通过点(0,2a3)，且在点(1，f(1)处的切线垂直于 y 轴，求 F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当
21、 x1,1时，g(x)kxf(x)是单调函数，求实数 k 的取值范围；(3)设 mn0，a0，且 f(x)为偶函数，证明 F(m)F(n)0.解析(1)因为 f(x)ax2bxc，所以 f(x)2axb.又曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于 y 轴，故 f(1)0，即2ab0，因此 b2a.因为 f(1)0，所以 bac.又因为曲线 yf(x)通过点(0,2a3)，所以 c2a3.解由，组成的方程组得，a3，b6，c3.从而 f(x)3x26x3.所以 F(x)3x12 x0，3x12 x0.(2)由(1)知 f(x)3x26x3，所以 g(x)kxf(x)3x2(k6)x3.由
22、 g(x)在1,1上是单调函数知：k66 1 或k66 1，得 k12 或 k0.(3)因为 f(x)是偶函数，可知 b0.因此 f(x)ax2c.又因为 mn0，可知 m、n 异号若 m0，则 n0.若 m0.同理可得 F(m)F(n)0.综上可知 F(m)F(n)0.18(文)(2014盘锦模拟)已知函数 f(x)是定义在1,1上的奇函数，在0,1上 f(x)2xln(x1)1.(1)求函数 f(x)的解析式，并判断 f(x)在1,1上的单调性(不要求证明)(2)解不等式 f(2x1)f(1x2)0.解析(1)设1x0，则 0 x1，所以 f(x)2xln(1x)112xln(1x)1，又
23、 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)，f(x)f(x)12xln(1x)1，所以 f(x)12xln1x1，1x0时，恒有 f(x)1.(1)求证：f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)2.分析(1)利用定义法，取 x10利用 f(mn)f(m)f(n)1 将 f(x2)f(x1)用 f(x2x1)表示与 0 比较大小结论(2)利用 f(mn)f(m)f(n)1 及 f(3)4，将 2 表示成函数值 f(x0)得 f(a2a5)f(x0)用单调性脱掉“f”求解解析(1)设 x10.因为当 x0 时，f(x)1，所以 f(x2x1)1.f(x2)f(x2
24、x1)x1)f(x2x1)f(x1)1，所以 f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，所以 f(x)在 R 上为增函数(2)因为 m，nR，不妨设 mn1，所以 f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，所以 f(1)2，所以 f(a2a5)2f(1)，因为 f(x)在 R 上为增函数，所以 a2a513a2，即原不等式的解集为a|3a2失误与防范 失误点防范措施处不会根据条件 f(mn)f(m)f(n)1，构造 f(x2)f(x2x1)x1)，进而将 f(x2)f(x1)用 f(x2x1)表示而失分在利用定
25、义法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对 x1 或 x2 进行适当变形，进而将 f(x2)f(x1)与 0 比较大小处不能根据条件 f(mn)f(m)f(n)1 及f(3)4，将所解不等式转化为 f(a2a5)f(1)，从而无法根据单调性脱掉“f”而失分求解含“f”的不等式问题，应先利用已知条件将不等式转化为 f(x1)0，t1 且 x 2t1，f(t)lg 2t1，即 f(x)lg 2x1(x1)(2)待定系数法若已知函数的结构形式，则可用此法设二次函数 f(x)满足 f(x2)f(x2)且图象在 y 轴上的截距为 1，在 x 轴上截得的线段长为 2 2，求 f(x)的解析
26、式解析 二次函数 f(x)满足 f(x2)f(x2)，f(x)的图象关于直线 x2 对称，故可设 f(x)a(x2)2c，f(x)的图象在 y 轴上的截距为 1，f(0)1，4ac1，又 f(x)的图象在 x 轴上截得线段长为 2 2，2 2与2 2是方程 a(x2)2c0 的两根，2ac0由、解得，a12，c1，f(x)12(x2)21，即 f(x)12x22x1.(3)消元法已知 f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如 f(x)、f 1x等，必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)已知函数 f(x)满足条件：f(x)2f(x)
27、x，则 f(x)_.答案 x分析 由于难以判断 f(x)是何种类型的函数，故不可能先设出 f(x)的表达式，但如果把条件中的 x 换成x，即得 f(x)2f(x)x，把 f(x)、f(x)作为一个整体量，实际上得到了这两个量的方程组解析 用x 代换条件方程中的 x 得 f(x)2f(x)x，把它与原条件式联立fx2fxx，fx2fxx.2得，f(x)x.(4)赋值法此类解法的依据是：如果一个函数关系式中的变量对某个范围内的一切值都成立，则对该范围内的某些特殊值必成立，结合题设条件的结构特点，给变量适当取值，从而使问题简单化、具体化，进而获解已知 f(0)1，f(ab)f(a)b(2ab1)，求
28、 f(x)解析 令 a0，则 f(b)f(0)b(b1)1b(b1)b2b1再令bx 得：f(x)x2x1.解法探究 赋值法的关键环节是“赋值”，赋值的方法灵活多样，既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生，又要考虑所给关系式的结构特点如本题另解：令 ba，则 1f(0)f(a)a(2aa1)f(a)a(a1)f(a)a2a，f(a)a2a1，f(x)x2x1.(5)转化法已知 f(x)在某个区间上的表达式及 f(x)具有某种性质(如奇偶性、对称性等)，求 f(x)在另一个区间上的表达式，常用转化法求解已知函数 f(x)对任意实数 x 均有 f(x)kf(x2)，其中常数 k 为负数，且 f(
29、x)在区间0,2上有表达式 f(x)x(x2)(1)求 f(1)，f(2.5)的值；(2)写出 f(x)在3,3上的表达式，并讨论函数 f(x)在3,3上的单调性解析(1)由 f(1)kf(1)，f(2.5)1kf(12)知需求 f(12)和 f(1)，f(1)1，f(12)12(122)34，f(1)k，f(2.5)34k(2)0 x2 时，f(x)x(x2)，设2x0，则 0 x22，f(x)kf(x2)k(x2)x；设3x2，则1x20，f(x)kf(x2)k2(x4)(x2)；设 2x3，则 0 x21，f(x)kf(x2)，f(x2)kf(x)，f(x)1kf(x2)1k(x2)(x4)综上可知，f(x)k2x2x4 3x2，kxx2 2x0，xx2 0 x2，1kx2x4 2x3.k0，由二次函数的知识知：f(x)在3，2)上是增函数，在2，1)上是增函数，在1,0)上是减函数，在0,1)上是减函数，在1,2上是增函数，在(2,3上是增函数，又各区间都可以是闭区间，f(x)在3，1上是增函数，在1,1上是减函数，在1,3上是增函数
