1、邯郸市滏滨中学2017-2018学年高二年级第二学期期末考试理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由解不等式求出集合B,再算出，进一步算出。【详解】由题意可得，而，所以 。选D.【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2.2.已知复数满足 为虚数单位），则A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选：C3.3.已知下表所示数据的回归直线方程为y，则实数a的
2、值为x 2 3 4 5 6 y 3 711 a 21 A. 16 B. 18 C. 20 D. 22【答案】B【解析】【分析】求得，再根据回归直线方程过样本中心，求得能数。【详解】由表中数据可知，回归直线方程过样本中心，所以，解得，选B.【点睛】对于加归直线方程，需要注意的是回归直线方程过样本中心。4.4.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得方程表双曲线的充要条件，只要是他的真子集就是充分不必要条件。【详解】方程表示双曲线的充要条件是，解得，所以根据四个选项可知，充分不必要条件是A.选A.【点睛】对于充分性必要性条件的判断三种常用方法：（
3、1）利用定义判断如果已知，则是的充分条件，是的必要条件；（2）利用等价命题判断；(3) 把充要条件“直观化”，如果，可认为是的“子集”；如果，可认为不是的“子集”，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明5.5.设等比数列的前n项和为，且满足，则A. 4 B. 5 C. 8 D. 9【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式和求和公式代入题中式子可求。【详解】由题意可得，选D.【点睛】本题考查数列通项公式和求和公式基本量的运算。6.6.如图所示，一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】
4、由三视图还原可知原图形是圆柱，再由全面积公式求得全面积。【详解】由三视图还原可知原图形是圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，所以 ，选C.【点睛】本题考查三视图还原及圆柱的全面积公式，需要熟练运用公式，难度较低。7.7.在如图所示的计算的值的程序框图中，判断框内应填入A. B. C. D. 【答案】D【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一圈：S=0+1，i=5，第二圈：S=1+3，i=9，第三圈：S=1+3+5，i=13，依此类推，第503圈：1+3+5+2013，i=2017，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：i2013，本题选择D选项.8.8.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则
5、点M的纵坐标是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由抛物线方程化标准方程为，再由焦半径公式，可求得。【详解】抛物线为，由焦半径公式，得。选B.【点睛】抛物线焦半径公式：抛物线，的焦半径公式。抛物线，的焦半径公式。抛物线，的焦半径公式。抛物线，的焦半径公式。9.9.函数的部分图象大致为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由和，得y的极限值可排除错误图像。【详解】当，排除B,当，选D.【点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模
6、型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题10.10.如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，直线AC与底面BCD所成角的大小为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取BD中点,可证，为直线AC与底面BCD所成角。【详解】取BD中点，由，又侧面底面BCD，所以。所以为直线AC与底面BCD所成角。,所以。选A.【点睛】本题考查线面角，用几何法求线面角要一作、二证、三求，要有线面垂直才有线面角。11.11.经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】椭圆化标准方程为，求得，设
7、直线方程为，代入椭圆方程，求得交点坐标，由向量坐标运算求得。【详解】椭圆方程为，取一个焦点,则直线方程为，代入椭圆方程得，所以 ，选C.【点睛】本题综合考查直线与椭圆相交问题，及向量坐标运算，由于本题坐标好求所以直接求坐标，代入向量坐标运算。一般如果不好求坐标点，都是用韦达定理设而不求。12.12.已知函数，给出下列四个说法：；函数的周期为；在区间上单调递增；的图象关于点中心对称其中正确说法的序号是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的周期性可排除，同时可以确定对。由 ，可去绝对值函数化为，可判断对。由取特值，可确定错。【详解】，所以函数的周期不为，错，周期为。=，对。当
8、 时，所以f(x)在上单调递增。对。，所以错。即对，填。【点睛】本题以绝对值函数形式综合考查三角函数求函数值、周期性、单调性、对称性等性质，需要从定义角度入手分析，也是解题之根本。二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.13.设向量，若与垂直，则的值为_【答案】【解析】与垂直 14.14.的展开式中常数项为_ 【答案】15【解析】【分析】把展开，求的系数，但无项，所以常数项为展开式中常数项乘以3.【详解】展开式中通项为，当时，；由于，无正整数解，所以常数项为15，填15.【点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度1
9、5.15.设，函数f是偶函数，若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为_ 【答案】【解析】【分析】先根据f(x)为偶函数求得，再由，解得。【详解】由题意可得f(x)=f(-x),即，变形为为任意x时都成立，所以，所以，设切点为，由于是R上的单调递增函数，且。所以。填。【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性及由曲线的斜率求切点横坐标。16.16.若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为_【答案】【解析】【分析】先求得圆的圆心与半径，可知直线一定过圆心得。又， ，由均值不等式可求得最值。【详解】由题意可得的圆心为（-1，2），半径为2,而截得弦长为4，
10、所以直线过圆心得，又，所以 当且仅当时等号成立。【点睛】本题综合考查直线与圆，均值不等式求最值问题，本题的关键是由弦长为4，判断出直线过圆心。三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.17.的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，（1）求c的值；（2）求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理及，得，再代入角A的余弦定理，求得。（2）由角C的余弦定理求得，再由面积公式求得面积。【详解】，在中，由正弦定理，可得，可得：，即： ，解得：2在中，由余弦定理，可得，故【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系
11、，从而达到解决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果，判定是否符合条件，或有多解情况。18.18.如图，斜三棱柱中，侧面为菱形，底面是等腰直角三角形，C. （1）求证：直线直线；（2）若直线与底面ABC成的角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证平面，再证平面，可证直线直线（2）由作AB的垂线，垂足为D，则 平面ABC，过A作的平行线，交于E点，则平面ABC，以AB,AC,AE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系
12、，由空间向量法可求得二面角。【详解】证明：连接，侧面为菱形， ，又C，平面，又，平面，平面，直线直线；解：由知，平面平面，由作AB的垂线，垂足为D，则 平面ABC，得D为AB的中点，过A作的平行线，交于E点，则平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则 为平面的一个法向量，则0，2， ， 设平面的法向量 ，由，取，得 ， ，故二面角的余弦值为【点睛】利用向量法求二面角的注意事项：(1)两平面的法向量的夹角不一定就是所求的二面角，有可能是两法向量夹角的补角为所求；(2)求平面的法向量的方法有，待定系数法，设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程，解之即可得法向量；先确定平面的垂线，然后取
13、相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量19.19.在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望【
14、答案】（1），82；（2）见解析【解析】【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，可求得。取每个矩形的中点与概率乘积和求得平均数。（2）由二项分布求得分布列与数学期望。【详解】1由题意：，估计这200名选手的成绩平均数为2由题意知， X B (3,1/3)，X可能取值为0，1，2，3，所以X的分布列为 ：X的数学期望为【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，意在考查离散型随机变量的分布列期望和独立性检验等基础知识的掌握能力，考查学生基本的运算推理能力.20.20.如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上异于点的任意两点，且试问：直线是否恒过一定
15、点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由【答案】（）（）直线恒过定点【解析】试题分析：（）设椭圆C的半焦距为c求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；（）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m将直线PQ的方程代入消去y，设 P，Q，利用韦达定理，通过BPBQ，化简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入，消去y，解得x，设 P，转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标试题解析：（）解：设椭圆的半焦距为依题意，得，且，解得所以，椭圆的方程是（）证法一：易
16、知，直线的斜率存在，设其方程为将直线的方程代入，消去，整理得设，则，（1）因为，且直线的斜率均存在，所以， 整理得（2）因为，所以，（3）将（3）代入（2），整理得（4）将（1）代入（4），整理得解得，或（舍去）所以，直线恒过定点证法二：直线的斜率均存在，设直线的方程为将直线的方程代入，消去，得解得，或设，所以，所以以替换点坐标中的，可得从而，直线的方程是依题意，若直线过定点，则定点必定在轴上在上述方程中，令，解得所以，直线恒过定点考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程21.21.已知函数（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围【答案】（1）见解析；（
17、2）【解析】试题分析：（）函数f（x）的定义域为（0，+）当a=-2时，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值；（）由得，令，则，由此利用导数性质能求出a的取值范围试题解析：（）易知，函数的定义域为当时，当x变化时，和的值的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）0递减极小值递增由上表可知，函数的单调递减区间是（0，1）、单调递增区间是（1，+）、极小值是（）由，得若函数为上的单调增函数，则在上恒成立，即不等式在上恒成立也即在上恒成立令，则当时，在上为减函数，所以的取值范围为考点：1利用导数研究函数的极值；2利用导数研究函数的单调性22.22.已知直线l的参数方程为为参数，曲线C的
18、极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点，点，（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程。由直角坐标与极坐标互换公式，求得曲线C普通方程。（2）直线的参数方程改写为（t为参数），由t的几何意义求值。【详解】直线l的参数方程为为参数，消去参数，可得直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，直线的参数方程改写为（t为参数），代入，【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。23.23.已知函数（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数a的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）以为分界点分段讨论解不等式。（2）原不等式可化为，由绝对值不等式求得的最小值小于3，解得参数.【详解】当时，当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即综上所述，原不等式的解集为或由，即，得，又，即，解得所以。【点睛】对于绝对值不等式的求解，我们常用分段讨论的方法，也就是按绝对值的零点把数轴上的实数分成多段进行分段讨论，要注意分段时不重不漏，分段结果是按先交后并做运算。
