1、课时跟踪检测(六) 函数的极值与导数层级一学业水平达标1已知函数yf(x)在定义域内可导,则函数yf(x)在某点处的导数值为0是函数yf(x)在这点处取得极值的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D非充分非必要条件解析:选B根据导数的性质可知,若函数yf(x)在这点处取得极值,则f(x)0,即必要性成立;反之不一定成立,如函数f(x)x3在R上是增函数,f(x)3x2,则f(0)0,但在x0处函数不是极值,即充分性不成立故函数yf(x)在某点处的导数值为0是函数yf(x)在这点处取得极值的必要不充分条件,故选B.2设函数f(x)ln x,则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)
2、的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析:选D由f(x)0可得x2.当0x2时,f(x)0,f(x)单调递减;当x2时,f(x)0,f(x)单调递增故x2为f(x)的极小值点3已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值,则该函数的一个递增区间是()A(2,3) B(3,)C(2,) D(,3)解析:选B因为函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值,又f(x)6x22ax36,所以f(2)0解得a15.令f(x)0,解得x3或x2,所以函数的一个递增区间是(3,)4设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数f(x)在x2处取得极小值,则函数y
3、xf(x)的图象可能是()解析:选C由题意可得f(2)0,而且当x(,2)时,f(x)0,此时xf(x)0;排除B、D,当x(2,)时,f(x)0,此时若x(2,0),xf(x)0,若x(0,),xf(x)0,所以函数yxf(x)的图象可能是C.5已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为()A.,0 B0,C,0 D0,解析:选Af(x)3x22pxq,由f(1)0,f(1)0得,解得f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10得x或x1,易得当x时f(x)取极大值.当x1时f(x)取极小值0.6设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x
4、的两个极值点,则常数a_.解析:f(x)2bx1,由题意得a.答案:7函数f(x)ax2bx在x处有极值,则b的值为_解析:f(x)2axb,函数f(x)在x处有极值,f2ab0,即b2.答案:28.已知函数f(x)ax3bx2cx,其导函数yf(x)的图象经过点(1,0),(2,0)如图,则下列说法中不正确的是_(填序号)当x时,函数f(x)取得最小值;f(x)有两个极值点;当x2时函数值取得极小值;当x1时函数取得极大值解析:由图象可知,x1,2是函数的两极值点,正确;又x(,1)(2,)时,y0;x(1,2)时,y0,x1是极大值点,x2是极小值点,故正确答案:9设a为实数,函数f(x)
5、ex2x2a,xR,求f(x)的单调区间与极值解:由f(x)ex2x2a,xR知f(x)ex2,xR.令f(x)0,得xln 2.于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,ln 2)ln 2(ln 2,)f(x)0f(x)单调递减2(1ln 2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(,ln 2),单调递增区间是(ln 2,);且f(x)在xln 2处取得极小值极小值为f(ln 2)2(1ln 2a),无极大值10已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值,且f(1)1.(1)试求常数a,b,c的值;(2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值,并说明理由解:(1)由已知
6、,f(x)3ax22bxc,且f(1)f(1)0,得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1,abc1.a,b0,c.(2)由(1)知f(x)x3x,f(x)x2(x1)(x1)当x1时,f(x)0;当1x1时,f(x)0,a6.3设aR,若函数yexax(xR)有大于零的极值点,则()Aa1 Ba1Ca Da解析:选Ayexax,yexa.令yexa0,则exa,xln(a)又x0,a1,即a1.4已知函数f(x)ex(sin xcos x),x(0,2 017),则函数f(x)的极大值之和为()A. B.C. D.解析:选Bf(x)2exsin x,令f(x)0得sin x0,xk,kZ,
7、当2kx0,f(x)单调递增,当(2k1)x2k时,f(x)0,f(x)单调递减,当x(2k1)时,f(x)取到极大值,x(0,2 017),0(2k1)2 017,0k1 008,kZ. f(x)的极大值之和为Sf()f(3)f(5)f(2 015)ee3e5e2 015,故选B.5若函数yx36x2m的极大值为13,则实数m等于_解析:y3x212x3x(x4)由y0,得x0或4.且x(,0)(4,)时,y0;x(0,4)时,y0,x4时取到极大值故6496m13,解得m19.答案:196若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为_解析:由题意,f(
8、x)3x22xa,则f(1)f(1)0,即(1a)(5a)0,解得1a0;当x(2,ln 2)时,f(x)0.故f(x)在(,2),(ln 2,)上单调递增,在(2,ln 2)上单调递减当x2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(2)4(1e2)8已知f(x)2ln(xa)x2x在x0处取得极值(1)求实数a的值(2)若关于x的方程f(x)b0的区间1,1上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围解:(1)f(x)2x1,当x0时,f(x)取得极值,所以f(0)0,解得a2,检验知a2符合题意(2)令g(x)f(x)b2ln(x2)x2xb,则g(x)2x1(x2)g(x),g(x)在(2,)上的变化状态如下表:x(2,0)0(0,)g(x)0g(x)2ln 2b由上表可知函数在x0处取得极大值,极大值为2ln 2b.要使f(x)b0在区间1,1上恰有两个不同的实数根,只需即所以2ln 2b22ln 3.故实数b的取值范围是(2ln 2,22ln 3